Transcript Cd ampères

«(CD)Ampères », une recherche INRP/ADIREM pour
dynamiser l'enseignement des mathématiques dans le
secondaire.
Présentation de quelques travaux et résultats
Robert Noirfalise
IREM de CLERMONT-FERRAND
1
(CD)AMPERES
(Conception et Diffusion)
Apprentissages
Mathématiques et
Parcours d'Études et de
Recherches pour
l'Enseignement Secondaire
Initiée par la Commission inter-IREM Didactique et financée par l’INRP
IREM d’Aix-Marseille, Bordeaux, Caen, Clermont-Ferrand, Dijon, Montpellier,
Nice, Poitiers, l’IUFM Midi-Pyrénées, INRP Marseille (UMR ADEF)
Des collaborations avec des équipes belges, espagnoles et italiennes.
2
Un constat
• Un enseignement des mathématiques globalement
immotivé dans le second degré.
• On enseigne les mathématiques en tant qu’éléments
de réponses à des questions trop souvent oubliées.
[ Pourquoi s’intéresser autant aux triangles et à leurs
propriétés ?]
• Des activités introductives trop souvent faites de
problèmes dérisoires ou de simples échauffements
mettant en scène des pré-requis pour le cours à
venir.
3
Vers un autre type de processus d'étude et
d’enseignement
• Ce que nous donne à voir l'enseignement actuel des
mathématiques est le plus souvent une étude non
motivée d'objets mathématiques. Comme le dit Y.
Chevallard l'enseignement "tend à prendre la forme
d'une visite guidée de savoirs qu'on visite à la hâte, à
l'instar de vestiges monumentaux autrefois vivants mais
dont les raisons d'être, les fonctions vitales ont cessées
d'être comprises"
4
Objectifs de la recherche
• Restaurer des raisons d’être de l’étude d’objets
mathématiques.
• Partir de questions problématiques et n'introduire
l'étude d'objets que parce que celle-ci peut
contribuer à l'élaboration de réponses,
éventuellement partielles, aux questions posées.
• Construire des propositions pour un enseignement
des mathématiques basé sur une dynamique de
questionnement: l’étude d’une question en appelle
d’autres -> parcours d’études et de recherches.
5
Un exemple
Enseigner de façon dynamique le produit
scalaire en première S ?
(Clermont-Ferrand)
6
Partir de Questions
• Comment trouver des questions ?
La TAD nous invite à examiner ce à quoi sert
le produit scalaire en 1re S (types de tâches).
• Il sert à :
* Démontrer que deux droites ou deux
directions sont orthogonales.
* Déterminer un angle géométrique (via son
cosinus).
* Etablir le théorème de Al Kashi (Pythagore
généralisé), lequel sert à calculer des
longueurs.
Q1. Peut-on, par le calcul, montrer que deux droites sont
perpendiculaires ?
• Nous avons :
D  D'
 OAB triangle
rectangle en O
 AB2 = OA2 + OB2
 2(x'x + y'y) = 0
 x'x + y'y = 0
Un bilan intermédiaire pour relancer
l’étude
• A quoi peut servir le produit scalaire?
Il peut servir :
* Pour démontrer, un repère orthonormé étant choisi,
une orthogonalité,
* pour déterminer un angle géométrique, avec le
calcul de son cosinus.
• On peut alors se demander s’il pourrait être d’une
autre utilité:
Q4 : Le produit scalaire peut-il être d’une autre
utilité?
Q4 : Le produit scalaire peut-il être
d’une autre utilité?
• Une clé : Si OA OB alors OA.OA OA2le carré
d’une longueur !
• Q5. Soit OAB, un triangle et supposons que
l’on connaisse OA, OB, et l’angle en O. Peuton calculer AB ?
2
2
• Comment ? Calculer AB  AB  ( AO OB).( AO OB)
• Q6: le produit scalaire est-il distributif par
rapport à la somme ?
Réponse : OUI; il est aussi commutatif
• On obtient le théorème d’Al Kashi…
Des difficultés à développer des parcours
d’études et de recherches dans
l’enseignement secondaire français
Tension entre grandes questions
génératrices d’études et de recherches
et dévolution aux élèves de l’étude des
questions
Les praxéologies professorales entre contraintes
et conditions et leurs incidences sur les
praxéologies d’étude des élèves
Yves Chevallard définit (séminaire TAD/IDD du
14 novembre 2009) la didactique comme la
science qui étudie les conditions et
contraintes gouvernant (favorisant, gênant,…)
la diffusion des systèmes praxéologiques dans
les institutions de la société.
La tyrannie de l’heure
• Tout problème posé en début d’heure doit être
rapidement résolu : problème de faible portée,
souvent insignifiant.
