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Term ES
Ch 2: Les suites
Correction exercices 6-7-8
Exercice 6 :
On considère la suite (un) définie pour tout entier n par : u0 = 12 et un  1 = 0,5 un  3
1. Calculer u1 et u2. La suite (un) est-elle géométrique ? Justifier.
u1 = 0,5 u0  3 = 0,5 × 12 + 3 = 6 + 3
u2 = 0,5 u1  3 = 0,5 × 9 + 3 = 4,5 + 3
u1 9
= = 0,75
u0 12
u2 7,5
=
 0,83
u1 9
u1 u2
≠
u0 u1
Donc u1 = 9
Donc u2 = 7,5
donc la suite (un) n'est pas géométrique
2. On définit la suite (vn) par : pour tout entier naturel n : vn = un  6
Calculer v0, v1 et v2. Quelle conjecture pouvez-vous faire sur la nature de la suite (vn) ?
v0 = u0  6 = 12  6
v1 = u1  6 = 9  6
v2 = u2  6 = 4,5  6
Donc v0 = 6
Donc v1 = 3
Donc v2 = 1,5
On remarque que v1 = 0,5 × v0 et que v2 = 0,5 × v1
La suite (vn) semble géométrique de raison 0,5
3. On va démontrer que la suite (vn) est géométrique de raison 0,5.
Formules à disposition :
(1) : un + 1 = 0,5 un + 3
(2) : vn = un  6
But à atteindre :
pour démontrer que (vn) est géométrique de raison 0,5
il faut prouver que vn + 1 = 0,5 vn
Pour le prouver on calcule séparément vn + 1 et 0,5 vn
Calcul de vn + 1
Avec (2) : vn + 1 = un + 1  6
Avec (1) : vn + 1 = ( 0,5 un + 3 )  6
vn + 1 = 0,5 un  3
Calcul de 0,5 vn
Avec (2) : 0,5 vn = 0,5 ( un  6 )
0,5 vn = 0,5 un  0,5 × 6
0,5 vn = 0,5 un  3
Les 2 calculs vn + 1 et 0,5 vn ont conduit au même résultat donc vn + 1 = 0,5 vn
La suite (vn) est donc géométrique de raison 0,5 et de 1er terme v0 = 6
4. Exprimer vn en fonction de n
La suite (vn) étant géométrique, on a vn = v0 × qn Donc vn = 6 × 0,5n
5. En déduire l'expression de un en fonction de n
D'après la relation (2) : vn = un  6
Comme vn = 6 × 0,5
n
donc un = vn  6
on en déduit un = 6 × 0,5n + 6
Remarque : la méthode vue à la question 3, permettant de démontrer qu'une suite est géométrique est importante. Elle
est utilisée dans la plupart des exercices dans les sujets de Bac.
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------M. Dellac
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Exercice 7 :
Partie A : observation d’une suite de nombres.
1. On donne en Annexe 1 ( page suivante ) la représentation graphique des premiers termes d’une suite (un).
Conjecturer les variations et la convergence de la suite (un).
D'après la représentation graphique de l'annexe 1, la suite (un) semble croissante et semble converger vers 2000.
2. Annexe 2 ( page suivante ) : Les quatre premiers termes de la suite ont été calculés avec un tableur. La suite peutelle être arithmétique ? géométrique ? Justifier.
u1  u0 = 740  600 = 140
u2  u1 = 866  740 = 126
u1  u0 ≠ u2  u1 donc la suite (un) n'est pas arithmétique
u1 740
=
 1,23
u0 600
u2 866
=
 1,17
u1 740
u1 u2
≠
donc la suite (un) n'est pas géométrique
u0 u1
Partie B : étude de la suite.
La suite (un) observée dans la partie A est la suite définie par u0 = 600 et pour n ∈ ℕ, un + 1 = 0,9 un  200.
3. Retrouver par un calcul la valeur de u1.
u1 = 0,9 u0  200 = 0,9 × 600 + 200 = 540 + 200 Donc u1 = 740
4. Tableur de l’Annexe 2 : quelle formule a été entrée en C2 (formule qui a été recopiée vers la droite) ?
On peut écrire en C2
= 0,9 * B2 + 200
5. On considère la suite (vn) définie par pour n ∈ ℕ, vn = un  2000.
a.
b.
