Transcript Optique géométrique

Fibres optiques
Théorie des fibres optiques
 La lumière : du rayon à l’onde
 Optique géométrique
 Principe : réflexion totale
 Ouverture numérique
 Fibre à saut d ’indice
 Fibre à gradient d ’indice
 Théorie électromagnétique
 Position du problème et méthode de résolution
 Notion de modes et relation de dispersion
 Principaux résultats
Théorie des fibres optiques
La lumière : du rayon à l ’onde
Optique géométrique : lumière représentée par des rayons
 formation des images
Ne peut pas expliquer les interférences et la diffraction
Optique ondulatoire : la lumière est représentée par une
vibration scalaire (fonction d ’onde)
 interférences et diffraction
Optique géométrique = limite de l ’optique ondulatoire
quand l  0 .
Ne peut pas expliquer la réflexion, la réfraction, la polarisation
Optique électromagnétique : la lumière est représentée
par une onde électromagnétique (équations de Maxwell)
 réflexion, réfraction, polarisation à suivre….
Théorie des fibres optiques
Optique géométrique (1)
Plan d ’incidence :plan
défini par le rayon incident
et la normale.
qi
qr
Lois de Descartes :
• rayons réfléchi et transmis
sont dans le plan
d ’incidence
• qi = qr
• n1sinqi=n2sinqt
Milieu 2
n2
qt
n1 < n2
Milieu 1
n1
Théorie des fibres optiques
Optique géométrique (2)
qi
Milieu 2
n2
qr
qt
n1 > n2
Milieu 1
n1
Théorie des fibres optiques
Optique géométrique (3)
Réflexion totale
qi=qlim q
r
qi ≥ qLim
sin q Lim

n2

n1
Milieu 1
n1
qt=p/2
Milieu 2
n2
n1 > n2
Théorie des fibres optiques
Optique géométrique (4)
Principe de fonctionnement n
1
n2
n0
rayon b
rayon a
cœur (core)
n(r)
gaine
(cladding)
a
b
r
Fibre à saut d ’indice
La lumière est guidée
dans la fibre par des
réflexions totales
successives à
l’interface cœur-gaine
Théorie des fibres optiques
Optique géométrique (5)
Pour que la lumière soit guidée dans la fibre, quelles conditions
doit vérifier l ’injection de lumière dans la fibre ?
q0
q1
a
Exercice : Etablir la condition que doit vérifier q0 pour que
la lumière soit guidée dans la fibre.
Définir le cône d ’acceptance et l ’ouverture numérique
Théorie des fibres optiques
Optique géométrique (6)
qL ?
q1
a
q0
a  a L  Arc sin
q1 
p
2
a 
p
2
n2
n1
n0 sinq 0  n1 sin q1
p
n2
2
n1
n

1
q 0  Arc sin
n sinq1 

 0

aL 
 Arc sin
Théorie des fibres optiques
Optique géométrique (7)
n
p

n
1
2
q 0  q L  Arcsin 
 Arc sin 
 sin 


n1 
2

n0

2 
n





n2 
n1 1 n2  
1


q L  Arc sin
cos
Arc
sin

Arc
sin
  






n
n
n


n1  
 0
1 
 0

La lumière doit être injectée dans la fibre dans un cône
de demi-angle au sommet qL (cône d’acceptance)
Ouverture numérique :ON  n0 sinqL  n  n
2
1
2
2
Exemple : n1=1,5 ; n2=1,4 ; n0= 1 ; ON = 0,539 et qL=32,6°
Théorie des fibres optiques
Optique géométrique (8)
qL
n1>n2 mais en général les deux indices sont voisins (n1-n2<<n1)
n12  n22 n1  n2 n1  n2  n1  n2
D


2
2
2n1
2n1
n1
D, variation relative d ’indice .Dans ce cas , ON  n1 2D
Exemple : n1=1,45 ; D=1% ; n0=1 : ON = 0,205 qL=11,8°
Théorie des fibres optiques
Optique géométrique (9)
Rayons non méridiens dans une fibre optique
(B.E.A. SALEH, M.C. TEICH, Fundamentals of photonics, Wiley)
Théorie des fibres optiques
Optique géométrique (10)
Pourquoi la réflexion totale ?
Exercice :
Evaluer l’ordre de grandeur de la fraction de puissance
réfléchie à l’interface entre deux diélectriques(n1=1,5;D=1%)
Pour le parcours correspondant à la valeur limite de a combien
y a t’il de réflexions sur un mètre de fibre (a=30mm) ?
Conclusion ?
Elargissement d’impulsions
Exercice :
Pour une longueur L de fibre, calculer la longueur et la
durée des trajets le plus long et le plus court.
(n1=1,5;D=1% ; a=30mm)

