Transcript CONFÉRENCES AKAL 2015 Soirée « témoignages »

MATHS SUP
Lycée Laetitia-Bonaparte Ajaccio
Suites de nombres (1)
PTSI TD
Feuille n 2
I
On rappelle qu’une suite (un ) est géométrique si :9q 2 R = 8n 2 N; un+1 = un q.
Le réel q (indépendant de n) s’appelle raison de la suite (un ).
Le n-ième terme d’une suite géométrique de raion q est : un = u0 q n (ou : u1 q n 1 : : :)
1 q n+1
.
1. Montrer que : 8n 2 N; 8q 2 Rn f1g ; 1 + q + q 2 + : : : + q n =
1 q
En déduire que la somme des termes consécutifs d’une suite géométrique de raison q 6= 1 s’écrit
S=
1er terme
q dernier terme
1 q
2. Applications : a. Calculer, pour x 2 Rn f1g et n 2 N : 1 + x + x2 + : : : + xn .
2 jxjn+1 .
En déduire que pour x réel : jxj 21 =) 1 1 x (1 + x + x2 + : : : + xn )
3. Calculer, pour x 2 Rn f 1; 1g et n 2 N : 1 + x2 + : : : + x2n .
Calculer, pour x 2 R et n 2 N : 1 x2 + x4 + : : : + ( 1)n x2n .
II
1. Soit A un sous-ensemble majoré de R. Montrer qu’il existe une suite d’éléments de A
convergeant vers la borne supérieure de A. (Indication : utiliser la propriété de la borne supérieure
en prenant " = n1 ).
2. Montrer que tout nombre réel est limite d’une suite de nombres rationnels (Indication :
utiliser le fait que Q est dense dans R : voir feuille 1).
III
Etudier les limites des suites :
4 +2n3 +1
2n2 +(
1.
; 2. 5nn3 +n
; 3. 3n
2 +2
2 +(
n
P
k2.
de la suite n13
3n2 +2n 1
5n+3
1)n
1)n
; 4.
n2 +cos n
2n2 +sin n
5.
2n 3 n
2n +3n
; 6.
2n +n100
;
2n n99
7. Etudier la limite
k=1
IV
Di¤érentes façons d’étudier la suite un =
n
P
k=1
1. Montrer que (un ) est croissante.
2. Montrer que pour tout entier naturel n,
2n
P
k=n+1
1
k
1
.
2
1
.
k
En déduire la limite de la suite (un ).
3. Comparaison
R k+1 dtavec 1une intégrale : montrer que pour tout entier naturel k > 0 on a :
1
. Interpréter graphiquement cet encadrement.
k+1
t
k
k
En déduire un encadrement de (un ) et conclure. Donner un équivalent simple de (un ).
n
P
V Di¤érentes façons d’étudier la suite vn = k12 .
k=1
1
1
1. Montrer que pour tout entier k 2 on a k12
. En déduire une majoration de (vn ).
k 1
k
En déduire que (vn ) est convergente et donner un encadrement de la limite.
2. Etudier la convergence de (vn ) en comparant avec une intégrale (s’inspirer de l’exercice
précédent).
1
VI
Suites géométriques :
Montrer que pour tout entier naturel n et tout réel a
(1 + a)n
0:
1 + na:
En déduire l’étude de la convergence d’une suite géométrique de raison q suivant les valeurs de
q.
VII
Comparaison avec une suite géométrique :
1. Soit (vn ) une suite convergente vers un réel l > 1. Montrer qu’il existe un réel l0 > 1 et un
entier naturel N tel que pour tout entier n N on ait vn l0 .
Enoncer et démontrer une propriété analogue pour 0 l < 1.
= l. Montrer que :
2. Soit (un ) une suite de réels strictement positive telle que lim uun+1
n
* Si l > 1 alors lim un = +1;
* Si l < 1 alors lim un = 0.
p
= l, par lim n un = l.
3. Mêmes résultat en remplaçant lim uun+1
n
4. Applications : étudier la convergence des suites suivantes :
n
n
p
n7
; a ; a ; n ; n! (a réel et p entier naturel donné).
(1;01)n np n! n! n3 4n
Comparer les vitesses de convergence de an , np , n! et nn .
VIII
Utilisations du théorème de comparaison :
n)
1. Limite de la suite dé…nie par : xn = ln(2+cos
;
n
n
2. Pour 1 k n, encadrer n2 +k par deux expressions indépendantes de k; en déduire la limite
n
P
n
de la suite un =
;
n2 +k
k=1
3. Prouver que si x
n
Q
par : vn =
1 + nk2 .
0 on a : x
x2
2
ln (1 + x)
k=1
4. Limite de la suite dé…nie par : wn =
IX
1
n2
n
P
x. En déduire la limite de la suite dé…nie
E (kx).
k=1
Suites adjacentes :
1
. Montrer que
1. On considère les suites dé…nies par un = 1 + 1!1 + 2!1 + ::: + n!1 et vn = un + n:n!
les suites (un ) et (vn ) sont adjacentes et que leur limite commune est un nombre irrationnel.
n
n+1
2. Montrer que les suites 1 + n1
et 1 + n1
sont adjacentes. En déduire qu’elles sont
convergentes. Quelle est leur limite commune ?
Un peu d’histoire. Notion de suite. La notion de suite et de limite naquit avec la méthode
d’exhaustion, technique utilisée par les mathématiciens grecs de l’antiquité pour calculer des
longueurs, des aires et des volumes (c’est ainsi
qu’Arhimède approximait l’aire d’un disque en y
inscrivant une suite de polygones réguliers.
p
Irrationalité de 2. Ce résultat est connu
dès l’Antiquité grecque et est attribué à l’école
de Pythagore vers 550 avant J.-C. La question
était importante car les géomètres grecs savaient
que dans un carré de côté l’unité, le carré de la
2
diagonale est égal à 2, et donc que cette diagonale
était constructible à la règle et au compas.
Nombre transcendants. Un nombre est transcendant s’il n’est solution d’aucune équation
polynomiales
à coe¢ cients entiers. Par exemp
ple 2 n’est pas transcendant puisque solution
de l’équation x2 2 = 0. Jusqu’en 1844 personne
ne savait s’il existait un seul nombre transcen-
dant. En 1873 Charles Hermite démontre que
le réel e est transcendant, et en 1882 Ferdinand
Lindemann montre que est transcendant. Ce
dernier résultat clos le problème de la quadrature
du cercle posé depuis l’Antiquité par les Grecs
(qui consiste à construire à la règle et au compas
un carré ayant même aire qu’un cercle donné) en
y répondant par la négative.
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