Transcript Deuxième partie - Pages perso de Patrick VAUDON

Introduction à la Théorie
géométrique de la diffraction
(2)
Professeur Patrick VAUDON
Université de Limoges - France
Introduction à la Théorie géométrique de la diffraction – Présentation JWAYA 2011
1
Un exemple plus complexe:
un dipôle au dessus d’un demi-plan
Problème : comment rayonne un dipôle situé à une hauteur h au-dessus
d’un demi-plan de masse infini et parfaitement conducteur ?

r
dipôle
h
La résolution directe par les équations de MAXWELL est très difficile à cause des
conditions aux limites imposées par le plan de masse.
Introduction à la Théorie géométrique de la diffraction – Présentation JWAYA 2011
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Dipôle sur un demi-plan
P
r

dipôle
h
Le champ au point d’observation P peut se calculer par une méthode de rayon en
sommant un rayon incident et un rayon réfléchi.
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Dipôle sur un demi-plan
dipôle
Si on place le point d’observation derrière le demi-plan :
h
P
Le champ au point d’observation P, calculé par une méthode optique, est nul.
Ce résultat est manifestement faux : expliquer et illustrer (avec différents types
d’ondes)
Comment peut-on essayer d’obtenir un résultat correct par une méthode de
rayons?
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Dipôle sur un demi-plan
dipôle
Si on place le point d’observation derrière le demi-plan :
h
P
Le champ ne peut être calculé que si on est capable de définir un rayon diffracté.
Le calcul est trop complexe avec un dipôle.
Par contre, il est possible avec une onde plane qui tombe sur le demi-plan
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Théorie géométrique de la diffraction
Définition : La Théorie géométrique de la diffraction peut être considérée comme
le prolongement de l’optique géométrique qui prend en compte des rayons
diffractés
Introduction à la Théorie géométrique de la diffraction – Présentation JWAYA 2011
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Théorie géométrique de la diffraction
Définition : La Théorie géométrique de la diffraction peut être considérée comme
le prolongement de l’optique géométrique qui prend en compte des rayons
diffractés
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Théorie géométrique de la diffraction
La recherche des rayons qui parviennent de la source au point d’observation
Source
Point d’observation
Obstacle 1
Obstacle 2
Rayons : -----Directs
-----Réfléchis
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-----Diffractés
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Théorie géométrique de la diffraction
La cohérence de la théorie est basée sur trois postulats :
1 – La diffraction est un phénomène local aux hautes fréquences
2 – Les rayons diffractés obéissent au principe de FERMAT
3 – Les rayons diffractés obéissent aux lois de l’optique géométrique
P
Cône de rayons
diffractés
Q
rayon incident
M
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Théorie géométrique de la diffraction
Exemple de rayons pour un demi-plan illuminé par une onde plane
Rayons réfléchis
Rayons incidents
Demi-plan parfaitement conducteur
Rayons diffractés
Pour pouvoir calculer le champ total entourant l’arête du demi-plan par une
méthode optique, il faut connaître les caractéristiques du rayon diffracté.
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Théorie géométrique de la diffraction
Diffraction d’une onde plane par un demi-plan
Description du problème
y
i
E
P


0
x
i
jk cos0  
Onde plane incidente : E (P)  E 0 e
ez
- Comment est le champ magnétique ?
- Vérifier que la relation ci-dessus caractérise une onde plane incidente dans la direction
0
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Théorie géométrique de la diffraction
Diffraction d’une onde plane par un demi-plan
Description du problème
y
i
E
P
  cos  0 


Champ réfléchi au point P :
0
0
x
r
jkcos0  
E (P)  E0 e
ez
-Vérifier que la relation ci-dessus caractérise le champ réfléchi au point P pour une onde
plane incidente dans la direction 0
- Vérifier les conditions aux limites sur le plan de masse
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Théorie géométrique de la diffraction
Diffraction d’une onde plane par un demi-plan
y
i
E
P


0
x
Il reste à définir le comportement du rayon diffracté : on utilise la solution de
SOMMERFELD
ETotal
  0  jk cos   0 
  0  


2   0

 Y cos
e

Sgn
cos
K
2
k

cos


2 
2  
2


  jk
e


 
  0  jk cos   0 
  0  

2   0

  Y cos
e

Sgn
cos
K
2
k

cos


2 
2  
2
 

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  jk 
e 



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Théorie géométrique de la diffraction
Diffraction d’une onde plane par un demi-plan
On identifie dans la solution de SOMMERFELD (avec E0 = 1)
Le champ incident :
Le champ réfléchi :
   0  jk cos0 

