Transcript TES DEVOIR MAISON DE MATHEMATIQUES N°1 A

TES DEVOIR MAISON DE MATHEMATIQUES N°1 A rendre vendredi 19/09/2014
La population de l’Allemagne (nombre de personnes résidant sur le territoire allemand) s’élevait à 81 751 602 habitants au premier janvier 2011.
De plus, on sait qu’en 2011, le nombre de naissances en Allemagne ne compense pas le nombre de décès,
et sans tenir compte des flux migratoires on estime le taux d’évolution de la population allemande à −0, 22 %.
On admet que cette évolution reste constante les années suivantes.
Les résultats seront arrondis à l’unité
Partie A
On propose l’algorithme suivant :
Entrée :
Traitement :
Sortie :
Saisir le nombre entier naturel non nul S.
Affecter à U la valeur 81 751 602 {initialisation}
Affecter à N la valeur 0
{initialisation}
Tant que U > S
Affecter à U la valeur 0,997 8× U
Affecter à N la valeur N +1
Fin tant que
Afficher N
On saisit en entrée le nombre S = 81 200 000. Recopier et compléter le tableau suivant autant que nécessaire
en arrondissant les résultats à l’unité. Quel nombre obtient-on en sortie ?
U
N
Test U > S
81 751 602
0
Vrai
81 571 748
...
...
...
Partie B
On note u n l’effectif de la population de l’Allemagne au premier janvier 2011 + n.
1. Déterminer u 0 et u 1 .
2. (a) Justifier que la suite (u n ) est une suite géométrique, de 1er terme 81 751 602 et de raison 0,997 8.
(b) Exprimer u n en fonction de n.
3. Si cette évolution de −0, 22 % se confirme :
(a) Quel serait l’effectif de la population de l’Allemagne au premier janvier 2035 ?
(b) En quelle année la population passera-telle au-dessous du seuil de 81 200 000 habitants ?
Partie C
Dans cette partie, on tient compte des flux migratoires : on estime qu’en 2011 , le solde migratoire (différence entre les entrées et les sorties du territoire) est positif en Allemagne et s’élève à 49 800 personnes.
On admet de plus que le taux d’évolution de −0, 22 % ainsi que le solde migratoire restent constants les
années suivant 2011.
1. Modéliser cette situation à l’aide d’une suite (v n ) dont on précisera le premier terme v 0 ainsi qu’une
relation entre v n+1 et v n .
2. Calculer v 1 et v 2 . Que peut-on conjecturer sur l’évolution de la population de l’Allemagne ?
(Données recueillies par l’Institut national d’études démographiques)
CORRECTION
Partie A On saisit en entrée le nombre S = 81 200 000.
En faisant tourner l’algorithme proposé, on obtient les résultats suivants :
U
N
Test U > S
81 751 602
0
Vrai
81 571 748
1
Vrai
81 392 290
2
Vrai
81 213 227
3
Vrai
81 034 558
4
Faux
Le nombre obtenu en sortie est 4.
Partie B
On note u n l’effectif de la population de l’Allemagne au premier janvier 2011 + n.
1. u 0 désigne la population en 2011, donc u 0 = 81 751 602.
0, 22
baisser de 0, 22 % , c’est multiplier par 1 −
= 0,997 8
100
donc
u 1 = 81 751 602 × 0,997 8 = 81 571 748
2. (a) Retirer 0, 22 % , c’est multiplier par np0, 9978 ; donc la suite (u n ) est géométrique de premier terme
u 0 = 81 751 602 et de raison q = 0,997 8.
(b) (u n ) est géométrique donc pour tout n : u n = u 0 × q n = 81 751 602 × (0,997 8)n .
3. (a) 2035 = 2011 + 24 donc l’année 2035 correspond à n = 24.
D’après la calculatrice, u 24 = 81 751 602 × (0,997 8)24 ≈ 77 542 583 donc la population en 2035 serait de
77 542 583 habitants.
(b) D’après la partie A, u 3 = 81 213 227 et u 4 = 81 034 558 ; donc la population est en dessous de 81 200 000
à partir de n = 4 donc à partir de l’année 2011 + 4 soit 2015.
Partie C
1. D’après le texte, on peut dire que pour tout n, v n+1 = 0,997 8v n + 49 800.
De plus, v 0 = u 0 + 49 800 = 81 751 602 + 49 800 = 81 801 402
2. v 1 = 0,997 8v 0 + 49 800 = 0,997 8 × 81 801 402 + 49 800 ≈ 81 671 239
v 2 = 0,997 8v 1 + 49 800 = 0,997 8 × 81 671 239 + 49 800 ≈ 81 541 362
La population de l’Allemagne semble encore diminuer malgré le flux migratoire positif de 49 800 personnes chaque année.