Calculer v0 et v1.
v0 = u0  2 000 = 600  2 000
Donc v0 =  1 400
v1 = u1  2 000 = 740  2 000
Donc v1 =  1 260
Démontrer que la suite (vn ) est géométrique de raison 0,9.
Exprimer vn en fonction de n
Formules à disposition :
(1) : un + 1 = 0,9 un + 200
(2) : vn = un  2 000
But à atteindre :
pour démontrer que (vn) est géométrique de raison 0,9
il faut prouver que vn + 1 = 0,9 vn
Pour le prouver on calcule séparément vn + 1 et 0,9 vn
Calcul de vn + 1
Avec (2) : vn + 1 = un + 1  2 000
Avec (1) : vn + 1 = ( 0,9 un + 200 )  2 000
vn + 1 = 0,9 un  1 800
Calcul de 0,9 vn
Avec (2) : 0,9 vn = 0,9 ( un  2 000 )
0,9 vn = 0,9 un  0,9 × 2 000
0,9 vn = 0,9 un  1 800
Les 2 calculs vn + 1 et 0,9 vn ont conduit au même résultat donc vn + 1 = 0,9 vn
La suite (vn) est donc géométrique de raison 0,9 et de 1er terme v0 =  1 400
La suite (vn) étant géométrique, on a vn = v0 × qn Donc vn =  1 400 × 0,9n
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c.
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En déduire que pour n ∈ ℕ, un = 2 000  1 4000,9n
D'après la relation (2) : vn = un  2 000
donc un = vn  2 000
Comme vn =  1 400 × 0,9n on en déduit un =  1 400 × 0,9n + 2 000
d.
Donner une valeur approchée de u10 arrondie à 10-2 près
D'après la formule précédente, u10 =  1 400 × 0,910 + 2 000
Donc u10  1 511,85
6.
a.
Quel est le but de l’algorithme de l’Annexe 3 ( page suivante ) ?
Le but de cet algorithme est de déterminer la 1ère valeur de n pour laquelle un sera supérieur ou égal à
1 300.
b.
Recopier et compléter à l'aide de la calculatrice, autant que nécessaire, le tableau suivant ( les résultats seront
arrondis à l'unité ). Donner la réponse qui va s’afficher.
Valeur de n
Valeur de u
Condition u  1300
0
600
Vraie
1
740
Vraie
2
866
Vraie
3
979
Vraie
4
1081
Vraie
5
1173
Vraie
6
1256
Vraie
7
1330
Fausse
L'algorithme affichera la valeur 7
Partie C : mise en situation.
Le gestionnaire d'une salle de concert constate que, chaque année, 10 % de ses abonnés ne renouvellent pas leur
abonnement mais que s'ajoutent 200 nouveaux abonnés. Le nombre d'abonnés en 2010 était de 600.
7. Démontrer que cette situation peut être modélisée par la suite (un) de la partie B.
Notons an le nombre d'abonnés de cette salle de concert en 2010 + n.
* a0 = 600
* D'une année sur l'autre, le nombre d'abonnés doit être multiplié par 0,9 ( coefficient multiplicateur
correspondant à une baisse de 10 % ) et il faut ajouter 200 ( le nombre de nouveaux abonnés ).
Donc an + 1 = 0,9 an + 200
On a donc a0 = 600 et an + 1 = 0,9 an + 200. On retrouve la définition de la suite (un) de la partie B.
La situation peut donc être modélisée par la suite (un) de la partie B
8. Que signifie la réponse à la question 6.b. de la partie B ?
C'est en 2017 que le nombre d'abonnés à cette salle de concert dépassera pour la 1ère fois 1300.
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Exercice 8 :
Une entreprise du secteur "Bâtiments et Travaux Publics" doit réduire la quantité de déchets qu'elle rejette pour respecter
une nouvelle norme environnementale. Elle s'engage à terme à rejeter moins de 30 000 tonnes de déchets par an.
En 2010, l'entreprise rejetait 40 000 tonnes de déchets.
Depuis cette date, l'entreprise réduit chaque année la quantité de déchets qu'elle rejette de 5 % par rapport à la quantité
rejetée l'année précédente, mais elle produit par ailleurs 200 tonnes de nouveaux déchets par an en raison du
développement de nouvelles activités.
