Transcript Exercices 4

ÉCS2
–
Chapitre 4 - Algèbre bilinéaire.
Exercice 4.1 Exemple de produit scalaire dans R3
Dans E = R3 , on désigne par x et y les triplets (x1 , x2 , x3 ) et (y1 , y2 , y3 ) (respectivement).
1. Soit f : E × E −→ R, (x, y) 7−→ 2x1 y1 + 5x2 y2 + 3x3 y3 − 2x1 y2 − 2x2 y1 .
Prouver que f est un produit scalaire sur E.
2. On note N la norme associée au produit scalaire f .
Que vaut 
N(1; 2;
−1) ?


y1
x1




3. Soit X =  x2  et Y =  y2 .
y3
x3
Trouver une matrice symétrique A de M3 (R) telle que :
∀x, y ∈ E, f (x, y) = t XAY.
Exercice 4.4 Trois applications (indépendantes) de l’inégalité de Cauchy-Schwarz.
! n
!
n
X
X
1
1. Quel est le minimum de
ai pour (ai )ni=1 ∈ (R∗+ )n ?
a
i
i=1
i=1
2. Quel est le minimum de
Z b
Z b
1
f (t)dt ×
dt
a
a f (t)
pour f continue strictement positive sur [ a ; b ] ?
3. Montrer que, pour toute fonction f continue sur [ 0 ; 1 ],
Z 1
2 Z 1
2
f (t)dt 6
f (t) dt.
Exercice 4.2 Exemple de produit scalaire dans un espace de suites
X
Soit E = {u = (un )n∈N∗ ,
u2n converge}.
Exercice 4.5 Un produit scalaire presque canonique dans R2 [X]
Dans E = R2 [X], on considère l’application
ϕ : E2 −→ R, (P, Q) 7−→ P(0)Q(0) + P0 (0)Q0 (0) + P00 (0)Q00 (0).
1. Montrer que ϕ est un produit scalaire sur E.
2. La base canonique de E est-elle une base orthonormale pour ce produit scalaire ?
3. Déterminer une base orthonormale de E pour le produit scalaire ϕ.
n>1
Étudier si les suites u, v et w définies par :
1
1
(−1)n
∀n ∈ N∗ , un = , vn = √
et wn =
n
n
n
sont des vecteurs de E.
1
2.a) Justifier que, pour tous réels a et b, ab 6 (a2 + b2 ).
X2
b) Montrer que si u et v sont dans E, alors
un vn converge.
1.
0
0
Exercice 4.6 Un autre produit scalaire sur R2 [X]
Reprendre l’exercice précédent en définissant ϕ par :
ϕ(P, Q) = P(−1)Q(−1) + P(0)Q(0) + P(1)Q(1).
n>1
c) En déduire que E est un espace vectoriel sur R.
3. Montrer que
ϕ : E × E −→ R, (u, v) 7−→
+∞
X
un vn
n=1
est un produit scalaire sur E.
Exercice 4.3 Trouver le produit à partir de la norme
1. Justifier que pour un produit scalaire h., .i sur E et sa norme associée ||.||
1
2
2
2
∀(x, y),
hx, yi =
||x + y|| − ||x|| − ||y|| .
2
2. Dans E = R3 , soit
q
N : E −→ R, (x1 , x2 , x3 ) 7−→ x21 + x22 + x23 + x1 x3 .
Déterminer un produit scalaire dont N soit la norme associée.
Lycée Henri Poincaré
Exercice 4.7 Produit scalaire canonique de Rn [X].
Soit n ∈ N∗ . Montrer qu’il existe une unique famille de réels (a0 , a1 , . . . , an ) telle que la
base canonique de Rn [X] soit orthonormale pour le produit scalaire défini par
n
X
hP, Qi =
ak P(k) (0)Q(k) (0).
k=0
Exercice 4.8 Produit scalaire canonique de Mn (R)
Soit n > 2 et E = Mn (R).
On pose, pour A et B dans E,
hA, Bi = Tr( t A.B).
1. Vérifier que h., .i est bien un produit scalaire sur Mn (R).
2. Rappeler la base canonique de M2 (R).
Est-elle une base orthonormale ?
3. Démontrer que la base canonique de Mn (R) est une base orthonormale.
4. Soit ∆ le sous-espace vectoriel de Mn (R) constitué des matrices diagonales.
Déterminer ∆⊥ (on pourra commencer par déterminer une base orthonormale de ∆).
1/2
lo
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Exercice 4.9 Déterminer un supplémentaire orthogonal
1. Dans E = R4 muni de son produit scalaire canonique, déterminer F⊥ pour
a) F = Vect((1; 2; 1; 2), (1; 0; 1; 0)) ;
2.
b) F = {(x, y, z, t) ∈ E, x − 2y + 3z = 0} ;
Dans E = R2 [X] muni du produit scalaire de l’exercice, déterminer F⊥ où F désigne
F = Vect(X, X2 − 1).
Exercice 4.10 Une infinité de bases orthonormales dans R3
Soit E l’espace vectoriel R3 muni du produit scalaire canonique.
Soit x un réel, u1 = (1, 0, 0), u2 = (0, cos x, sin x) et u3 = (0, − sin x, cos x) .
1. Montrer que la famille (u1 , u2, u3 ) est une base orthonormale
de E.

