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Devoir maison. Les nombres complexes, Algorithme. ENONCE.
N° 87 page 248 Du Déclic Terminal S Edition 2012.
On considère la suite de nombres complexes ( zn ) définie par :
1 1
+ i . An désigne le point d’affixe zn .
2 2
a) Déterminer une forme trigonométrique, puis une forme exponentielle du nombre complexe a .
b) Calculer sous forme algébrique les six premiers termes de la suite ( zn ) , c’est-à-dire de z1 à z6 .
G G
c) Dans un repère orthonormé O; u , v du plan complexe, d’unité graphique 8 cm, placer les 7 points Ak
z0 = 1 et ∀n ∈ `* , zn = a n avec a =
1°)
(
)
pour k ∈ {0;1;...;6}
2°) Pour tout entier n , on considère une forme exponentielle de zn +1 − zn , soit. zn +1 − zn = rn eiα
a) Calculer r0 , puis vérifier que , pour tout n ≥ 1 , on a zn +1 − zn = a ( zn − zn −1 ) .
b) En déduire une relation entre rn et rn −1 pour tout entier n ≥ 1 , puis exprimer rn en fonction de n .
c) Donner une interprétation géométrique de chaque nombre rn .
k =n
d) On pose Ln = ∑ Ak Ak +1 , la longueur de la ligne polygonale de sommets successifs A0 , A1 , A2 ,...., An +1 .
k =0
k =n
Déterminer Ln = ∑ Ak Ak +1 en fonction de n puis la limite de Ln quand n → +∞ .
k =0
3°) On considère l’algorithme suivant :
Variables :
n, p : entiers ;
h, r , L, t : réels ;
Début
Entrer (p)
h ← 10 ^ (− p)
2
2
L ← 0 ; n ← 0;
TANT QUE t n +1 > h Faire
L ← L + t n +1 ; n ← n + 1;
FIN TANT QUE
⎛n⎞
t ← Partie entière ⎜ ⎟ ;
⎝8⎠
r←
.......
Afficher ( La longueur parcourue jusqu’au point
.......
est L) ;
Afficher ( On a fait
tours autour du point O) ;
Fin.
a) Expliquer ce que calcule cet algorithme et compléter les deux dernières phrases de cet algorithme. (Aide :
On pourra prendre la valeur p = 1 et tester cet algorithme à la main, en calculant les puissances de r avec
la calculatrice).
b) Lorsque l’algorithme s’arrête, est-on sûr qu’il reste moins de h cm à parcourir sur la ligne polygonale ?
c) Modifier l’algorithme pour que, lorsqu’il s’arrête, la longueur parcourue soit proche à moins de h de la
longueur totale.
d) Programmer cet algorithme sur votre calculatrice ou bien avec un logiciel de votre choix, puis déterminer
le nombre de tours nécessaires pour une précision h = 10−6 . Cela change-t-il par rapport au premier
algorithme ?
1
Devoir maison. Les nombres complexes, Algorithme. CORRECTIONS.
1°)
a) a =
1 1
1
2
π
+ i donc a =
=
et donc un argument de a est alors
2 2
2
4
2
[ 2π ] , donc ce complexe sous