Théorie des fibres optiques
Optique géométrique (11)
A l’incidence normale le coefficient de réflexion en puissance
vaut (formules de Fresnel)
Fr  R.Fi
n2
n1
n1  n 2 
R  

n1  n 2 
2
Fi
Fr
Fr
n1  n 2 2 D 2
5
R  
     2,5.10
n1  n 2  2 
Théorie des fibres optiques
Optique géométrique (12)
q0
M
q1
a N
P
Nombre de réflexions sur une longueur L :
L
q
2atga
L
q
MP
L
L
qL 

2D
2atga L 2a
n1=1,5 ; D=1% ; a=30mm  2374
 réflexions/mètre
Théorie des fibres optiques
Optique géométrique (13)
Longueur d’un parcours pour une fibre de longueur L :
L
2a
L
L
l  MN  NP 


2atga cos a 2atg a sin a
Trajet le plus long  plus petite valeur de a, aL
n1
n12
lmax  L
,
tmax 
L

n2
n2c
Trajet le plus court  plus grande valeur de a, p/2
n1
l

L
,
t

L

min
min
c
Elargissement des impulsions (Dispersion intermodale)
Théorie des fibres optiques
Optique géométrique (14)
Dans un milieu homogène, rayon lumineux = droite
Trajectoire des rayons lumineux dans un milieu non homogène ?
Milieu stratifié : milieu constitué par un empilement
de couches homogènes.
ni
ni-1
qi+1
qi
qi-1
n augmente
ni+1
Lois de Descartes :
n i1 cosq i1  n i cosq i
 n i1 cosq i1
nicosqi = constante

Théorie des fibres optiques
Optique géométrique (15)
Si on fait tendre l’épaisseur de la couche vers 0,
n-dn
q-dq
n
q

grad(n)
n cosq  n  dncosq  dq 
n sinqdq  cosqdn
dn cosq   0
n.cos
q  constante
Théorie des fibres optiques
Optique géométrique (16)
Dans un milieu inhomogène, les rayons lumineux suivent
des courbes concaves dont la concavité est tournée dans
le sens du gradient de l’indice.
Exemple : le mirage
grad(n)
pays chauds
Théorie des fibres optiques
Optique géométrique (17)
mers froides
Le vaisseau fantôme
grad(n)
Théorie des fibres optiques
Optique géométrique (18)
Dans un milieu inhomogène quelconque, la trajectoire des
rayons lumineux est la solution de l’équation d’Euler :
d(nu)
 grad(n)
ds
avec u , vecteur unitaire de
la tangente, s, abscisse
curviligne sur la trajectoire


dr
u
ds
s
u
r

Théorie des fibres optiques
Optique géométrique (19)
Remarques :
•Si on se place dans un plan, avec une variation d’indice
suivant une seule coordonnée :
d(nu)
 grad(n)
y
q
ds
d  dr 
n  grad(n)
grad(n)
ds  ds 
d  dx  dn
0
en projection sur Ox : n 
ds  ds  dx
dx
x

n  ncosq  constante

ds
nu  constante
• Si le milieu est homogène,


Théorie des fibres optiques
Optique géométrique (20)
n(r)
rayons
n1
n2
n0
r a
Profil d’indice : n(r)  n1 1 2D 
a 
• n1 : indice sur l’axe
b
a
r
Fibre à gradient d ’indice
Intérêt : diminution de la
dispersion intermodale

• a : paramètre du profil
• a=1, profil triangulaire
• a=2, profil parabolique
• a=, saut d’indice
•
n(a)  n2  n1 1 2D
n12  n22
D
2n12
Théorie des fibres optiques
Optique géométrique (21)
Fibre optique à gradient d’indice à profil parabolique :

r 2
r 2 
n(r)  n1 1 2D   n1
1 D  


a 


a


Equation de la trajectoire des rayons :
r
 r  asinq1 sin 2D z


2D
acosq1 

Exercice : Retrouver ce résultat à partir de la relation
ncosq = constante.
A quoi est égale l’ouverture numérique de la fibre ?
z
Théorie des fibres optiques
Optique géométrique (23)
Rayons non méridiens dans une fibre à gradient d’indice
(B.E.A. SALEH, M.C. TEICH, Fundamentals of photonics, Wiley)