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1° ES
Devoir surveillé
correction
Sujet A
Exercice 1 : ( 8 points )
Un compte en banque contient au 1° janvier 5000 €uros. Chaque mois, on prélève 15% du compte, et on rajoute
en fin de mois 1200 €uros.
On note
un la valeur du compte au premier de chaque mois. ( donc u0  5000 , au 1° janvier, u1 , au premier
février, etc…)
Les résultats seront arrondis à l’€uro près.
1.
Justifier que l’on définit ainsi la suite
 un 
par :
u0  5000 , et pour tout entier n, un1  0,85un 1200 .
S’il perd 15%, il reste donc 85%...
2. Déterminer les 4 premières valeurs de la suite.
u0  5000 ; u1  5450 ; u2  5832,5 ; u3  6157,62
On pose, pour tout entier naturel n :
3.
vn  un  8000
Démontrer que la suite  vn  est géométrique de raison 0,85.
vn1  un1  8000  0,85un  1200  8000  0,85un  6800  0,85  un  8000   0,85vn
Donc la suite est bien géométrique.
4. Préciser son premier terme
v0  u0  8000  3000
5.
En déduire le terme général de  vn  .
Comme toute suite géométrique,
6.
7.
vn  v0 q n  3000  0,85n
Justifier que pour tout entier naturel n, un  8000  3000  0,85 .
Déterminer la valeur du compte au 1° janvier de l’année suivante.
n
Le 1° janvier correspond à u12  8000  3000  0,85  7573, 27
12
Exercice 2 : ( 12 points )
Une entreprise qui fabrique des chaussures fait une étude sur une production journalière comprise entre 5 et 50
paires de chaussures.
Le coût de production, en euro, de x paires de chaussures est
C( x)  x2  16 x  256
1.
Calculer C'( x) .
C'( x)  2 x  16
2.
Quel est le coût de production de 40 paires de chaussures ?
On a C(40)  40  16  40  256  2496
On désigne par f (x) le coût unitaire moyen pour x paires de chaussures fabriquées.
La fonction f est définie sur l’intervalle [5 ; 50].
2
On a donc f ( x) 
3.
Calculer f (40).
f (40) 
4.
C ( x)
x
C (40) 2496

 62, 4
40
40
x 2  256
.
x2
 2 x  16  x  x2  16 x  256
Calculer f ′(x) et démontrer que : f '( x) 
C '( x)  x  C ( x)
f '( x) 

x2
x2
2
5. Etudier le signe du polynôme p( x)  x  256 sur
.
x 2  256

x2
 x1  16
, le polynôme est donc positif ou nul sur ; 16  16;  , et négatif
  1024 , donc 
 x2  16
ou nul sur  16;16 .
6.
7.
En déduire le signe de f ′(x) sur l’intervalle [5 ; 50]. Dresser le tableau de variation de la fonction f (on
complètera l’annexe ).
Déterminer une équation de la tangente T au point d’abscisse 5.
C (5)
52  256
On a f (5) 
 72, 2 et f '(5) 
 9, 24
5
52
Donc T : y  f '(5)  x  5  f (5) , soit T : y  9, 24  x  5  72, 2 , donc
T : y  9, 24 x  118, 4
8.
9.
x
Compléter le tableau de valeurs.
Tracer la courbe, la tangente T et la tangente horizontale.
5
16
f ’(x)
-
0
50
+
72,2
71,12
f
48
8.
x
5
10
16
20
25
30
40
50
f(x)
72,2
51,6
48
48,8
51,24
54,533
62,4
71,12
Devoir surveillé
Corrigé
1° ES
Sujet B
Exercice 1 : ( 8 points )
Un compte en banque contient au 1° janvier 4000 €uros. Chaque mois, on prélève 15% du compte, et on rajoute
en fin de mois 900 €uros.
On note
un la valeur du compte au premier de chaque mois. ( donc u0  4000 , au 1° janvier, u1 , au premier
février, etc…)
Les résultats seront arrondis à l’€uro près.
1.
Justifier que l’on définit ainsi la suite
 un 
par :
u0  4000 , et pour tout entier n, un1  0,85un  900 .
S’il perd 15%, il reste donc 85%...
2. Déterminer les 4 premières valeurs de la suite.
u0  4000 ; u1  4300 ; u2  4555 ; u3  4771,75
On pose, pour tout entier naturel n :
3.
vn  un  6000
Démontrer que la suite  vn  est géométrique de raison 0,85.
vn1  un1  6000  0,85un  900  6000  0,85un  5100  0,85  un  6000   0,85vn
Donc la suite est bien géométrique.
4. Préciser son premier terme.
v0  u0  6000  2000
5.
En déduire le terme général de  vn  .
Comme toute suite géométrique,
6.
7.
vn  v0 q n  2000  0,85n .
Justifier que pour tout entier naturel n, un  6000  2000  0,85 .
Déterminer la valeur du compte au 1° janvier de l’année suivante.
n
Le 1° janvier correspond à u12  6000  2000  0,85
12
 5715,52
Exercice 2 : ( 12 points )
Une entreprise qui fabrique des chaussures fait une étude sur une production journalière comprise entre 5 et 50
paires de chaussures.
Le coût de production, en euro, de x paires de chaussures est
C( x)  x2  15x  225
1.
Calculer C'( x) .
C'( x)  2 x  15
2.
Quel est le coût de production de 40 paires de chaussures ?
C(40)  402  15  40  225  2425
On désigne par f (x) le coût unitaire moyen pour x paires de chaussures fabriquées.
La fonction f est définie sur l’intervalle [5 ; 50].
On a donc f ( x) 
3.
Calculer f (40).
f (40) 
4.
C ( x)
x
C (40) 2425

 60, 625
40
40
x 2  225
.
x2
 2 x  15 x  x 2  15x  225
Calculer f ′(x) et démontrer que : f '( x) 
C '( x)  x  C ( x)
f '( x) 

x2
x2
2
5. Etudier le signe du polynôme p( x)  x  225 sur
x 2  225

x2
.
 x1  15
, le polynôme est donc positif ou nul sur ; 15  15;  , et négatif ou nul
  900 , donc 
 x2  15
sur  15;15 .
6.
7.
En déduire le signe de f ′(x) sur l’intervalle [5 ; 50]. Dresser le tableau de variation de la fonction f (on
complètera l’annexe ).
Déterminer une équation de la tangente T au point d’abscisse 5.
C (5)
52  225
 65 et f '(5) 
On a f (5) 
 8
5
52
Donc T : y  f '(5)  x  5  f (5) , soit T : y  8  x  5  65 , donc
T : y  8x  105
8.
9.
x
Compléter le tableau de valeurs.
Tracer la courbe, la tangente T et la tangente horizontale.
5
15
f ’(x)
-
50
0
+
65
69,5
f
45
8.
x
5
10
16
20
25
30
40
50
f(x)
65
47,5
45,062
46,25
49
52,5
60,625
69,5