Transcript TD 1 : ESPACES VECTORIELS Familles de vecteurs et dimension

TD 1 : ESPACES VECTORIELS
Familles de vecteurs et dimension
PT
2014-15
Etape 1 : Travail du cours.
Les exercices du PAC reprennent des propri´et´es ou des exemples du cours. Retravaillez ceux qui vous posent
probl`eme. Retravaillez les d´emonstrations du cours. Faites une liste des mots-cl´es. Indiquez dans votre cahier le
num´ero des exercices trait´es, ce qui vous a bloqu´e et ce que vous avez r´eussi.
Etape 2 : Exercices de base : fiches 1, 2, 3
Ces exercices permettent de travailler les bases du cours. Ils doivent vous permettre d’identifier les m´ecanismes
techniques ou les principales propri´et´es qui seront utiles pour des exercices plus complexes. Cherchez quelques-uns
de ces exercices (il n’est pas utile de traiter les trois fiches) pour v´erifier que vous avez bien assimil´e le cours. Vous
pourrez consulter des corrig´es.
´
Etape
3 : des exercices plus complets
Quand vous vous sentez prˆets, allez chercher les exercices propos´es en derni`ere partie. Ils sont du type de ceux que
vous aurez `
a l’oral ou en devoir,...
Fiche 1
Question de cours :
´
1. Enoncer
le th´eor`eme de la base incompl`ete.
2. Compl´eter les phrases suivantes :
Soit E un espace vectoriel de dimension n. Soit (e1 , . . . , ep ) une famille de vecteurs de E.
a. Si (e1 , . . . , ep ) est une famille libre, alors
(Comparer p et n)
b. Si (e1 , . . . , ep ) est une famille g´en´eratrice alors
Exercice 1.1
On se place dans E = R2 .
1. Trouver une base de F = {(x, y) ∈ E / 2x − 3y = 0}. D´eterminer un suppl´ementaire de F dans E.
2. D´ecrire H = Vect((1, 2)) (en donner une description comme celle de F ).
Exercice 1.2
1. On pose e1 = (1, 0, −1), e2 = (−1, 1, 2), e3 = (1, −2, 2). La famille (e1 , e2 , e3 ) est-elle une base de R3 ?
2. Dans R3 , d´eterminer le r´eel m pour que u = (3, 1, 6), v = (1, 1, 4) et w = (1, 0, m) soient lin´eairement
ind´ependants.
3. Soit n ∈ N. Montrer que Kn [X] = Vect(1, X − a, (X − a)2 , . . . , (X − a)n ).
Exercice 1.3
Montrer que K1 [X] = Vect(X − 1, X + 1).
Magali Hillairet
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Lyc´ee Franklin, Orl´eans
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Fiche 2
Question de cours : Soit E un K−espace vectoriel.
- Comment montrer qu’un ensemble F ⊂ E est un sous-espace vectoriel de E ?
- Donner la d´efinition puis la caract´erisation de F1 et F2 sont suppl´ementaires dans E :
- Soient E1 , . . . , Ep des sous-espaces de E.
Donner la d´efinition puis la caract´erisation de E1 , . . . , Ep sont en somme directe :
Exercice 1.4
On se place dans E = R3 .
1. Trouver une base de F = {(x, y, z) ∈ E / x − 2y + z = 0}. D´eterminer un suppl´ementaire de F dans E.
2. D´ecrire G = Vect((1, 1, 1), (0, 2, −1)) (en donner une description comme celle de F ).
3. D´ecrire H = Vect((−1, 1, 2)) (en donner deux descriptions).
Exercice 1.5
Montrer que les deux ensembles suivants sont deux sous-espaces vectoriels suppl´ementaires de R3 :
F = {(x, y, z) ∈ R3 / x = y} et G = {(x, y, z) ∈ R3 / x + 2z = 0 et − y + 2z = 0}.
Exercice 1.6
On consid`ere l’´equation diff´erentielle y 0 + 2ex y = 0 d’inconnue y : R → R d´erivable.
1. Montrer que l’ensemble des solutions de cette ´equation forme un R−espace vectoriel.
2. Trouver une fonction y0 telle que l’ensemble des solutions soit exactement Vect(y0 ).
Magali Hillairet
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Lyc´ee Franklin, Orl´eans
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Fiche 3
Question de cours :
Donner la d´efinition
- d’une famille libre :
- du rang d’une famille de vecteurs :
´
Enoncer
- la formule de Grassmann :
- Dans E un K−ev de dimension finie, donner
relations entre les dimensions de deux suppl´ementaires :
L les L
Que peut-on dire sur les dimensions si E1 · · · Ep = E ?
Exercice 1.7
On se place dans E = R3 [X].
