Transcript Bloc 2 : Modèles d`optimisation par la programmation

Bloc 2 : Modèles d’optimisation
par la programmation linéaire
Mohamed Ali Aloulou
[email protected]
Plan du bloc 2
1.
2.
3.
4.
5.
Présentation générale et exemples
Forme générale d’un PL
Résolution géométrique (2 variables)
Les différents résultats d’un PL
Résolution et analyse de sensibilité avec
le solveur Excel
6. Programmation linéaire en nombres
entiers
1. Présentation générale et exemples
• Exemple 1 : Une usine fabrique 2 produits finis
P1 et P2 à l’aide de 3 matières premières
M1,M2 et M3 selon le procédé suivant
M1
M2
M3
Prix de vente
unitaire
P1
1
2
4
2 euros
P2
6
2
1
3 euros
Nombre d'unités
disponibles
30
15
24
Question Comment organiser la production de
manière à atteindre le CA le plus élevé ?
1. Présentation générale et exemples
• Modélisation de l’exemple 1
– Définition des variables de décision : ce sur
quoi porte la décision
• x1 : nombre d’unités de P1 à produire
• x2 : nombre d’unités de P2 à produire
– Spécification des contraintes du problème
• Contraintes liées à la disponibilité des MP
• Contraintes de non négativité
– Spécification de la fonction objectif
• Maximiser CA = 2x1+3x2
– Écriture du modèle (récap)
1. Présentation générale et exemples
• Exemple 2 : Une raffinerie produit du super SP98 (P1)
et du super SP95 (P2) à partir de 3 constituants C1,C2
et C3.
C1
C2
C3
Prix de vente par baril
P1
au plus
30%
au moins
40%
au moins
50%
18 euros
P2
au plus
50%
au moins
10%
---
22 euros
Nombre de barils
disponibles par jour
3000
2000
1000
Prix d'achat par baril
12 euros
24 euros
20 euros
Question Chercher la structure de production journalière
qui maximise la marge d’exploitation de la raffinerie.
1. Présentation générale et exemples
• Modélisation de l’exemple 2
– Définition des variables de décision
• Ui : Quantité journalière du constituant Ci utilisée
(en baril), i=1,2,3
• Vj : Quantité journalière du carburants Pj produite
(en baril), j=1,2
• Xij : Quantité journalière du constituant Ci
intervenant dans le carburant Pj (en baril), i=1,2,3
et j=1,2
– Lien entre les variables de décision
1. Présentation générale et exemples
• Modélisation de l’exemple 2
– Spécification des contraintes du problème
• Contraintes liées à la disponibilité des constituants
• Contraintes liées au respect des proportions
• Contraintes de non négativité
– Spécification de la fonction objectif
22V1+18V2 – (12U1+24U2+20U3)
CA
Coût
2. Forme générale d’un PL
• Un PL peut s’écrire
Max ou Min jcj xj
jaij xj ≤ bi pour i =1,…,m1
jaij xj ≥ bi pour i =m1+1,…,m1+m2
jaij xj = bi pour i =m1+m2+1,…,m1+m2+m3
xj ≥ 0
pour j =1,…, n1
xj ≤ 0
pour j =n1+1,…, n1+n2
xj s.r.s.
pour j =n1+n2+1,…, n1+n2+n3
3. Résolution géométrique
• Illustration avec l’exemple 1 :
Max 2x1 + 3x2
x1 + 6x2 ≤ 30
2x1 + 2x2 ≤ 15
4x1 + x2 ≤ 24
x1,x2 ≥0
3. Résolution géométrique
a. Représentation géométrique de l’ensemble
des solutions réalisables
•
•
•
Chaque solution est un couple de valeurs
(x1,x2). Elle est représentée par un point de IR²
Chaque contrainte élimine un demi-plan de IR²
délimité par la droite associée à la contrainte
L’ensemble des solutions réalisables est un
sous-ensemble de points EIR², appelé
polyèdre des solutions réalisables
3. Résolution géométrique
a. Représentation géométrique de l’ensemble
des solutions réalisables
3. Résolution géométrique
b. Résolution géométrique
– Tous les points de la droite 2x1 + 3x2 = M (D)
donnent la même valeur M à la fonction objectif
– On remarque qu’en déplaçant la droite (D) vers
le Nord-Est on obtient 2x1 + 3x2 = M’ (D) avec
M’>M
– On continue jusqu’à ce qu’on trouve le dernier
point admissible : ici c’est le point B.
3. Résolution géométrique
b. Résolution géométrique
– D’une façon générale, la direction déterminée
par le gradient de la fonction objectif est une
direction d’augmentation de cette fonction
– Vecteur gradient f(x1,x2) = (f/x1, f/x2)
– Si f(x1,x2)= 2x1+3x2 alors f(x1,x2) =(2,3)
3. Résolution géométrique
c. Introduction graphique à l’analyse de
sensibilité
– Question 1 : Quelle modification sur les
coefficients de la fonction objectif peut laisser
invariant l’optimum ?
– Question 2 : Jusqu’à quelle quantité d peut on
restreindre les disponibilités en matière
première M3 sans changer de solution
optimale
– Question 3 : On a la possibilité de disposer
d’une quantité supplémentaire de M2. Est-ce
intéressant ? Jusqu’à quelle quantité ?
3. Résolution géométrique
c. Introduction graphique à l’analyse de
sensibilité
– Question 1 : Quelle modification sur les
coefficients de la fonction objectif peut laisser
invariant l’optimum ?
•
•
(D) : c1x1+c2x2
Il faut que la pente de (D) soit comprise entre celle
de (D1) et celle de (D2)

-1 ≤ -c1/c2 ≤ -1/6
3. Résolution géométrique
c. Introduction graphique à l’analyse de
sensibilité
– Question 2 : Jusqu’à quelle quantité d peut on
restreindre les disponibilités en M3 sans
changer de solution optimale
•
•
•
La contrainte associée à M3 4x1+x2 ≤ d =24 n’est
pas active.
Si on diminue d, on déplace parallèlement la droite
vers l’ouest
La valeur limite est obtenue quand la droite passe
par B
3. Résolution géométrique
c. Introduction graphique à l’analyse de
sensibilité
– Question 3 : On a la possibilité de disposer
d’une quantité supplémentaire de M2. Est-ce
intéressant ? Jusqu’à quelle quantité ?
4. Les différents résultats d’un PL
a. Cas usuel
– Le PL a une solution optimale unique
– Cette solution correspond à un somment du
polyèdre : ceci reste vrai même si n>2
– Résultat général : Si un PL admet une ou
plusieurs solutions optimales alors une au
moins de ces solutions est un sommet du
polyèdre des solutions réalisable
4. Les différents résultats d’un PL
b. Plusieurs solutions optimales
Max x1 + x2
x1 + x2 ≤ 2
x1 ≤ 1
x1,x2 ≥0
– L’ensemble des solutions optimales se situe
sur le segment [A,B] : ensemble infini
4. Les différents résultats d’un PL
c. Aucune solution optimale
c.1 E=vide
Max 2x1 + x2
x1 + x2 ≤ 2
x1 ≥ 3
x1,x2 ≥0
c.2 E non borné
Max 2x1 + x2
x1 + x2 ≥ 2
x1 ≤ 1
x1,x2 ≥0
Attention : E peut être non borné et admettre
une solution optimale
5. Résolution et analyse de sensibilité
avec le solveur Excel
6. Programmation linéaire en nombres
entiers