1
0
0


2. Après avoir justifié que A =  0 cos x − sin x  est inversible, calculer A−1 .
0 sin x cos x
−1
1.
2.
3.
4.
5.
Exercice 4.12 Orthogonalité des polynômes de Tchebychev de première espèce.
Soit (Tn )n∈N la famille de polynômes définie par :
T0 = 1, T1 = X, et pour tout n ∈ N, Tn+2 = 2XTn+1 − Tn .
b) Pour tout n de N, déterminer le degré, le coefficient dominant et la parité de Tn .
2.a) Vérifier que :
∀n ∈ N, ∀x ∈ R, Tn (cos(x)) = cos(nx).
Soit n ∈ N et E = Rn [X]. Montrer que
Z
1
h., .i : E × E −→ R, (P, Q) 7−→
−1
5.
6.
2.a) Déterminer Kerf .
1
−1
0
∗
P(u)Q(u)
√
du
1 − u2
est un produit scalaire sur E.
Montrer que la famille (Ti )06i6n est une base orthogonale de E.
En déduire une base orthonormale de E.
Lycée Henri Poincaré
Vérifier que h., .i est bien un produit scalaire sur E.
Soit F et G les sous-espaces
F = {f ∈ E, ∀x ∈ [ −1 ; 0 ] , f (x) = 0} et G = {g ∈ E, ∀x ∈ [ 0 ; 1 ] , g(x) = 0}.
On désigne par F⊥ l’ensemble
F⊥ = {g ∈ E, ∀f ∈ F, g ⊥ f }.
F et G sont-ils en somme directe ?
Montrer que G ⊂ F⊥ .
Montrer que F⊥ ⊂ G (on pourra raisonner par l’absurde).
F et F⊥ sont-ils supplémentaires ?
Exercice 4.15 Étude d’un endomorphisme
Soit n un entier au moins égal à 3. On travaille dans l’espace E = Rn muni de son produit
scalaire canonique.
On considère deux vecteurs a et b de Rn telle que (a, b) soit une famille orthonormale.
On définit sur E l’application f par :
∀x ∈ E, f (x) = ha, xi b − hb, xi a.
1. Vérifier que f est un endomorphisme de E.
1.a) Calculer T2 et T3 .
b) En déduire, pour n dans N∗ , les racines de Tn .
3. Soit f une fonction continue sur [−1; 1].
Z π
Z
À l’aide de l’intégrale
f (cos(t))dt, montrer que l’intégrale
Exercice 4.13 Lorsqu’un endomorphisme conserve l’orthogonalité
Soit f un endomorphisme d’un espace euclidien E vérifiant
∀x, y ∈ E, x ⊥ y ⇒ f (x) ⊥ f (y).
Montrer qu’il existe λ ∈ R+ vérifiant
∀x ∈ E, ||f (x)|| = λ ||x||.
On pourra commencer par montrer que si x et y sont unitaires, x + y ⊥ x − y...
Exercice 4.14 L’orthogonal est-il toujours un supplémentaire ?
En dimension finie, F et F⊥ sont supplémentaires. Qu’en est-il en dimension infinie ?
Soit E = C([ −1 ; 1 ] , R) (i.e. l’espace vectoriel des applications continues de [ −1 ; 1 ] dans
R) muni du produit scalaire
Z 1
hf, gi =
f (t)g(t)dt.
Exercice 4.11 Recherche de bases orthonormales
Soit E = R4 muni du produit scalaire canonique et
F = {(x, y, z, t)/x − y + t = 0 et y + z + t = 0}.
1. Déterminer une base orthonormale de F, puis une base de F⊥ .
2. Reprendre la question précédente avec F = Vect((1; 2; −1; 0)).
4.
–
Chapitre 4 - Algèbre bilinéaire.
f (u)
√
du existe.
1 − u2
b) Déterminer Imf , en en précisant une base.
c) Justifier que Kerf et Imf sont supplémentaires.
Montrer que :
∀(x, y) ∈ E2 , hf (x), yi = − hx, f (y)i.
On dit que f est antisymétrique.
4. Montrer que :
∀(x, y) ∈ E2 , hf ◦ f (x), yi = hx, f ◦ f (y)i.
On dit que f ◦ f est symétrique.
3.
2/2
lo