Transcript Espaces préhilbertiens réels.

Lycée Jean Perrin
Classe de TSI2
Exercices série 8
Espaces préhilbertiens réels
Exercice 1
Dans chacun des cas, montrer que (· | ·) est un produit scalaire pour l'espace E .
1. E = Rn [X] avec (P | Q) =
n
X
P (i)Q(i).
i=0
2. E = C([0, 1], R) avec (f | g) = f (0)g(0) +
Z
1
f 0 (t)g 0 (t) dt.
0
[epr4]
Exercice 2
En utilisant l'inégalité de Cauchy-Schwarz, montrer l'inégalité pour n ∈ N∗ :
n−1
X
p=1
2
p
>
2
(n − p)
n(n − 1)
n−1
X
p=1
p
n−p
!2
.
[epr2]
Exercice 3
L'espace euclidien C 0 ([0, 1], R) est muni du produit scalaire : (f | g) =
Soit f : [0, 1] → R continue et positive. On pose In =
Z
1
Z
1
f (t)g(t) dt.
0
2
6 I2n I2p .
tn f (t) dt. Montrer que In+p
[epr8]
0
Exercice 4
Soit E un espace préhilbertien réel , et soit v ∈ L(E) tel que (x | v(x)) = 0 ∀x ∈ E .
1. Pour x, y ∈ E , simplier (x + y | v(x + y)).
2. Montrer que Ker v = (Im v)⊥ .
[epr28]
Exercice 5
Soit E un espace préhilbertien réel, et F et G deux sous-espaces vectoriels de E . Montrer que (F ∪ G)⊥ = F ⊥ ∩ G⊥ .
[epr11]
Exercice 6
Soit E un espace préhilbertien et (e1 , e2 , . . . , en ) une famille de vecteurs unitaires vériant
∀x ∈ E,
kxk2 =
n
X
(x | ei )2 .
i=1
1. Montrer que (e1 , e2 , . . . , en ) est une famille orthogonale.
2. Soit x ∈ E et y =
n
X
(x | ei )ei . Montrer que kx − yk2 = 0.
i=1
3. En déduire que (e1 , e2 , . . . , en ) est une base orthonormée de E .
1/2
[epr023]
Exercice 7
Soit E un espace vectoriel euclidien et p ∈ L(E) une projection. Montrer qu'il y a équivalence entre les énoncés :
1. p est une projection orthogonale.
2. ∀x, y ∈ E , on a (x | p(y)) = (p(x) | y).
3. ∀x ∈ E , on a kp(x)k 6 kxk.
[epr51]
Exercice 8
On munit R3 du produit scalaire canonique. Appliquer la méthode d'orthonormalisation de Schmidt à la base
{(1, 1, 1), (2, −1, 2), (1, 1, −2)}. Donner les coordonnnées du vecteur u = (x, y, z) dans la nouvelle base obtenue.
[epr9]
Exercice 9
Pour tous P, Q ∈ R, on dénit, si c'est possible, (P | Q) =
1
Z
0
1. Montrer que pour tout k ∈ N, la fonction x 7→
k
√ x
x(1−x)
Z
Ik =
0
P (x)Q(x)
p
d x.
x(1 − x)
dx est intégrable sur ]0, 1[. On pose alors :
1
xk
p
x(1 − x)
dx
2. Montrer que (. | .) est un produit scalaire (on vériera que l'expression a un sens).
3. Calculer I0 et montrer que pour tout k > 1, on a Ik =
2k − 1
Ik−1 .
2k
4. Calculer le projeté orthogonal de X 3 sur R2 [X]. Quel est la distance de X 3 à R2 [X] ?
5. On pose P0 = 1 ; déterminer P1 , P2 tels que (P0 , P1 , P2 ) forme une famille orthogonale pour le produit scalaire
déni, avec deg Pk = k et de coecient dominant égal à 1. Retrouver le résultat de la question précédente.
[epr020]
Exercice 10
On munit R4 de sa base canonique B. Notons F = (x, y, z, t) ∈ R4 ;
x+y+z+t=0
x−y+z−t=0
.
1. Donner une base orthonormée de F .
2. Donner la matrice dans la base B de la projection orthogonale sur F .
3. Calculer d(A, F ) où F = (1, 0, 0, 0).
[epr66]
Exercice 11
On admet que (f, g) 7→ (f | g) =
Z
1
f (t)g(t) dt est un produit scalaire sur le sous espace vectoriel de C([0, 1], R) engendré
0
par x 7→ 1, x 7→ x et x 7→ e .
Déterminer des réels a, b tels que la distance de x 7→ ex à x 7→ ax + b soit minimale. Calculer cette distance.
x
[epr67]
2/2