Transcript Extrait - Questions types du bac

61 questions « type-bac »
Série S - Mathématiques
Enseignement spécifique
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(anciennement obligatoire)
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Énoncés et corrigés - Avec rappels de cours
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Félicitations !
Ce document va vous aider à préparer votre baccalauréat en un minimum
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de temps et avec un maximum d’efficacité ! Vous avez fait le bon choix !
Remarques importantes :
1. ces exercices sont ni spécialement difficiles, ni spécialement faciles mais parfaitement adaptés et conçus pour
une préparation optimale pour le bac. L’objectif principal est de vous faire progresser le plus vite ;
2. ces exercices ne sont pas spécialement longs. Même si certains prolongements seraient possibles, leur nombre de
question est volontairement limité afin de cibler au plus juste chaque notion importante ;
3. ces exercices ne sont pas classés par degré de difficulté mais par thèmes et sous-thèmes. Vous pouvez ainsi
directement travailler vos points faibles. Il n’est donc pas nécessaire de lire ce document de façon linéaire du
début à la fin, vous commencerez là où vous le voudrez ;
4. les solutions des exercices sont rédigées afin de correspondre parfaitement à ce qu’il faudrait, idéalement, noter
sur une copie de baccalauréat ;
5. n’hésitez-pas à venir (re)visiter notre site ci-dessous pour trouver les dernières versions de nos documents et
également découvrir nos autres productions.
http://question-type-bac.fr/
Table des matières
1 Suites et récurrence
3
1.1
Récurrence
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2
Suites géométriques
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
1.3
Étudier la monotonie et la convergence d’une suite par récurrence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
1.4
Utiliser une suite auxiliaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
2 Limites et asymptotes
3 Continuité et dérivabilité
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3
14
20
3.1
Théorème des valeurs intermédiaires et théorème de la bijection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2
Étudier la dérivabilité d’une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22
3.3
Prouver une inégalité grâce à l’étude des variations d’une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23
3.4
Problèmes nécessitant deux dérivations successives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24
3.5
Équation de la tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
26
3.6
Lectures graphiques
30
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4 Fonctions exponentielles et logarithmes
20
33
4.1
Résoudre une (in)équation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
4.2
Étude de fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
36
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5 Nombres complexes
41
6 Géométrie dans l’espace
52
7 Calcul intégral
66
7.1
Calcul d’intégrales à l’aide d’une primitive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2
Calcul de l’aire d’un secteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
68
7.3
Calcul de la valeur moyenne d’une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
71
7.4
Intégrales et suites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
72
8 Probabilités conditionnelles - Indépendance
66
74
8.1
Probabilités conditionnelles - Formule des probabilités totales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
74
8.2
Indépendance d’événements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
75
8.3
Probabilités et suites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
78
9 Lois de probabilités
80
9.1
Lois quelconques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
80
9.2
Lois binomiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
82
9.3
Lois uniformes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
87
9.4
Lois normales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
89
9.5
Lois exponentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
10 Intervalles de fluctuation et de confiance
106
11 Annexe : formulaire sur les dérivées
110
BAC S - THÈME 1
Suites et récurrence
1.1
Récurrence
RAPPEL DE COURS
Raisonnement par récurrence
Soit P une propriété définie sur N.
SI :
c
a
b
e
• la propriété P est initialisée à un certain rang n0 , c’est-à-dire :
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.
P(n0 ) est vraie (1)
• la propriété P est héréditaire à partir du rang n0 , c’est-à-dire :
pour n > n0 , P(n) =⇒ P(n + 1)
ALORS :
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on
La propriété P est vraie à tout rang n plus grand que n0 .
En pratique, on rédige une récurrence en suivant les quatre étapes ci-dessous :
1. on énonce la propriété de travail P(n) ;
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2. on vérifie l’initialisation en examinant si l’on a P(0) (ou P(1) ou P(n0 )) ;
3. on vérifie l’hérédité. Pour cela, on suppose que l’on a P(n) pour un certain entier n (supérieur à n0 )
et on en déduit la propriété au rang suivant, c’est-à-dire P(n + 1) ;
4. on conclut en affirmant que l’on a ainsi démontré que pour tout entier n (supérieur à n0 ), on a P(n).
Question 1 - Démontrer une conjecture
Soit (un ) la suite définie pour tout n ∈ N, par :


u0
 un+1
[⋆]
=
0
=
2un + 1
1. Conjecturer une expression de un en fonction de n.
2. Démontrer cette conjecture par récurrence.
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1. Calculons les premiers termes afin de se faire une « idée » :
u1 = 2u0 + 1 = 1
u2 = 2u1 + 1 = 3
u3 = 2u2 + 1 = 7
u4 = 2u3 + 1 = 15
u5 = 2u4 + 1 = 31
1. On peut se contenter de dire « P(n0 ) » au lieu de « P(n0 ) est vraie ». Qui dit, au quotidien, lorsqu’il pleut : « il pleut est vrai »
au lieu de « il pleut » ! ?
