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MA4 - 2012-2013
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Feuille de TD no 3
Espaces Euclidiens
Exercice 1. L’espace vectoriel R3 est muni de sa structure euclidienne canonique. V´erifier que les vecteurs u1 =
(1, 0, 1), u2 = (1, 0, 2) et u3 = (1, 1, 1) forment une base de R3 et en d´eterminer l’orthonormalis´ee de Gram-Schmidt.
Exercice 2. Dans R3 muni de sa structure canonique d’espace euclidien, orthonormaliser la famille u1 = (1, −2, −2),
u2 = (−1, 0, −1) et u3 = (5, −3, 7).
Exercice 3. Soit f : R3 × R3 → R d´efinie de la mani`ere suivante : si u = (x, y, z) et u0 = (x0 , y 0 , z 0 ) alors
f (u, u0 ) = 2xx0 + yy 0 + 2zz 0 + xy 0 + yx0 + xz 0 + zx0 + yz 0 + zy 0 .
1. Montrer que f est un produit scalaire sur R3 .
2. Soit P le sous-espace vectoriel de R3 d’´equation cart´esienne 2x − y + z = 0.
(a) D´eterminer l’orthogonal du sous-espace vectoriel P .
(b) D´eterminer un sous-espace vectoriel de R3 dont l’orthogonal est P .
3. D´eterminer l’orthonormalis´ee de Gram-Schmidt de la base canonique de R3 pour f.
Exercice 4. L’espace R3 est muni de la structure euclidienne canonique. Soit F le sous-espace vectoriel engendr´e
par v1 = (1, 0, 3) et v2 = (0, 2, 5).
1. Construire une base orthonorm´ee de F . Quel est l’orthogonal F ⊥ de F ?
2. Donner la matrice de la projection orthogonale sur F et de la sym´etrie orthogonale par rapport `a F dans la
base canonique de R3 .
3. Mˆemes questions lorsque F est d´efini par l’´equation 2x + 3y − 4z = 0.
Exercice 5. On consid`ere l’espace vectoriel R4 muni de la structure euclidienne canonique et le sous-espace vectoriel
F de R4 d´efini par le syst`eme d’´equations
x+y+z+t = 0
x+y−z−t = 0
1. Donner une base orthonorm´ee de F et une base orthonorm´ee de F ⊥ , l’orthogonal de F .
2. Donner la matrice de la projection orthogonale sur F dans la base canonique de R4 .
Exercice 6. On consid`ere l’espace euclidien R4 muni du produit scalaire canonique.
1. D´eterminer une base orthonorm´ee du sous-espace vectoriel F de R4 engendr´e par les vecteurs
V1 = (1, 0, 1, 0),
V2 = (0, 1, −1, 0),
V3 = (0, 2, 3, 1),
puis compl´eter cette base en une base orthonorm´ee de R4 .
2. Ecrire la matrice de la projection orthogonale sur F dans la base canonique.
Exercice 7. On consid`ere l’espace euclidien R4 muni du produit scalaire canonique. Soit F le sous-espace vectoriel
d´efini par le syst`eme d’´equations
√
x + 2y − z + 2t = 0
x − 3z = 0
1. D´eterminer F ⊥ .
2. Donner une base orthonorm´ee de F et une base orthonorm´ee de F ⊥ .
3. Calculer la projection orthogonale du vecteur V = (1, 1, 1, 1) sur F .
4. Calculer la distance de V `
a F et la distance de V `a F ⊥ .
Exercice 8. Dans l’espace vectoriel R3 muni du produit scalaire canonique, on consid`ere le plan vectoriel P engendr´e
par les vecteurs
v1 = (1, 0, −1), v2 = (2, −1, 0).
1. Donner une ´equation de P . Quel est l’orthogonal de P ?
2. En appliquant le proc´ed´e d’orthonormalisation de Gram-Schmidt `a la base {v1 , v2 }, trouver une base orthonorm´ee {w1 , w2 } de P . La compl´eter en une base orthonorm´ee {w1 , w2 , w3 } de R3 telle que la premi`ere composante
de w3 soit positive.
´
3. Ecrire
les matrices dans la base {w1 , w2 , w3 } de :
(a) la projection orthogonale p sur P ,
(b) la sym´etrie orthogonale s par rapport `a P .
4. Ecrire les matrices de p et de s dans la base canonique.
Exercice 9. Soit E l’espace vectoriel des polynˆ
omes `a coefficients r´eels, de degr´e inf´erieur ou ´egal `a n.
1. On d´efinit l’application Φ : E × E → R par
Z
+∞
Φ(P, Q) =
P (t)Q(t)e−t dt.
0
Montrer que l’application Φ d´efinit un produit scalaire sur E.
2. Calculer une base orthonorm´ee du sous-espace vectoriel engendr´e par 1, X et X 2 .
Exercice 10. Soit E l’espace des polynˆ
omes `
a coefficients r´eels, de degr´e inf´erieur ou ´egal `a 2. On munit E du
produit scalaire
Z 1
Φ(P, Q) =
P (t)Q(t) dt.
−1
2
1. Construire `
a partir de la base canonique (1, X, X ) de E une base orthonorm´ee (P1 , P2 , P3 ). En d´eduire l’orthogonal du sous-espace F engendr´e par 1, X.
2. D´eterminer la distance du polynˆ
ome P = X 2 + X + 1 au sous-espace vectoriel F de R2 [X] form´e des polynˆ
omes
0
f tels que f (0) = 0.
3. Calculer
Z
1
min
a,b,c∈R
sin(πx) − a − bx − cx2
2
−1
Exercice 11. A deux polynˆ
omes P et Q de Rn [X], on associe le nombre
Z
φ(P, Q) =
1
P 0 (t)Q0 (t) dt + P (0)Q(0).
0
1. Montrer que φ est un produit scalaire sur Rn [X].
2. Lorsque n = 2, donner une base orthonorm´ee pour ce produit scalaire.
dx.