Transcript Suites arithmétiques

SUITES
ARITHMETIQUES
ACTIVITE PREPARATOIRE
Un bureau d’étude a en
charge le projet de
construction d’une
pyramide du style
de celle du Louvre
(base carrée).
Combien de plaques de verre, toutes identiques, et ayant la forme de triangles
équilatéraux sont-elles nécessaires pour la réalisation de la base d’une telle
pyramide ?
ACTIVITE PREPARATOIRE
Un comptage systématique
des plaques s’avérant long
et fastidieux, nous vous
proposons une méthode
de calcul.
Pour cela, on note :
u1 , le nombre de plaques constituant le niveau le plus haut ;
u2 , le nombre de plaques du niveau suivant (le 2ème) ;
u3 , le nombre de plaques du niveau suivant (le 3ème) ;
un , le nombre de plaques du niveau suivant (le nème).
ACTIVITE PREPARATOIRE
1°) Déterminer u1 , u2 , u3 , u4 , u5 .
u1  1
u1  1
u2  3
u1  1
u2  3
u3  5
u1  1
u2  3
u3  5
u4  7
u1  1
u2  3
u3  5
u4  7
u5  9
ACTIVITE PREPARATOIRE
1°) Déterminer u1 , u2 , u3 , u4 , u5 .
u1  1
u2  3
u3  5 u 4  7
u5  9
2°) Quelle est la relation permettant de calculer u2 à partir de u1 ? u3 à
partir de u2 ... ?
u1  1
+ 2 u 2  u1  2
u2  3
+2 u u 2
3
2
u3  5
u4  7
u5  9
+ 2 u4  u3  2
+ 2 u5  u4  2
ACTIVITE PREPARATOIRE
1°) Déterminer u1 , u2 , u3 , u4 , u5 .
u1  1
u2  3
u3  5 u 4  7
u5  9
2°) Quelle est la relation permettant de calculer u2 à partir de u1 ? u3 à
partir de u2 ... ?
u 2  u1  2
u4  u3  2
u3  u2  2
u5  u4  2
3°) Exprimer le nombre de plaques un du niveau n en fonction de un-1 .
u n  u n 1  2
ACTIVITE PREPARATOIRE
4°) Exprimer u2 en fonction de u1 ; u3 en fonction de u1 ; un en fonction
de u1 …
u 2  u1  2
u 3  u 2  2  u1  2  2
u 4  u 3  2  u1  3  2
u 5  u 4  2  u1  4  2
u n  u n  1  2  u 1  ( n  1)  2
ACTIVITE PREPARATOIRE
5°) Calculer le nombre de plaques constituant le niveau de base, sachant
que la pyramide est constituée de 12 niveaux.
u n  u1  ( n  1)  2
u 12  u 1  11  2
u 12  1  11  2
u 12  23
Il faut donc 234 = 92 triangles pour former la base de la pyramide.
A RETENIR
Une suite arithmétique est une suite de nombres
dont chaque terme est obtenu à partir du précédent
en ajoutant un nombre constant appelé raison r.
Chacun des termes est désigné par un
n indiquant le rang dans la suite.
u n  u n 1  r  u 1  ( n  1)  r
EXEMPLES
Les premiers termes d’une suite de nombres sont :
2; 5; 8; 11; 14;...
• Montrer que cette suite est arithmétique
14  11  3
11  8  3
85 3
52 3
La différence entre les termes consécutifs est constante et égale à 3
donc la suite est arithmétique
• Déterminer u1 et la raison r
u1= 2 et r = 3
• Calculer u6
u6 = u5 + r = 14 +3 =17
• Calculer u20
u20 = u1 +19 r = 2 +193 = 59
APPLICATION
CHUTE D’UNE BILLE
Lors de la chute libre d’une bille, la distance parcourue d
est relevée en fonction de la durée t de la chute.
t (s)
d (m )
1
4,9
2
19,6
3
44,1
4
78,4
t=0
t=1s
t=2s
t=3s
t=4s
t=0
4,9 m
t=1s
19,6 m
44,1 m
t=2s
t=3s
t=4s
78,4 m
a) déterminer les distances parcourues pendant :
- La première seconde soit u1
t=0
u1
4,9 m
t=1s
t=2s
t=3s
t=4s
a) déterminer les distances parcourues pendant :
- La première seconde soit u1
u 1  4 ,9
a) déterminer les distances parcourues pendant :
- La première seconde soit u1
u 1  4 ,9
- La deuxième seconde soit u2
t=0
u1
4,9 m
t=1s
u2
t=2s
t=3s
t=4s
19,6 m
a) déterminer les distances parcourues pendant :
- La première seconde soit u1
u 1  4 ,9
- La deuxième seconde soit u2
u 2  19 , 6  4 , 9  14 , 7
a) déterminer les distances parcourues pendant :
- La première seconde soit u1
u 1  4 ,9
- La deuxième seconde soit u2
u 2  19 , 6  4 , 9  14 , 7
- La troisième seconde soit u3
t=0
u1
4,9 m
t=1s
u2
19,6 m
44,1 m
t=2s
u3
t=3s
t=4s
a) déterminer les distances parcourues pendant :
- La première seconde soit u1
u 1  4 ,9
- La deuxième seconde soit u2
u 2  19 , 6  4 , 9  14 , 7
- La troisième seconde soit u3
u 3  44 ,1  19 , 6  24 ,5
a) déterminer les distances parcourues pendant :
- La première seconde soit u1
u 1  4 ,9
- La deuxième seconde soit u2
u 2  19 , 6  4 , 9  14 , 7
- La troisième seconde soit u3
u 3  44 ,1  19 , 6  24 ,5
- La quatrième seconde soit u4
t=0
u1
4,9 m
t=1s
u2
19,6 m
44,1 m
t=2s
u3
t=3s
u4
t=4s
78,4 m
a) déterminer les distances parcourues pendant :
- La première seconde soit u1
u 1  4 ,9
- La deuxième seconde soit u2
u 2  19 , 6  4 , 9  14 , 7
- La troisième seconde soit u3
u 3  44 ,1  19 , 6  24 ,5
- La quatrième seconde soit u4
u 3  78 , 4  44 ,1  34 ,3
b) Montrer que les nombres u1 , u2 , u3 , u4 forment une suite
arithmétique; en préciser la raison :
u 1  4 ,9
u 2  14 , 7
u 2  u 1  14 , 7  4 , 9  9 ,8
u 3  u 2  24 ,5  14 , 7  9 ,8
u 3  24 ,5
u 4  u 3  34 ,3  24 ,5  9 ,8
u 4  34 , 3
La différence entre les termes consécutifs est constante et égale à 9,8
donc la suite est arithmétique de raison r = 9,8.
c) Calculer dans ses conditions u5 :
u n  u n 1  r
u5  u4  r
u 5  34 ,3  9 ,8
u 5  44 ,1
d) En déduire la distance totale parcourue par la bille au cours
d’une chute de cinq secondes :
d  78 , 4  44 ,1  122,5 m