• Les élèves ne s’engagent pas dans l’étude, ils
attendent la solution que « docilement » ils
essaieront d ’appliquer dans les exercices proposés…
• Une condition vécue souvent comme contrainte qui
peut être levée!
Une contrainte qui gêne le
développement de PER
L’organisation des programmes
(nécrose des objets d’enseignement
et monumentalisation)
Une partie de programme étant donné,
comment en rendre l'étude
dynamique? Comment répondre à une
telle question de façon quelque peu
générique?
Rechercher des questions à fort pouvoir générateur
d’étude et de recherche permettant de motiver et produire
des recouvrements partiels du (des) programme(s) sur un
ou plusieurs niveaux scolaires
Un schéma :
PROF
Rechercher
des QFPGE
en remontant
aux niveaux
des secteurs
et domaines
ELEVE
La dynamique
de l’étude de la
question
entraîne vers des
sous-questions
PROF
Non pas
morceler le
savoir en le
découpant dans
une recherche de
sujets
ELEVE
Doit remonter
par lui-même
pour établir des
liens, trouver du
sens au savoir
enseigné18
Un exemple:l’étude des triangles
Recherche des raisons d’être :


Détermination de
longueurs et distances
(inaccessibles)
Mesure des aires
Un problème introductif
C
Fen
tre
trac ˇs au s ol
A
arbre
B
bureau
Des questions pour traiter « construction de
triangles et inégalité triangulaire »
•
•
•
•
•
1 – Sur une feuille posée sur le bureau, j’ai dessiné un triangle dont les
côtés mesurent 9,5 cm - 8 cm et 6,5 cm. Sans te déplacer, peux-tu
trouver combien mesurent les angles de ce triangle ?
2 – Sur une deuxième feuille posée sur le bureau, j’ai dessiné un
triangle dont les angles mesurent 59° , 74° et 47°. Sans te déplacer,
peux-tu trouver combien mesurent les côtés de ce triangle ?
3 – Est-ce que 2 données suffisent pour déterminer un triangle ?
Est-ce que 3 données suffisent pour déterminer un triangle ?
Est-ce que 4 données suffisent pour déterminer un triangle ?
Cas de deux côtés et un angle
C
A=53
AB=4,7
BC =5,2
C
A=53
A
B
AB=4,7
BC =4,2
D
A
B
A=53
BC =4,2
AB=5,7
A
B
Avec deux ou trois angles--> Thalès
F
C
A
B
E
L’apprenant aux mains nues
• Une question posée doit être telle que l’ élève
puisse y répondre avec son seul répertoire
praxéologique et avec ce qui vient d’être vu en
classe.
• Pas d’étude de réponses existantes R.
Tyrannie de l’évaluation et du contrôle
• Contrôler pour homogénéiser le parcours
cognitif des élèves?
• Contrôler la façon de penser des élèves?
La noblesse de la pensée/
l’insignifiance de l’utile
• Former les esprits!
• L’exemple du latin :
« Au delà d’acquis d’ordre linguistique, l’étude du latin fut
considéré comme extrêmement bénéfique pour le
développement des facultés intellectuelles de l’enfant, sa
mémoire aussi bien que sa raison »
« L’objectif était moins d’enseigner l’art de lire le latin
aisément que de faire acquérir une discipline intellectuelle »
(F. Waquet 1998, Le latin ou l’empire d’un signe Ed A Michel)
Perspectives : Pédagogie de
l’enquête
• Un projet de formation : Former des citoyens qui
s’autorisent à se poser des questions et à en
faire l’étude!
• Q : Comment concrètement engager les élèves
dans des processus d'études et de recherches ne
faisant pas d'eux de simples exécutants ?
Lyon Ampères 2011
27
Un changement de contrat
L’élève: un exécutant sous
étroite surveillance
• Contrat où l’’élève
serait libre de se poser
des questions et de les
étudier avec tous les
moyens accessibles
grâce aux techniques
modernes ?
Lyon Ampères 2011
28
Partir de questions ?
OUI, mais en les prenant aux sérieux!
Lyon Ampères 2011
29
Premier exemple
• Les escaliers
Lyon Ampères 2011
30
Enquête
A la lecture de l’énoncé, une question peut se poser : Est-il vrai qu’une norme spécifie que la
hauteur d’une marche doit être comprise entre 17cm et 20 cm ? Et, si oui, pourquoi cette norme ?
