Transcript salle de bain et carrelage

Feuille 3 : Espaces vectoriels, sous-espaces vectoriels
Exercice 1 (Espace vectoriel : manipulation de la définition). Soit E un R-espace vectoriel. Montrer que le produit cartésien
E × E muni de l’addition habituelle :
(x, y) + (x0 , y0 ) = (x + x0 , y + y0 )
et de la multiplication externe par les complexes définie par
(a + ib).(x, y) = (a.x − b.y, a.y + b.x)
est un espace vectoriel sur C.
L’ensemble E avec cette nouvelle structure est appelé complexifié de E.
Exercice 2. (Etre ou ne pas être un sous-espace vectoriel).
1. Les sous-ensembles suivants de R2 sont ils des sous-espaces vectoriels ? Faire des dessins !
(a) {(x, y) ∈ R2 | 2x + 3y = 0}.
(b) {(x, y) ∈ R2 | 3x + y = 4}.
(c) {(x, y) ∈ R2 | y = x2 }.
(d) {(x, y) ∈ R2 | xy ≥ 0}.
2. Les sous-ensembles suivants de RN sont ils des sous-espaces vectoriels ?
(a) Ensemble des suites croissantes.
(b) Ensemble des suites monotones.
(c) Ensemble des suites bornées.
(d) Ensemble des suites qui convergent vers 0.
(e) Ensemble des suites périodiques.
(f) Ensemble des suites divergentes.
(g) Ensemble des suites arithmétiques.
(h) Ensemble des suites géométriques.
(i) Ensemble des suites (xn ) telles que : ∀n ∈ N, xn+2 = xn+1 + xn .
3. Les sous-ensembles suivants de F (R, R) sont ils des sous-espaces vectoriels ?
(a) Ensemble des fonctions positives.
(b) Ensemble des fonctions qui s’annulent en 0.
(c) Ensemble des fonctions continues sur R.
(d) Ensemble des fonctions dérivables sur R.
(e) Ensemble des fonctions nulles en dehors d’un segment.
4. Les sous-ensembles suivants de K3 [x] sont ils des sous-espaces vectoriels ?
(a) Ensemble des polynômes P de degré au plus 3 tel que P(0) + P(1) + P(2) = 0.
(b) Ensemble des polynômes P de degré au plus 3 tel que
1
R1
0
P(x)dx = 1.
Exercice 3. (Sous-espace engendré par une partie).
1. Dans les différents cas suivants décrire le sous-espace engendré par la partie P de R2 et faire un dessin.
(a) P est le vecteur (0, 0).
(b) P est le vecteur (1, 1).
(c) P est la partie {(1, 1), (−3, −3)}.
(d) P est la partie {(1, 1), (−1, 1)}.
(e) P est le cercle de centre 0 et de rayon 1.
(f) P est la parabole d’équation y = x2 .
(g) P est la droite d’équation y = x.
(h) P est la droite d’équation y = x + 1.
2. Dans les différents cas suivants décrire le sous-espace engendré par la partie P de R3 et faire un dessin.
(a) P est le vecteur (0, 0, 0).
(b) P est le vecteur (1, 1, 1).
(c) P est la partie {(4, 0, 0), (0, −3, 0)}.
(d) P est la partie {(1, 1, 1), (1, 1, 0), (1, 0, 0)}.
(e) P est la sphère de centre 0 et de rayon 1 et d’équation x2 + y2 + z2 = 1.
(f) P est le plan affine d’équation x + y + z = 1.
(g) P est le plan d’équation y = x.
Exercice 4. (Etre ou ne pas être en somme directe).
On se place dans R3 . On considère les sous-espaces vectoriels
F = {(x, y, z) ∈ R3 | x + y + z = 0} et G = {(x, y, z) ∈ R3 | x = 0}.
1. Ces sous-espaces sont ils en somme directe ?
2. Quelle est la somme F + G ? Les espaces F et G sont ils supplémentaires ?
3. Donner toutes les décompositions du vecteur (1, 1, 1) sur F et G.
Mêmes questions avec G = {(x, y, z) ∈ R3 | x = y = 0}.
Faire des dessins.
Exercice 5. On considère l’espace vectoriel des suites de réels RN . On note F l’ensemble des suites qui convergent vers 0
et G l’ensemble des suites constantes.
1. Montrer que F et G sont des sous-espaces vectoriels de RN .
2. Sont ils supplémentaires ? Quel est l’espace engendré par F et G ?
3. Faire un dessin.
Exercice 6. Soit F, G et H trois sous-espaces vectoriels d’un K espace vectoriel E. Comparer
1. F ∩ (G + H) et (F ∩ G) + (F ∩ H).
2. F + (G ∩ H) et (F + G) ∩ (F + H).
2