Transcript Exercice 1 Exercice 2

Devoir à la maison no 4 (Devoir de préparation au devoir surveillé du lundi 3 février )
Exercice 1
Un homme souhaite creuser un puits dans son jardin.
Le premier jour où il creuse, il atteint une profondeur de deux mètres.
Le sol devenant de plus en plus dur, et l’évacuation de la terre de plus en plus longue, il constate que le deuxième
jour, il ne creuse que 75 % de la profondeur creusée la veille et estime que le travail va continuer à ce rythme
(c’est-à-dire que chaque jour, il creusera 75 % de la profondeur creusée la veille).
1. Pour tout entier naturel non nul n, on note pn la profondeur, exprimée en mètres, creusée le n-ième jour.
a) Que vaut p1 ? Calculer p2 puis vérifier que p3 = 1,125.
b) Justifier que la suite (pn ) est une suite géométrique et indiquer sa raison.
c) Exprimer pn en fonction de n.
2. Pour tout entier naturel non nul n, on note Sn la profondeur atteinte, exprimée en mètres, au bout de n jours
de travail.
Calculer S3 et interpréter le résultat obtenu.
3. On admet maintenant que la profondeur atteinte au bout de n jours est donnée par Sn = 8(1 − 0,75n ).
a) Estimer, au centimètre près, la profondeur atteinte au bout de dix jours.
b) Un voisin a un puits dans lequel l’eau affleure à 8,5 mètres de profondeur.
En admettant que l’eau est à la même profondeur que chez ce voisin, quel commentaire peut-on faire ?
Exercice 2
On considère la suite numérique (an ) définie pour tout entier naturel n par
1. Calculer a1 puis a2 .
(
a0 = 1
an+1 = 2 × an + 3
2. On souhaite écrire un algorithme affichant, pour un entier naturel n donné, tous les termes de la suite, du rang
0 au rang n.
Parmi les trois algorithmes suivants, un seul convient. Préciser lequel en justifiant la réponse.
Algorithme No 1
Variables :
a réel positif
i et n entiers naturels non nuls
Entrées :
Affecter une valeur à n
Traitement :
a prend la valeur 1
Afficher a
Pour i variant de 1 à n
a prend la valeur 2 × a + 3
Fin Pour
Afficher a
Algorithme No 2
Variables :
a réel positif
i et n entiers naturels non nuls
Entrées :
Affecter une valeur à n
Traitement :
Pour i variant de 1 à n
a prend la valeur 1
Afficher a
a prend la valeur 2 × a + 3
Fin Pour
Afficher a
Algorithme No 3
Variables :
a réel positif
i et n entiers naturels non nuls
Entrées :
Affecter une valeur à n
Traitement :
a prend la valeur 1
Pour i variant de 1 à n
Afficher a
a prend la valeur 2 × a + 3
Fin Pour
Afficher a
3. Soit (bn ) la suite définie sur N par bn = an + 3.
a) Calculer b0 puis montrer que (bn ) est une suite géométrique dont on précisera la raison.
b) En déduire l’expression de bn puis de an en fonction de n.
Exercice 3
Une entreprise doit réduire la quantité de déchets qu’elle rejette pour respecter une nouvelle norme environnementale.
Elle s’engage, à terme, à rejeter moins de 30000 tonnes de déchets par an.
En 2007, l’entreprise rejetait 40000 tonnes de déchets.
Depuis cette date, l’entreprise réduit chaque année la quantité de déchets qu’elle rejette de 5 % par rapport à la
quantité rejetée l’année précédente, mais elle produit par ailleurs 200 tonnes de nouveaux déchets par an en raison
du développement de nouvelles activités.
Pour tout entier naturel n, on note rn la quantité, en tonnes, de déchets pour l’année (2007 + n).
1. a) Que vaut r0 ? Calculer r1 puis prouver que r2 = 36490.
b) Exprimer rn+1 en fonction de rn .
2. Soit (sn ) la suite définie pour tout entier naturel n par sn = rn − 4000.
a) Démontrer que la suite (sn ) est une suite géométrique de raison 0,95 puis calculer son premier terme.
b) Exprimer sn puis rn en fonction de n.
3. À partir de quelle année, le contexte restant le même, l’entreprise réussira-t-elle à respecter son engagement ?
Exercice 4
Un laboratoire pharmaceutique souhaite tester le
temps de réaction d’un nouvel antibiotique contre le
bacille de Koch responsable des tuberculoses.
Pour cela, on dispose d’une culture d’un million de
bactéries dans laquelle on introduit l’antibiotique.
On remarque alors que le nombre de bactéries diminue
de 12 % toutes les heures.
On note un le nombre de bactéries, contenues dans la
culture, n heures après l’introduction de l’antibiotique.
ries deviendra-t-il inférieur à 100 ?
3. On donne l’algorithme suivant :
Entrée
Initialisation
Traitement
1. a) Exprimer un+1 en fonction de un .
En déduire la nature et les éléments caractéristiques de (un ).
Sortie
b) Exprimer un en fonction de n puis justifier que
deux jours après introduction de l’antibiotique,
il ne reste plus que 2164 bactéries.
On choisit de l’exécuter avec S = 500000.
Compléter autant que nécessaire le tableau cidessous (tab. 1, p. 2), en déduire l’affichage obtenu
puis interpréter concrètement ce résultat.
2. Au bout de combien d’heures le nombre de bactéValeur de n
Valeur de u (à 1 près)
Condition u > S
0
1
1000000
880000
vrai
vrai
Saisir un nombre S strictement
inférieur à 106
Affecter à n la valeur 0
Affecter à u la valeur 106
Tant que u > S
n prend la valeur n + 1
u prend la valeur 0,88 × u
Fin Tant que
Afficher la valeur de n
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Table 1 – Exercice 4
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Exercice 5
Des étudiants en informatique étudient la propagation de virus sur le disque dur d’un ordinateur.
À chaque allumage de l’ordinateur, le virus se répand et le nombre de fichiers infectés est déterminé par le terme
général de la suite (Un ) définie par son premier terme U1 = 1 et, pour tout entier naturel non nul n, Un+1 = 1+2Un
où n est le nombre d’allumages de l’ordinateur.
1. Calculer U2 , U3 et U4 . Justifier que la suite (Un ) n’est pas géométrique.
2. Écrire, en langage naturel, un algorithme permettant de répondre à la question suivante : « À partir de combien
d’allumages de l’ordinateur, le nombre de fichiers infectés sera-t-il supérieur à 10000 ? »
Traduire cet algorithme en langage calculatrice puis donner la réponse obtenue.
3. On considère la suite (Vn ) définie pour tout entier naturel non nul n par Vn = Un + 1.
Calculer les quatre premiers termes de (Vn ). Quelle conjecture peut-on formuler sur la nature de cette suite ?
4. a) Prouver que : ∀n ∈ N∗ Vn+1 = 2Vn
b) En déduire une expression de Vn puis de Un en fonction de n.
5. Utiliser l’expression de Un obtenue à la question précédente pour confirmer le résultat de la question 2.