3.1 Eléments de réponses dans Wikipédia
Adresse consultée : http://fr.wikipedia.org/wiki/Escalier
On peut découvrir dans cette page de Wikipédia qu’en 1675,
François Blondel, un architecte, donne un cours dans lequel il
énonce la règle suivante (règle qui encore aujourd’hui porte son
nom) : " M=2h +g"
M est la longueur d’un pas ou d’une foulée ; h la hauteur de la
marche et g le giron (voir la figure empruntée au site ci-contre).La
longueur d’un pas est estimée à 2 pieds soit environ 64,8cm.
Figure 1
Pourquoi cette règle ? Blondel , nous dit-on, « mesure le pas (au sens
de distance franchie par le pied lors d'une marche normale sur un plan horizontal) et constate qu'« à
chaque fois qu'on s'élève d'un pouce, la valeur de la partie horizontale se trouve réduite de deux
pouces et que la somme de la hauteur doublée de la marche et de son giron doit demeurer constante
et être de deux pieds », l’idée directrice étant que la personne qui monte doit faire un effort
constant.
Lyon Ampères 2011
31
Deuxième exemple
Les battements de cœur
Extrait du Brevet
Le cœur humain effectue environ
5000 battements par heure.
• a. Écrire 5 000 en notation
scientifique.
• b. Calculer le nombre de
battements effectués en un jour,
sachant qu'un jour dure 24
heures.
• c. Calculer le nombre de
battements effectués pendant
une vie de 80 ans. On considère
qu'une année correspond à 365
jours. Donner la réponse en
notation scientifique.
• Caroline est invitée à fêter les
80 ans de sa grand-mère.
Comme elle s'ennuie un peu,
elle demande à regarder la
télévision dans le salon,
l'émission en cours est un
magazine sur la santé dont le
thème du jour est " le rythme
cardiaque". Caroline se
demande alors combien de
battements le cœur de sa
grand-mère a effectué dans
toute sa vie.
Lyon Ampères 2011
32
Changement de contrat
Extrait du Brevet
Le cœur humain effectue environ
5 000 battements par heure.
• a. Écrire 5 000 en notation
scientifique.
• b. Calculer le nombre de
battements effectués en un jour,
sachant qu'un jour dure 24
heures.
• c. Calculer le nombre de
battements effectués pendant
une vie de 80 ans. On considère
qu'une année correspond à 365
jours. Donner la réponse en
notation scientifique
Contrat ordinaire de travail :
Quelques termes du contrat :
•
Toutes les données utiles et seulement celles-là
sont mentionnées dans le texte de l’exercice (y
compris le fait qu’il y ait 24 heures dans une
journée!) et sont à prendre comme hypothèses
supposées vraies.
•
L’ordonnancement du travail est pris en charge
par l’ordre des questions posées.
•
Les techniques à mettre en œuvre sont
appelées par le texte
Note: Hypothèses supposées vraies . Typique d’une
façon de concevoir le travail du mathématicien :
faire des déductions à partir d’hypothèses qui sont
considérées comme vraies, le travail de vérifications
des hypothèses étant dévolus à d’autres secteurs de
pratiques sociales (sciences expérimentales…)
Lyon Ampères 2011
33
Vers un nouveau contrat
•
Caroline est invitée à fêter les 80
ans de sa grand-mère. Comme
elle s'ennuie un peu, elle
demande à regarder la télévision
dans le salon, l'émission en cours
est un magazine sur la santé dont
le thème du jour est " le rythme
cardiaque". Caroline se
demande alors combien de
battements le cœur de sa grandmère a effectué dans toute sa vie.
•
Complexification du travail et modification du
contrat
La complexification du travail va se faire en modifiant les
termes du contrat de travail
•
C1 Toutes les données ne sont pas nécessairement
dans le texte et il appartient donc à l’élève de se
donner les moyens de rechercher des données
manquantes pour l’étude de la question posée.
•
(C2 S’interroger sur la pertinence des informations
délivrées dans le texte : est-il vrai que l’on peut
raisonnablement supposer qu’un cœur humain bat
environ 5000 fois en une heure ? Est-il vrai qu’on
peut négliger comme le suggère le texte les années
bissextiles ? )
•
C3 Laisser à l’élève la charge de travail consistant à
ordonnancer le travail en étapes et à mobiliser les
techniques adéquates (ou pour être plus juste, les
organisations mathématiques) pour répondre à la
question soumise à l’étude.
Lyon Ampères 2011
34
Conclusion sous forme de question
• Poudrait-on créer des conditions
qui feraient que,
contractuellement les élèves
seraient autorisés à se poser des
questions et à en faire l’étude?
• « C'est une ardente obligation
d'une démocratie accomplie, où
chaque citoyen ou collectif de
citoyens doit pouvoir enquêter sur
toute question qui lui plaira…en
usant notamment d'un équipement
praxéologique de base dont la
formation scolaire l'aura doté. »
Y. Chevallard
Lyon Ampères 2011
35