Transcript DS 1-3 : suites (durée 90mn)

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Chapitre 1: suites
DS 1-3 : suites (dur´ee 90mn)
D’apr`es BAC ES 2013 sujet m´etropole
Un industriel ´etudie l’´evolution de la production des jouets sur la machine VP1OOO de son entreprise.
En 2000, lorsqu’il l’a achet´ee, elle pouvait produire 120 000 jouets par an.
Du fait de l’usure de la machine, la production diminue de 2% par an.
On mod´elise le nombre total de jouets fabriqu´es au cours de l’ann´ee (2000 + n) par une suite (Un ). On
a donc U0 = 120000.
1. Montrer que, pour tout entier naturel n : Un = 120000 × 0, 98n .
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* Solution:
Chaque ann´ee on applique une baisse de 2% donc on applique le coefficient multiplicateur
2
1−
= 0, 98
100
On a donc Un+1 = 0, 98Un donc (Un ) est une suite g´eom´etrique de premier terme U0 = 120000 et
de raison q = 0, 98
donc Un = U0 q n = 120000 × 0, 98n
2.a) Quel a ´et´e le nombre de jouets fabriqu´es en 2005 ?
* Solution:
2005 = 2000 + 5 donc on prend n = 5.
U5 = 120000 × 0, 985 ≈ 108470
En 2005, l’entreprise fabriquera 108470 jouets.
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( 10 points )
Exercice 1
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b) D´eterminer `
a partir de quelle ann´ee, le nombre de jouets fabriqu´es sera strictement inf´erieur `a 100000.
* Solution:
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un ≤ 100000 ⇐⇒ 120000 × 0, 98n ≤ 100000
100000
⇐⇒ 0, 98n ≤
120000
10
n
⇐⇒ 0, 98 ≤
12
5
n
⇐⇒ 0, 98 ≤
6
Avec le MENU TABLE en saisissant Y1= 0, 98X on a :
5
≈ 0, 83333 et 0, 989 ≈ 0, 8337 et 0, 9810 ≈ 0, 817
6
donc `a partir de l’indice n = 10, on a U10 < 100000.
Or
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Avec le MENU RECUR (suites) de la calculatrice, on peut aussi afficher directement les valeurs
des termes de la suite.
MENU RECUR puis s´electionner TYPE an .
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On a alors U9 ≈ 100049 et U10 ≈ 98048.
On a donc Un ≤ 100000 pour n ≥ 10 soit `a partir de 2005 + 10 = 2015.
5
Si le chapitre sur le logarithme a ´et´e trait´e, on peut r´esoudre l’in´equation 0, 98n ≤
6
5
5
0, 98n ≤ ⇐⇒ ln(0, 98n ) ≤ ln
6
6
5
⇐⇒ nln(0, 98) ≤ ln
6
5
ln
6
⇐⇒ n ≥
L’in´egalit´e change de sens car ln(0, 98) < 0
ln(0, 98)
5
ln
6
On a
≈ 9, 02 et n est un entier naturel
ln(0, 98)
donc n ≥ 10
c) Cet industriel d´ecide qu’il changera la machine lorsqu’elle produira moins de 90 000 jouets par an.
Recopier et compl´eter les lignes 8 et 9 de l’algorithme ci-dessous afin qu’il permette de d´eterminer
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le plus petit entier naturel n tel que Un < 90000.
* Solution:
n augmente de 1 `
a chaque passage dans la boucle et on calcule le terme suivant de la suite.
A prend donc successivement les valeurs U1 , U2 ...
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Remarque
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3.a) Exprimer 1 + 0, 98 + 0, 982 + · · · + 0, 98n en fonction de n.
* Solution:
Si (vn ) est la suite g´eom´etrique de premier terme v0 = 1 et de raison q = 0, 98
on a alors vn = v0 q n = 0, 98n
1 − 0, 98n+1
1 − 0, 98n+1
=
1 − 0, 98
0, 2
n
dans la somme v0 + v1 + v2 + · · · + v , il y a n + 1 termes.
1 + 0, 98 + 0, 982 + · · · + 0, 98n = v0 + v1 + v2 + · · · + v n =
1 + 0, 98 + 0, 982 + · · · + 0, 98n =
1 − 0, 98n+1
0, 2
b) On pose Sn = U0 + U1 + U2 + · · · + Un .
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Montrer que Sn = 6000000 × 1 − 0, 98n+1 .
* Solution:
Sn = U0 + U1 + U2 + · · · + Un
= 120000 + 120000 × 0, 98 + 120000 × 0, 982 + · · · + 120000 × 0, 98n
= 120000(1 + 0, 98 + 0, 982 + · · · + 0, 98n )
1 − 0, 98n+1
= 120000
0, 2
120000
=
(1 − 0, 98n+1 )
0, 2
= 6000000(1 − 0, 98n+1 )
Sn = 6000000(1 − 0, 98n+1 )
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c) En d´eduire le nombre total de jouets fabriqu´es pendant les 15 premi`eres ann´ees de production.
* Solution:
S15 = 6000000(1 − 0, 9815+1 ) = 6000000(1 − 0, 9816 ) ≈ 8289609
( 10 points )
Exercice 2
Le responsable du foyer des jeunes d’un village a d´ecid´e d’organiser une brocante annuelle. Pour la
premi`ere brocante, en 2012, il a recueilli 110 inscriptions.
D’apr`es les renseignements pris aupr`es d’autres organisateurs dans les villages voisins, il estime que d’une
ann´ee sur l’autre, 90% des exposants se r´einscriront et que 30 nouvelles demandes seront d´epos´ees.
On d´esigne par un le nombre d’exposants en (2012 + n) avec n un entier naturel.
Ainsi u0 est le nombre d’exposants en 2012, soit u0 = 110.
1. Quel est le nombre d’exposants attendu pour 2013 ?
* Solution:
Correction compl`ete sur MATHS-LYCEE.FR classe de terminale ES
2. Justifier que, pour tout entier naturel n : un+1 = 0, 9un + 30.
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3. Vu la configuration actuelle de la manifestation dans le village, le nombre d’exposants ne peut pas
exc´eder 220.
Recopier et compl´eter l’algorithme propos´e ci-dessous afin qu’il permette de d´eterminer l’ann´ee `
a partir
de laquelle l’organisateur ne pourra pas accepter toutes les demandes d’inscription.
4. Pour tout entier naturel n, on pose vn = un − 300.
a) D´emontrer que la suite (vn ) est une suite g´eom´etrique de raison 0, 9.
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Au total, il y aura 8 289 609 jouets fabriqu´es en 15 ann´ees.
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b) D´eterminer le r´esultat recherch´e par l’algorithme de la question 3 en r´esolvant une in´equation.
5. L’organisateur d´ecide d’effectuer une d´emarche aupr`es de la mairie pour obtenir assez de place pour ne
jamais refuser d’inscriptions. Il affirme au maire qu’il suffit de lui autoriser 300 emplacements. A-t-il
raison de proposer ce nombre ? Pourquoi ?
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