E  Y cos
e

2 

i
  0  jk cos0 

E r  Y cos
e

2 

Et un terme que l’on associe au champ diffracté :

  jk 
  0  

2   0
e
K   2k cos
Sgn  cos


2  
2 



i
r
Ed  Ed  Ed   

  jk 
  0  


2   0


 Sgn  cos 2 K   2k cos 2  e 

 



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Théorie géométrique de la diffraction
Diffraction d’une onde plane par un demi-plan
K_(x) est une fonction spéciale définie à partir de l’intégrale de FRESNEL :
j jx2   j2
e  e d
x

K (x) 
Il s’agit d’une fonction complexe d’une variable réelle :
0.60
0.50
0.40
0.30
Propriété importante :
Partie réelle de K_(x)
0.20
K_(0) = 1/2
0.10
0.00
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
-0.10
x
10
Exercice : Développer la fonction K_ en partie
réelle et partie imaginaire
Partie imaginaire de K_(x)
-0.20
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Théorie géométrique de la diffraction
Différentes zones pour un demi-plan illuminé par une onde plane
Champ total
=
Champ incident
+
Champ réfléchi
Région 1
Champ total
Champ incident
en polarisation électrique
+
Champ diffracté
=
i
i
U H
 i i
U E
Région 3
+
en polarisation magnétique
Champ diffracté
Région 2
Champ total
=
Champ diffracté



d
i i
r r
U(P)  Y U (P)  Y U (P)  U (P)
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Y : échelon unité
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Théorie géométrique de la diffraction
On peut calculer le champ total qui entoure un demi-plan illuminé
par une onde plane à l’aide d’une méthode de rayons.
10.00

0.00
0
20
40
60
80
100 120 140 160 180 200 220 240 260 280 300 320 340 360
Degrés
-10.00
-20.00
-30.00
-40.00
-50.00
dB
-60.00
Polarisation électrique – angle d’incidence 0 = 30° - Distance de l’arête :  = 5.
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Théorie géométrique de la diffraction
On peut calculer le champ total qui entoure un demi-plan illuminé
par une onde plane à l’aide d’une méthode de rayons.
10.00

0.00
0
20
40
60
80
100 120 140 160 180 200 220 240 260 280 300 320 340 360
Degrés
-10.00
-20.00
-30.00
-40.00
-50.00
dB
-60.00
Polarisation électrique – angle d’incidence 0 = 120° - Distance de l’arête :  = 5.
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Théorie géométrique de la diffraction
10.00
5.00
Polarisation magnétique
0.00
0
20
40
60
80
100
120
140
160
180
200
220
240
260
280
300
320 340 360
Degrés
-5.00
-10.00
-15.00
-20.00
dB
-25.00
10.00
0.00
0
20
40
60
80
100
120
140
160
180
200
220
240
260
280
300
320
340 360
Degrés
Comparaison du champ
total autour de l’arête
d’un demi-plan
-10.00
-20.00
-30.00
-40.00
Polarisation électrique
-50.00
dB
-60.00
angle d’incidence 0 = 30° - Distance de l’arête :  = 5.
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Théorie géométrique de la diffraction
10.00
5.00
Degrés
0.00
0
20
40
60
80
100
120
140
160
180
200
220
240
260
280
300
320
340
Polarisation magnétique
360
-5.00
-10.00
-15.00
dB
-20.00
10.00
0.00
0
20
40
60
80
100
120
140
160
180
200
220
240
260
280
300
320
-10.00
340 360
Degrés
Comparaison du champ
total autour de l’arête
d’un demi-plan
-20.00
-30.00
-40.00
Polarisation électrique
-50.00
dB
-60.00
angle d’incidence 0 = 120° - Distance de l’arête :  = 5.
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Théorie géométrique de la diffraction
Exemple de vérification
10.00

0.00
0
20
40
60
80
100 120 140 160 180 200 220 240 260 280 300 320 340 360
Degrés
Pourquoi le champ total
est-il maximum en ce
point :  = 5 ,  = 65°
-10.00
-20.00
-30.00
-40.00
Pourquoi le champ total
est-il nul en ce point :
 = 5 ,  = 90°
-50.00
dB
-60.00
Polarisation électrique – angle d’incidence 0 = 30° - Distance de l’arête :  = 5.
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Théorie géométrique de la diffraction
Exemple de vérification
d2
P
 = 5
d1
0 = 30°
Différence de marche : d = d1 – d2 = 5
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