1.1
Récurrence
4
On remarque qu’en ajoutant 1 à chaque terme, on obtient les puissances successives de 2.
Nous pouvons donc conjecturer (2) que pour tout entier naturel n :
un = 2n − 1
2. Considérons la propriété P définie pour tout entier naturel n par :
P(n) : un = 2n − 1
• Puisqu’on peut écrire u0 = 20 − 1, on a P(0). La propriété P est initialisée (pour n = 0).
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.
• Supposons que pour un certain entier n > 0, on ait effectivement la propriété P(n) : un = 2n − 1 qui est
satisfaite. Alors, sous cette condition, on a :
c
a
b
e
un+1 = 2un + 1 = 2(2 − 1) + 1 = 2
n
n+1
−2+1=2
−1
n+1
Ce qui est P(n + 1). La propriété P est donc héréditaire.
On a vérifié que la propriété P est initialisée (pour n = 0) et héréditaire (pour n > 0), elle sera donc vraie pour
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tout rang n, ce qui démontre la conjecture.
.................................................................................................................
Question 2 - Comparaison entre n2 et 2n
[⋆ ⋆ ⋆]
Démontrer que, pour tout entier n > n0 où n0 est un entier que l’on précisera, on a :
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n2 6 2 n
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Notons P, la propriété définie par :
P(n) : n2 6 2n
L’énoncé ne nous fournit pas la valeur de l’entier n0 pour lequel cette propriété est initialisée. Calculons les premières
valeurs de n2 et 2n afin d’émettre une conjecture.
b
2n
b
n2
30
25
n
0
1
2
3
4
5
20
2
0
1
4
9
16
25
15
2n
1
2
4
8
16
32
10
n
b
b
b
5
0
b
b
b
b
0
b
1
2
3
4
5 n
Figure 1.1 – Comparaison entre n2 et 2n .
On constate que la propriété P est vraie pour n = 0, n = 1, n = 2 mais pas pour n = 3 puis redevient vraie pour
n = 4 et semble-t-il définitivement. Nous allons donc initialiser notre récurrence pour n0 = 4.
On a donc, bien sûr, P(4) d’après le tableau ci-dessus.
Supposons maintenant que, pour un certain entier naturel n > 4, on ait n2 6 2n alors dans ce cas, nous pouvons
écrire :
car 4 6 n
(n + 1)2 6 n2 + 2n + 1 6 n2 + 2n + 2n 6 n2 + 4n 6 n2 + n2 6 2 n2 6 2 × 2n 6 2n+1
car n > 4 (donc n > 1)
car on a supposé P(n) : n2 6 2n
2. Attention, une conjecture n’est pas une preuve (ni une affirmation forcément vraie, certaines conjectures se révèlent parfois
fausses. . . ). Ce n’est que l’énoncé d’une propriété resultant d’un certain nombre d’observations.
1.2
Suites géométriques
5
On obtient ainsi (n + 1)2 6 2n+1 , ce qui est P(n + 1). On a donc prouvé que la propriété P est héréditaire à partir
du rang 4. Comme, par ailleurs, elle est vraie au rang 4, elle est donc vraie pour tout n > 4.
Conclusion :
pour tout entier naturel n > 4, on a bien : n2 6 2n
................................................................................................................
1.2
Suites géométriques
RAPPEL DE COURS
c
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b
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Suite géométrique
r
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.
Une suite (un ) est dite géométrique lorsqu’on passe de chacun de ses termes au suivant en multipliant
toujours par la même quantité q, appelé raison. Ainsi, pour tout entier naturel n, on a :
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un+1 = q × un
Dans le cas d’une suite géométrique, on peut alors exprimer n’importe quel terme un en fonction du
rang n via la relation :
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q
Variante, lorsque n > 1 :
un = u0 × q n
un = u1 × q n−1
La somme des n premiers termes consécutifs d’une suite géométrique (un ) de raison q 6= 1 est donnée par
la formule suivante :
u0 1 − q n+1
u0 + u1 + u2 + · · · + un =
1−q
En particulier (lorsque u0 = 1) :
1 + q + q2 + · · · + qn =
1 − q n+1
1−q
Question 3 - Somme des termes d’une suite géométrique
[⋆]
Un éleveur de vaches laitières commercialisait, en l’an 2000, 80000 litres de lait. Cette même année, un contrat
de partenariat avec une autre société prévoit que cette quantité doit être réduite de 5% par an, jusqu’en 2020.
On note un le nombre de de litre de laits commercialisés durant l’année (2000 + n) ainsi u0 = 80000.
1. Justifier que pour tout entier naturel n compris entre 0 et 20 :
un = 80000 × 0,95n
2. Combien de litres de lait seront commercialisés en 2020 ? (On arrondira au litre entier le plus proche)
3. Déterminer à partir de quelle année le nombre de litre de laits commercialisés sera réduite de moitié par
rapport à l’année 2000.
4. Combien de litres de lait seront commercialisés, au total, entre l’année 2000 et l’année 2020. (On arrondira
au nombre entier de litres le plus proche)
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