1. Trouver une base de F = {aX 2 + aX + b, (a, b) ∈ R2 }. D´eterminer un suppl´ementaire de F dans E.
2. Trouver une base de G = {P ∈ E / P (0) = P (1) = 0}. D´eterminer un suppl´ementaire de G dans E.
3. D´ecrire G = Vect(1, X 2 ) (en donner une description comme celle de F ).
4. D´ecrire H = Vect((X − 1)2 , X 3 ).
Exercice 1.8
Montrer que l’ensemble suivant est un sous-espace vectoriel de R3 et en d´eterminer une base :
F = {(x, y, z) ∈ R3 / x + 2y + z = 0 et 2x + y + 3z = 0}.
Exercice 1.9
Soit F = {f : R → R, f d´erivable sur R et f (0) = f 0 (0) = 0}.
D´emontrer que F est un sous-espace vectoriel du R−ev E constitu´e par les fonctions de R dans R d´erivables.
Trouver un suppl´ementaire de F dans E.
Exercice 1.10
Voici une autre m´ethode pour d´emontrer la formule de Grassmann, qui n’utilise pas les bases mais les suppl´ementaires.
1. Quelle est la relation entre les dimensions de deux suppl´ementaires E1 et E2 dans un espace E de dimension
finie ?
2. F1 ∩ F2 est un sous-espace de F2 . Justifier que l’on peut consid´erer un suppl´ementaire G de F1 ∩ F2 dans F2 .
3. F1 est un sous-espace vectoriel de F1 + F2 . Montrez que G est un suppl´ementaire de F1 dans F1 + F2 .
4. Consid´erez les dimensions pour conclure.
Magali Hillairet
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Lyc´ee Franklin, Orl´eans
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Entraˆınement suppl´ementaire
Exercice 1.11
Montrer que {P ∈ R3 [X]/ P (X 2 ) = X 2 P (X)} et {P ∈ R3 [X]/ P (−1) = P (2)} sont des sous-espaces vectoriels
suppl´ementaires dans R3 [X].
Exercice 1.12
1. D´eterminer une base et la dimension de chacun des espaces vectoriels suivants :
a. Vect(2X 4 + 3X + 1, 8X 2 − 4X, 9X 4 + 2X 3 − X, 4X 3 + 2X 2 + 3X + 1)
b. {P ∈ R4 [X]/ P (0) = P (1) = P (2) = P (3)}.
c. {(x, y, z, t) ∈ R4 / x + y + z = 0, x − y − t = 0, x − y + 2z − t = 0}.
2. Montrer que la famille (X 3 + X + 1, X 3 − 2X + 2, X 2 + 3X) est libre et la compl´eter en une base de R5 [X].
3. Montrer que la famille ((5, 4, 1, −2), (1, 2, 0, 5)) est libre et la compl´eter en une base de R4 .
4. D´eterminer un suppl´ementaire des sous-espaces vectoriels suivants :
a. {(x, y, z, t) ∈ R4 / x + y − t = 0, x − y − t = 0, y − z + t = 0} dans R4 .
b. {P ∈ R3 [X]/ P (0) = P 0 (1) = 0} dans R4 [X].
Exercice 1.13
Polynˆ
omes de Lagrange
Soit n un entier naturel, n ≥ 1 et soient x0 , x1 , . . . , xn des ´el´ements de R deux `a deux distincts.
R[X] est l’ensemble des polynˆ
omes `
a coefficients r´eels.
Rn [X] est l’ensemble des ´el´ements de R[X] de degr´e au plus ´egal `a n.
Pour tout k appartenant `
a {0, 1, . . . , n}, on consid`ere le polynˆome Lk d´efini par :
Lk (X) =
n
Y
X − xj
xk − xj
j=0
j6=k
1. Pour k et i ´el´ements de {0, 1, . . . , n}, calculer Lk (xi ).
2. Montrer que (L0 , L1 , . . . , Ln ) est un syst`eme libre de Rn [X]. Que peut-on en d´eduire ?
3. Soit P un ´el´ement de Rn [X]. Quels sont ses coordonn´ees dans la base (L0 , L1 , . . . , Ln ) ?
Exercice 1.14
Soit A ∈ Mn (K) et t A la matrice de Mn (K) dont les lignes sont les colonnes de A.
t
A est appel´ee la transpos´
ee de A. On dit que A est sym´
etrique si t A = A, on dit que A est antisym´
etrique
t
si A = −A. On note Sn (K) l’ensemble des matrices sym´etriques de Mn (K) et An (K) l’ensemble des matrices
antisym´etriques de Mn (K).
1. Montrer que Sn (K) et An (K) sont des sous-espaces vectoriels de Mn (K).
2. D´eterminer une base et la dimension de Sn (K) et de An (K) (on pourra commencer pour n = 3, et g´en´eraliser
a n quelconque).
`
L
3. Montrer que Mn (K) = Sn (K) An (K).
4. Soit A ∈ Mn (K), ´ecrire la d´ecomposition de A suivant la somme pr´ec´edente, en explicitant les matrices en
fonction de A et de t A.
