Transcript Article 1

C.P.G.E K HOURIBGA
C ENTRE I BN A BDOUN
S ÉRIE n o 6
2014/2015
Suites numériques
Exercice 1.
Les assertions suivantes sont elles vraies ou fausses ?
1.
2.
3.
4.
Si une suite positive est non majorée elle tend vers +∞.
Toute suite convergente est bornée .
Toute suite bornée est convergente.
Toute suite monotone est convergente.
Exercice 2.
Soit (u n )n une suite à valeurs dans Z.
Montrer que (u n )n converge si, et seulement si, elle est stationnaire.
Exercice 3.
Étudier les limites des suites suivantes :
2 +(−1)n
Pn
n
p1 .
cos n!
; cos(n) sin( n1 ) ; n 2n
2 +n ;
k=1
k
Exercice 4.
Soit (u n )n une suite numérique :
1.
2.
Montrer que si (u 2n )n et (u 2n+1 )n convergent vers une même limite ` alors la suite (u n )n converge de
limite `.
Montrer que si les suites (u 2n )n , (u 2n+1 )n et (u 3n )n sont convergentes, alors la suite (u n )n converge.
Exercice 5.
Soit (u n )n une suite de réels telle que lim
n→+∞
Déterminer la limite de (u n )n .
u n+1
= 0.
un
Exercice 6.
Soit (u n )n une suite réelle telle que ∀n, m ∈ N∗ 0 ≤ u n+m ≤
Montrer que (u n )n converge.
MPSI 2
1/5
n+m
nm
.
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Exercice 7.
Soient (u n )n et (v n )n deux suites réelles telles
lim (u n2 + 3u n v n + 3v n2 ) = 0
n→+∞
Montrer que les suites (u n )n et (v n )n sont convergentes (de limite nulle) .
Exercice 8.
p
Soit (u n )n la suite définie par u 0 = −1 et ∀n ∈ N , u n+1 = 1 + u n .
Montrer que cette suite est bien définie et étudier sa convergence.
Exercice 9 (e est irrationnelle).
Pour tout n ∈ N on pose :
P
1
1
u n = nk=0 k!
et v n = u n + n.n!
.
1.
2.
3.
Montrer que les deux suites (u n )n et (v n )n sont adjacentes.
Montrer que la limite commune à (u n )n et (v n )n est irrationnelle.
Montrer que :
∀n ∈ N , e = u n +
R 1 (1−t )n
0
n!
et d t.
4. En déduire que (u n )n et (v n )n convergent vers e.
Exercice 10.
Soit (u n )n une suite réelle de limite ` ∈ R. Pour n ∈ N∗ on pose v n =
1
n
Pn
k=1
un .
lim v n existe et vaut `.
1. Théorème de Cesàro : Montrer que n→+∞
2. Applications :
u n+1
lim (u n+1 − u n ) = ` ∈ R. Monter que lim
= `.
2.1 Soit (u n )n une suite telle que n→+∞
n→+∞ n
2.2 Soit (u n )n une suite de terme générale strictement positif telle que :
u n+1
= ` ∈ R+ ∪ {+∞}.
un
p
Montrer que lim n u n = `.
lim
n→+∞
n→+∞
q
p
n
n
n
2.3
Calculer
lim
n!
et
lim
C 2n
.
n→+∞
n→+∞
MPSI 2
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Exercice 11.
Montrer que la suite (sin n)n diverge.
Exercice 12.
Soit a > 0 et (u n )n la suite définie par u 0 = a et u n+1 = u n + u n2
1.
2.
3.
Étudier la monotonie de (u n )n .
En déduire la limite de (u n )n .
Démontrer que :
∀n ∈ N , u n2 ≤ u n+1 et u n+1 + 1 ≤ (u n + 1)2 .
4. Démontrer que :
1
n
n
1
∀n ∈ N , u n + 1 ≤ (1 + u 0 )2 . Pour n ∈ N, on pose v n = u n2 et w n = (u n + 1) 2n .
4.1
4.2
4.3
4.4
Justifier ces définitions et montrer que ∀n ∈ N , v n > 0 et w n > 0.
Démontrer que (v n )n et (w n )n convergent.
vn
lim
= 1.
Montrer que n→+∞
wn
Montrer que les deux suites (v n )n et (w n )n sont adjacentes.
Exercice 13.
n 1
X
et v n = u n + n1 .
2
k
k=1
Montrer que les suites (u n )n et (v n )n convergent vers la même limite.
Pour n ∈ N∗ on pose u n =
Exercice 14 (Comparaison logarithmique).
Soient (u n )n et (v n )n deux suites à termes strictement positifs, telles que à partir d’une certain rang n 0 ;
v n+1
.
vn
Montrer que la suite ( uv nn )n est bornée .
u n+1
≤
un
n
Application : Montrer que pour tout a > 1, la suite ( an! )n tend vers 0.
Exercice 15.
Soit (z n )n une suite complexe telle que z n+1 =
Étudier la convergence de (z n )n .
MPSI 2
z n +|z n |
.
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Exercice 16.
Pour n ∈ N, on pose S n =
1.
2.
n (−1)k
X
.
k=0 n
Montrer que les suites (S 2n )n et (S 2n+1 )n sont adjacentes.
En déduire la convergence de (S n )n .
Exercice 17.
1.
2.
3.
p
Soient a et b deux réels strictement positifs. Montrer que ab ≤
Montrer que si 0 < a ≤ b, alors a ≤
a +b
.
2
p
a +b
≤ b et a ≤ ab ≤ b.
2
Soient u 0 et v 0 deux réels strictement positifs tels que u 0 < v 0 , on définit deux suites (u n )n et (v n )n de la
façon suivante u n+1 =
3.1
3.2
un + v n
p
u n v n et v n+1 =
2
Montrer que pour tout n ∈ N ; u n ≤ v n .
Montrer que les deux suites (u)n et (v n )n sont convergentes et quelles ont même limite.
Exercice 18.
Soient (u n )n et (v n )n deux suites à valeurs dans [0, 1] telles que la suite (u n v n )n converge de limite 1. Montrer
que les suites (u n )n et (v n )n sont convergentes.
Exercice 19.
Soit ` ∈ R. Soit (u n )n une suite numérique bornée dont toute sous-suite convergente converge vers `. Montrer
que (u n )n est convergente.
Exercice 20.
Soit (u n )n une suite réelle bornée telle que 3u n + u 2n converge vers 1.
1. Soit φ : N → N strictement croissante telle que (u φ(n) )n converge. On note `0 sa limite. Montrer que ,pour
tout k ∈ N la suite (u 2k φ(n) )n converge et calculer sa limite `k en fonction de `0 et k. Puis montrer que
(`k )k est bornée.
En déduire `0 .
2. Montrer que (u n )n converge et déterminer sa limite.
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Exercice 21.
Déterminer la suite réelle (u n )n vérifiant : 4u n+2 − 8u n+1 + 3u n avec u 0 = 2 et lim u n = 0.
n→+∞
n
X
u k , puis calculer lim S n .
Donner une expression simple de S n =
n→+∞
k=0
Exercice 22.
Donner l’expression des suites réelles récurrente suivantes :
1.
2.
3.
MPSI 2
u 0 = 3 , u 1 = 2 et ∀n ∈ N, u n+2 = u n+1 − u n .
u 0 = 0 , u 1 = 1 et ∀n ∈ N, u n+2 = 4u n+1 − 3u n .
u 0 = 1 , u 1 = 2 et ∀n ∈ N, u n+2 = −2u n+1 − u n .
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