Pour tout entier naturel n, on note dn la quantité de déchets ( en tonnes) rejetés pour l'année
( 2010  n ). On a donc d0 = 40 000
Partie A :
1. Justifier que d1 = 38 200 et que d2 = 36 490
d1 = 0,95 × 40 000  200 = 38 000 + 200
Donc d1 = 38 200
d2 = 0,95 × 38 200 + 200 = 36 290 + 200
Donc d2 = 36490
2. Expliquer pourquoi on a pour tout entier naturel n : dn  1 = 0,95 dn  200
D'une année sur l'autre, la quantité de déchets doit être multipliée par 0,95 ( coefficient multiplicateur
correspondant à une baisse de 5 % ) et il faut ajouter 200 ( les nouveaux déchets ).
Donc dn + 1 = 0,95 dn + 200
3. La suite (dn) est-elle arithmétique ? géométrique ?
d1  d0 = 38 200  40 000 =  1 800
d2  d1 = 36 490  38 200 =  1 710
d1  d0 ≠ d2  d1 donc la suite (dn) n'est pas arithmétique
d1 38 200
=
 0,955
d0 40 000
d2 36 490
d
=
 0,9552 ≠ 1
d1 38 200
d0
d1 d2
≠
donc la suite (dn) n'est pas géométrique
d0 d1
4. A l'aide d'un tableur ou de la calculatrice, conjecturer le sens de variations et la convergence de la suite (dn).
n
dn
0
1
2
3
4
5
6
7
8
40000 38200 36490 34866 33322 31856 30463 29140 27883
...
100
101
...
160
161
...
...
4213 4202
...
4010 4009
...
La suite (dn) semble décroissante et converger vers 4 000
Partie B :
On définit la suite un par : pour tout n entier naturel : un = dn  4 000 (*)
5. Calculer u0
u0 = d0  4 000 = 40 000  4 000
Donc u0 = 36 000
6. Prouver que la suite (un) est géométrique de raison 0,95
Formules à disposition :
(1) dn + 1 = 0,95 dn + 200
(2) : un = dn  4 000
But à atteindre :
pour démontrer que (un) est géométrique de raison 0,95,
il faut prouver que un + 1 = 0,95 un
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Pour le prouver on calcule séparément un + 1 et 0,95 un
Calcul de un + 1
Avec (2) : un + 1 = dn + 1  4 000
Avec (1) : un + 1 = ( 0,95 dn + 200 )  4 000
un + 1 = 0,95 dn  3 800
Calcul de 0,95 un
Avec (2) : 0,95 un = 0,95 ( dn  4 000 )
0,95 un = 0,95 dn  0,95 × 4 000
0,95 un = 0,95 dn  3 800
Les 2 calculs un + 1 et 0,95 un ont conduit au même résultat donc un + 1 = 0,95 un
La suite (un) est donc géométrique de raison 0,95 et de 1er terme u0 = 36 000
7. En déduire l'expression de un en fonction de n
La suite (un) étant géométrique, on a un = u0 × qn Donc un = 36 000 × 0,95n
8. A l'aide de la relation (*) et du résultat de la question précédente, montrer que, pour tout n, on a :
dn = 36 000 × 0,95n  4 000
D'après la relation (2) : un = dn  4 000
n
Comme un = 36 000 × 0,95
donc dn = un  4 000
on en déduit dn = 36 000 × 0,95n + 4 000
9. Déterminer la limite de la suite (dn) lorsque n tend vers l'infini.
Comme 0  0,95 < 1 on sait que
et donc
lim
n+
0,95n = 0
donc
lim 36 000 × 0,95n + 4 000 = 4 000
n+
lim 36 000 × 0,95n = 0
n+
Donc
lim dn = 4 000
n+
Partie C : On veut maintenant savoir à partir de quelle année, le contexte restant le même, l'entreprise réussira à respecter
son engagement.
Pour cela, on a commencé à écrire un algorithme.
10. Compléter cet algorithme
Variables :
Initialisation :
Traitement :
Sortie :
n est un entier naturel
d est un réel
n prend la valeur 0
d prend la valeur 40 000
Tant que d  30 000
n prend la valeur n  1
d prend la valeur 0,95 × d  200
Fin Tant que
Afficher n
11. Quelle sera la valeur affichée ?
Quelle signification peut-on en donner pour notre situation initiale ?
D'après le tableur ( voir question 4 ), on voit que d7 est la 1ère valeur de la suite (dn) qui soit inférieure à
30 000.
L'algorithme affichera donc la valeur 7
Cela signifie que cette entreprise atteindra son objectif ( moins de 30 000 tonnes de déchets ) pour la 1 ère fois
en 2017.
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