2 i π4
2⎛
⎛π ⎞
⎛ π ⎞⎞
e
forme trigonométrique est a =
cos ⎜ ⎟ + i sin ⎜ ⎟ ⎟ et sous forme exponentielle a =
2
2 ⎜⎝
⎝4⎠
⎝ 4 ⎠⎠
b) Les six premiers termes de la suite ( zn ) , c’est-à-dire de z1 à z6 avec
z0 = 1 et ∀n ∈ `* , zn = a n avec a =
donc z1 = a1 =
1 1
+ i
2 2
1 1
+ i donc
2 2
z0 = 1
z1 =
2
2
π
π
⎛ 1 1 ⎞ ⎛ 2 i4 ⎞ 1 i2 1
z2 = a = ⎜ + i ⎟ = ⎜⎜
e ⎟⎟ = e = i , donc
2
2
⎝2 2 ⎠ ⎝ 2
⎠
2
3
3
π
2 i 34π
2⎛
2
2⎞
1 1
⎛ 1 1 ⎞ ⎛ 2 i4 ⎞
z3 = a = ⎜ + i ⎟ = ⎜⎜
e ⎟⎟ =
e =
+i
⎜⎜ −
⎟⎟ = − + i , donc
4
4 ⎝ 2
2 ⎠
4 4
⎝2 2 ⎠ ⎝ 2
⎠
3
1 1
+ i
2 2
1
z2 = i
2
1 1
z3 = − + i
4 4
4
4
π
1
⎛ 1 1 ⎞ ⎛ 2 i 4 ⎞ 1 iπ 1
z4 = a = ⎜ + i ⎟ = ⎜⎜
e ⎟⎟ = e = ( −1) = − , donc
4
4
4
⎝2 2 ⎠ ⎝ 2
⎠
4
5
5
π
2 i 54π
2⎛
2
2⎞
1 1
⎛ 1 1 ⎞ ⎛ 2 i4 ⎞
z5 = a = ⎜ + i ⎟ = ⎜⎜
e ⎟⎟ =
e =
−i
⎜⎜ −
⎟⎟ = − − i , donc
8
8 ⎝ 2
2 ⎠
8 8
⎝2 2 ⎠ ⎝ 2
⎠
5
6
6
3π
π
1
⎛ 1 1 ⎞ ⎛ 2 i4 ⎞ 1 i 2 1
z6 = a = ⎜ + i ⎟ = ⎜⎜
e ⎟⎟ = e = ( 0 − i ) = − i , donc
8
8
⎝2 2 ⎠ ⎝ 2
⎠ 8
1 1
1
On peut continuer, on trouve z7 = − i , puis z8 =
etc….
16 16
16
6
z4 = −
1
4
1 1
z5 = − − i
8 8
1
z6 = − i
8
c) D’où la figure :
2
2°) Pour tout entier n , on considère une forme exponentielle de zn +1 − zn , soit. zn +1 − zn = rn eiα
a) On a donc z1 − z0 = r0 eiα ⇔
1 1
1 1
1 1
+ i − 1 = r0 eiα ⇔ r0 eiα = − + i , donc la module r0 = − + i ce qui
2 2
2 2
2 2
2
. Puis pour tout n ≥ 1 , on a zn +1 − zn = a n +1 − a n ⇔ zn +1 − zn = a ( a n − a n −1 ) ⇔
2
donc zn +1 − zn = a ( zn − zn −1 ) , ce qu’il fallait démontrer.
donne r0 =
b) On en déduit alors une relation entre rn et rn −1 de la manière suivante :
zn +1 − zn = a ( zn − zn −1 ) ⇔ zn +1 − zn = a × zn − zn −1 , c’est-à-dire rn = a × rn −1 donc rn =
( rn ) est une suite géométrique de raison
q=
n
2
× rn −1 donc la suite
2
2
2
et de premier terme r0 =
, donc
2
2
⎛ 2⎞
2 ⎛ 2⎞
rn = r0 × q ⇔ rn =
× ⎜⎜
⎟⎟
⎟⎟ , donc rn = ⎜⎜
2 ⎝ 2 ⎠
⎝ 2 ⎠
n +1
n
c) Une interprétation géométrique de chaque nombre rn est la longueur du segment [ An An +1 ]
k =n
d) On pose Ln = ∑ Ak Ak +1 , la longueur de la ligne polygonale de sommets successifs A0 , A1 , A2 ,...., An +1 . :
k =0
n +1
⎛ 2⎞
1− ⎜
⎟
⎛ ⎛ 2 ⎞n +1 ⎞
⎛ ⎛ 2 ⎞ n +1 ⎞
k =n
k =n
2 ⎠
2
2
2
2
⎝
×
=
×
× ⎜1 − ⎜
× ⎜1 − ⎜
Ln = ∑ Ak Ak +1 = ∑ rk =
⎟ ⎟=
⎟ ⎟
2
2 2 − 2 ⎜ ⎜⎝ 2 ⎟⎠ ⎟ 2 − 2 ⎜ ⎜⎝ 2 ⎟⎠ ⎟
2
k =0
k =0
⎝
⎠
⎝
⎠
1−
2
⎛ ⎛ 2 ⎞n +1 ⎞ 2 2 + 2 ⎛ ⎛ 2 ⎞n +1 ⎞
⎛ ⎛ 2 ⎞n +1 ⎞
2× 2+ 2
=
× ⎜1 − ⎜
× ⎜1 − ⎜
⎟ ⎟=
⎟ ⎟ = 2 + 1 × ⎜1 − ⎜⎜
⎟ ⎟
⎜ ⎝ 2 ⎟⎠ ⎟
4 − 2 ⎜ ⎜⎝ 2 ⎟⎠ ⎟
2 − 2 × 2 + 2 ⎜⎝ ⎜⎝ 2 ⎟⎠ ⎟⎠
⎝
⎠
⎝
⎠
Somme des premiers termes consécutifs d’une suite géométrique.
