Transcript Fiche exercice no 6 : chapitre 6. Exercice 1. Soit (un) la suite

Année 2014-2015
Fiche exercice no 6 : chapitre 6.
Exercice 1.
Soit (u n ) la suite définie sur N par :
u n = n 2 − 4n − 3
Calculez u 0 , u 1 , u 2 et u 3
Exercice 2.
Soit (u n ) la suite définie sur N par :
½
u n+1 = u n − 4
u0 = 7
Calculez u 1 , u 2 , u 3 et u 4
Exercice 3.
On considère l’algorithme suivant :
Variables n, p : entiers u : réel
Saisir p
u prend la valeur −4
n prend la valeur 0
Tant que (n < p) faire
3
u prend la valeur u + 1
2
Fin Tant que
Afficher u
1. Recopier et compléter le tableau ci-dessous :
1
−5
p
u
2
3
4
5
2. Établir pour tout p ∈ N∗ : u p
Exercice 4.
Parmi les définitions des suites suivantes, calculer u 1 et u 2 puis déterminer celles qui sont données sous
forme explicite :
1
1. Pour tout n ∈ N : u n =
2n + 1
2. Pour tout n ∈ N :
½
u n+1 = u n + 6
u0 = 1
3. Pour tout n ∈ N : u n = (−1)n
4. Pour tout n ∈ N :
(
un
2n + 1
u 0 = −1
u n+1 =
Exercice 5.
Représenter le nuage de points (n ; u n ) pour 0 6 n 6 7 dans chacun des cas suivants :
1. u n = 2n − 1
Fiche exercices : chapitre 6.
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2. u n = n 2 − 4n − 5
3. u n = (−1)n
Exercice 6.
Soit (u n ) la suite définie sur N par :
½
u n+1 =
u0 = 0
p
3u n + 4
1. Donner l’expression de la fonction f vérifiant : pour tout n ∈ N, u n+1 = f (u n )
2. Représenter graphiquement la fonction f sur l’intervalle [−1 ; 5], ainsi que la droite d’équation y = x.
On pourra prendre 1 unité pour 3 cm.
3. Représenter graphiquement les cinq premiers termes de la suite (u n ).
4. Quelle conjecture peut-on émettre sur la monotonie de la suite (u n ).
Exercice 7.
Soit (u n ) une suite arithmétique de premier terme u 0 = 4 et de raison r = 3.
1. Calculer u 1 , u 2 , u 3 , u 4 et u 30 .
2. Exprimer u n en fonction de n.
Exercice 8.
Soit (u n ) une suite arithmétique de raison r . On sait que :
½
u3 = 7
u 7 = 19
Déterminer la raison r et le premier terme u 0 .
Exercice 9.
Dans chacun des cas suivants, déterminer si la suite (u n ) définie sur N, est arithmétique ou non :
1. u 0 = 8 et u n+1 = −u n + 2
2. u 0 = −7 et u n+1 = u n − 5
7
3. u n = n − 3
2
4. u n = n 2 + 7n
Exercice 10.
1
Soit (u n ) une suite arithmétique de premier terme u 0 = 3 et de raison r = − .
3
1. Calculer u 10 , u 41 et u 2013.
2. Exprimer u n en fonction de n.
Exercice 11.
Soient (u n ) et (v n ) deux suites arithmétiques de raison respectives −
v 0 = −540.
1
3
et . On sait que u 0 = 653 et
2
3
1. Calculer u 871 et v 3240.
2. En déduire la valeur des sommes :
⊳ u 0 + u 1 + u 2 + ... + u 871
⊳ v 1 + v 2 + v 3 + ... + v 3240
Exercice 12.
Fiche exercices : chapitre 6.
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Soit (u n ) une suite arithmétique de premier terme u 1 = 2 et de raison r = .
4
1. Exprimer u n en fonction de n.
2. Que vaut u 40 ?7
3. Existe-t-il une valeur de l’entier naturel n telle que u n = 772 ?
Exercice 13.
Calculer les sommes :
1. S 1 = 1 + 2 + 3 + 4 + ... + 2011
2. S 2 = 1 + 3 + 5 + ... + 2011
3. S 3 = 2 + 4 + 6 + ... + 2012
4. S 4 = 2 + 7 + 12 + ... + 517
Exercice 14.
Soit (u n ) une suite géométrique de premier terme u 0 et de raison q
Calculer u 1 , u 2 et u 3 dans chacun des cas suivants :
3
et q = 2.
2
1
2. u 0 = 12 et q = .
3
1
3. u 0 = 4 et q = − .
2
1. u 0 =
Exercice 15.
Soit (u n ) une suite géométrique de premier terme u 1 et de raison q
Calculer u 2 , u 3 et u 4 dans chacun des cas suivants :
3
et q = 2.
2
1
2. u 1 = 12 et q = .
3
1
3. u 1 = 4 et q = − .
2
1. u 1 =
Exercice 16.
1
Soit (u n ) une suite géométrique de premier terme u 0 = 81 et de raison q = − .
3
1. Calculer u 1 , u 2 et u 3 .
2. Donner l’expression de u n en fonction de n.
3. Donner une valeur approchée de u 2012 .
Exercice 17.
Soit (t n ) la suite définie sur N par :
t n = 3 × 4n
Montrer que (t n ) est géométrique, donner sa raison q et son premier terme t 0 .
Exercice 18.
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Soit (u n ) la suite dont la valeur u N est le résultat affiché par l’algorithme ci-dessous (avec N un entier
naturel) :
Variables : N , I entiers, U : réel
Saisir N
U prend la valeur 7
Pour I = 1 à N faire
U prend la valeur 0, 9U
Fin Pour
Afficher U
1. Donner la valeur de u 0 , u 1 et u 2 .
2. Quelle est la nature de (u n ) ?
3. Étudier le sens de variation de (u n ).
Exercice 19.
Soit (u n ) une suite définie sur N par :
½
u 0 = 1000
u n+1 = 0, 9u n + 90
1. Calculer u 1 et u 2 .
2. On considère la suite (v n ) définie pour tout entier naturel n par :
v n = u n − 900
(a) Calculer v 0 et v 1
(b) Montrer que pour tout entier naturel n, v n+1 = 0, 9v n
(c) Quelle est la nature de (v n ) ? Écrire v n en fonction de n.
(d) En dédire que pour tout entier naturel n :
u n = 100 × (0, 9)n + 900
Exercice 20.
Soit (u n ) la suite définie par u 0 = 2 et pour tout entier naturel n, u n+1 = 2u n − 3
1. Calculer les cinq premiers termes de la suite (u n ).
2. On pose pour tout entier naturel n : v n = u n − 3.
(a) Calculer v 0 , v 1 et v 2 .
(b) Démontrer que (v n ) est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison.
3.
(a) Exprimer v n en fonction de n.
(b) En déduire u n en fonction de n.
Exercice 21.
Calculer les sommes :
1. S 1 = 1 + 2 + 22 + 23 + ... + 215
µ ¶n
µ ¶ µ ¶2
1
1
1
+ ... +
où n ∈ N
+
2. S 2 = 1 +
2
2
2
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Exercice 22.
Calculer les sommes :
1.
iX
=16
i
i =3
2.
jX
=18
(2 j )
j =0
3.
k=26
X
k=0
4.
(2k + 1)
p=22
X
p=0
5.
iX
=n µ 1 ¶i
i =1
6.
u p où (u n ) est arithmétique de premier terme u 0 = 3 et de raison 2.
p=10
X
p=0
3
u p où (u n ) est géométrique de premier terme u 0 = 2 et de raison 2.
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