Exercice 1.15
Soit E un K−espace vectoriel. Soient E1 , . . . , Ep des sous-espaces de E.
Montrer que E1 , . . . , Ep sont en somme directe si et seulement si
E1 ∩ E2 = {0},
Magali Hillairet
(E1 + E2 ) ∩ E3 = {0},
(E1 + E2 + E3 ) ∩ E4 = {0}, . . .
4
(E1 + E2 + · · · + Ep−1 ) ∩ Ep = {0} .
Lyc´ee Franklin, Orl´eans
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Exercice 1.16
Espace vectoriel des suites r´ecurrentes lin´eaires d’ordre 2
I - Soit E l’espace vectoriel des suites de nombres r´eels et E le sous-ensemble de E des suites r´eelles v´erifiant la
relation de r´ecurrence :
∀n ≥ 0, un+1 = un+1 + 2un .
1. Montrer que E est un sous-espace vectoriel de E.
2. Montrer que les suites de termes g´en´eraux an = (−1)n et bn = 2n forment une famille libre de E.
3. En utilisant le fait qu’une suite (un ) de E est d´etermin´ee de mani`ere unique par la donn´ee de u0 et u1 , montrer
que (an ) et (bn ) forment une base de E.
4. D´eterminer la suite de E telle que u0 = 1 et u1 = −1.
II - G´en´eralisation
Soit E l’ensemble des suites r´eelles v´erifiant la relation de r´ecurrence :
∀n ≥ 0,
un+1 = αun+1 + βun ,
o`
u α, β sont des r´eels qui ne sont pas tous les deux nuls.
1. Montrer que E est un sous-espace vectoriel de E de dimension 2.
2. Soit r ∈ R. Montrer que la suite (rn )n∈N est dans E si et seulement si r est racine de l’´equation (Eqc ) :
r2 = αr + β.
3. On suppose que (Eqc ) admet deux racines r´eelles distinctes r1 et r2 , prouvez que les suites (r1n )n∈N et
(r2n )n∈N forment une base de E. En d´eduire l’expression du terme g´en´eral d’une suite (un ) de E en fonction
de r1 , r2 , u0 , u1 et n.
4. On suppose que (Eqc ) admet une unique racine r´eelle r0 , prouvez que les suites (r0n )n∈N et (nr0n )n∈N forment
une base de E. En d´eduire l’expression du terme g´en´eral d’une suite (un ) de E en fonction de r0 , u0 , u1 et n.
5. On suppose que (Eqc ) admet deux racines complexes ρeiθ et ρe−iθ . Montrez que les suites (ρn sin(nθ))n∈N
et (ρn cos(nθ))n∈N forment une base de E. En d´eduire l’expression du terme g´en´eral d’une suite (un ) de E en
fonction de ρ, θ, u0 , u1 et n.
Exercice 1.17 Exercice sur les familles infinies
On veut montrer que les familles suivantes sont libres dans l’espace vectoriel des applications de R dans R.
Pour cela, on suppose qu’il existe une combinaison lin´eaire (d’une sous-famille finie) de ces fonctions ´egale a
` la fonction
nulle, il s’agit ensuite de montrer que les coefficients de cette combinaison lin´eaire sont nuls. Par exemple, pour une famille
(f, g), on suppose qu’il existe (λ, µ) ∈ R tels que λf + µg = 0. On peut alors utiliser plusieurs m´ethodes :
1) la valeur en un ou plusieurs points : on a pour tout x ∈ R, λf (x) + µg(x) = 0.
2) la limite : si les fonctions ont une limite finie en a, on a λ lim f + µ lim g = 0.
a
a
3) la d´erivation : si les fonctions sont d´erivables sur I, on a λf 0 + µg 0 = 0.
Rb
Rb
4) l’int´egration : si les fonctions sont continues sur [a, b], on a λ a f + µ a g = 0.
5) utiliser un polynˆ
ome : si un polynˆ
ome P sur R a une infinit´e de racines, alors P est le polynˆ
ome nul, donc tous ses
coefficients sont nuls.
1. Appliquer l’une de ces m´ethode aux familles suivantes :
a) (cos, sin)
b) (exp, x 7→ x, ln) d´efinies sur R∗+
2
3
c) (exp, exp , exp ) (on comprendra les exposants comme des puissances ici).
2. Montrer que les familles suivantes sont libres dans l’espace vectoriel des applications de R dans R :
a) (x 7→ exp(nx))n∈N
b) Famille des fa : x 7→ |x − a|, a ∈ R
2
c) (x 7→ cos(nx))n∈N (on pourra montrer que
π
d) Famille des ga : x 7→ eax , a ∈ R.
Magali Hillairet
Z
π
cos(nx) cos(mx) dx =
0
5
0 si n 6= m
)
1 si n = m
Lyc´ee Franklin, Orl´eans