⎛ ⎛ 2 ⎞ n +1 ⎞
k =n
Donc Ln = ∑ Ak Ak +1 = 2 + 1 × ⎜1 − ⎜⎜
⎟⎟ ⎟
⎜
2
k =0
⎠ ⎟⎠
⎝ ⎝
(
(
)
) (
)
(
⎛ 2⎞
Comme ⎜⎜
⎟⎟
⎝ 2 ⎠
(
)
)
n+1
→ 0 quand n → +∞ car
2
∈ ]0;1[ on en déduit que
2
k =n
⎪⎧ LimLn = 1 + 2
,
soit
L
=
Ak Ak +1 2, 414 pour de très grandes valeurs de n .
⎨
∑
n
⎪⎩n → +∞
k =0
On peut le vérifier sur la figure, par exemple jusqu'à A8 .
3
3°) On considère l’algorithme suivant :
Variables :
n, p : entiers ;
h, r , L, t : réels ;
Début
Entrer (p)
h ← 10 ^ (− p)
2
2
L ← 0 ; n ← 0;
TANT QUE r n +1 > h Faire
L ← L + r n +1 ; n ← n + 1;
FIN TANT QUE
⎛n⎞
t ← Partie entière ⎜ ⎟ ;
⎝8⎠
r←
.......
Afficher ( La longueur parcourue jusqu’au point
Afficher ( On a fait
.......
est L) ;
tours autour du point O) ;
Fin.
a) Cet algorithme calcule la longueur de la ligne polygonale A0 , A1 , A2 ,....., An telle que la longueur du
dernier segment [ An −1 An ] est supérieur au pas h choisi, mais celle du segment suivant [ An An +1 ] sera
inférieur ou égale à h .
Puis on complète les deux dernières phrases de cet algorithme et on obtient :
Variables :
n, p : entiers ;
h, r , L, t : réels ;
Début
Entrer (p)
h ← 10 ^ (− p)
2
2
L ← 0 ; n ← 0;
TANT QUE r n +1 > h Faire
L ← L + r n +1 ; n ← n + 1;
FIN TANT QUE
⎛n⎞
t ← Partie entière ⎜ ⎟ ;
⎝8⎠
Afficher ( La longueur parcourue jusqu’au point An est L) ;
Afficher ( On a fait t tours autour du point O) ;
r←
Fin.
4
b) Lorsque l’algorithme s’arrête, on n’est pas sur qu’il reste moins de h cm à parcourir sur la ligne
polygonale, car la somme des longueurs de plusieurs segments peut encore dépasser h.
Exemple :
Avec une précision de h = 10−1 = 0,1 on obtient
Choisir p pour une précision à 1/10^p:1
jusqu'au point A
6.
La longueur parcourue est
2.1124369
on a fait o. tours autour de 0
Et on constate que la longueur restant à parcourir sur la ligne polygonale est de 1 + 2 − 2,1124369 0,30
L’exécution de cet algorithme est :
Quand p = 1
Quand p = 6
5
c) On modifie cet algorithme pour que, lorsqu’il s’arrête, la longueur parcourue soit proche à moins de h de
la longueur totale.
Variables :
n, p : entiers ;
h, r , L, t , s : réels ;
Début
Entrer (p)
h ← 10 ^ (− p )
2
2
s ← 1 + 2* r
(C’est-à-dire la limite de la longueur Ln quand n → +∞ )
L ← 0 ; n ← 0;
TANT QUE ( s − L ) > h Faire
r←
L ← L + r n +1 ; n ← n + 1;
FIN TANT QUE
⎛n⎞
t ← Partie entière ⎜ ⎟ ;
⎝8⎠
Afficher ( La longueur parcourue jusqu’au point An est L) ;
Afficher ( On a fait t tours autour du point O) ;
Fin.
d) Ce qui donne avec Algobox le programme ci-dessous :
L’exécution de cet algorithme est :
Quand p = 1
Quand p = 6
Il est donc nécessaire de faire 5 tours et d’aller jusqu’au point A43 pour avoir une précision de h = 10−6 sur la
longueur de la ligne.
La limite de la longueur polygonale est de 1 + 2 2, 41421356237 , ce qui est très proche.
6