Transcript TES SUITES ALGORITHMES

TES
SUITES
ALGORITHMES
Algorithmes à analyser
1
On considère l’algorithme :
VARIABLES :
u est du type nombre
q est du type nombre
p est du type nombre
S est du type nombre
DEBUT ALGORITHME :
Lire u
Lire q
Lire p
S prend la valeur de u
Tant que (u > p) Faire
Début Tant que
u prend la valeur u*q
S prend la valeur S + u
Fin Tant que
- Afficher S
FIN ALGORITHME
2
C
Exécuter cet algorithme avec u = 2, q =
2)
3)
4)
Quel rôle jouent les variables p et q ?
Que représentent les valeurs de u ?
Tester le programme pour q = 2 puis q = -3. Que
constate-t-on ? Pourquoi ?
Analyser les algorithmes suivants :
1
3
1
et p = 0.4.
2
1)
VARIABLES :
u est du type nombre
i est du type nombre
DEBUT ALGORITHME :
u prend la valeur 1
Afficher u
Pour i allant de 1 à 9
Début pour
u prend la valeur u + 6
Afficher u
- Fin pour
FIN ALGORITHME
2
VARIABLES :
S est du type nombre
i est du type nombre
DEBUT ALGORITHME :
S prend la valeur 0
i prend la valeur 0
Tant que i ≤ 100
-
S ← S+i
i ← i+1
Fin tant que
Afficher S
FIN ALGORITHME
2

u0 = 7
Soit ( un ) la suite définie par 
u = 1 u + 1
 n+1 3 n 2
VARIABLES :
n est du type nombre
u est du type nombre
-
M est du type nombre tel que 0 < M <
3
4
DEBUT ALGORITHME :
n prend la valeur de 0
2
u prend la valeur
7
Tant que (u < M) Faire
Début Tant que
n prend la valeur n + 1
-
u prend la valeur
On considère l’algorithme :
Quel est l’intérêt de cet algorithme ?
2)
Programmer cet algorithme sur un logiciel ou
une calculatrice.
3)
Tester le programme avec différentes valeurs
3
de M de plus en plus proches de . Que
4
remarque-t-on ?
Montrer que pour tout entier naturel n
3
13
− un =
4
28x3n
4)
1 1
u+
3 2
Fin Tant que
- Afficher n
FIN ALGORITHME
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1)
5)
Page 1
Démontrer alors la conjecture émise en 5)
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ALGORITHMES
1
On considère la suite ( un ) définie par u0 = 1 et pour tout entier naturel n, un+1 = un + n − 1
2
On considère l’algorithme suivant :
VARIABLES :
n est du type nombre
u et M est du type nombre
DEBUT ALGORITHME :
Saisir M
n prend la valeur 0
u prend la valeur 1
Tant que i < M
n prend la valeur n + 1
1
u prend la valeur u + n − 1
2
Fin tant que
Afficher n
FIN ALGORITHME
5
Programmer cet algorithme, puis l’exécuter
pour des valeurs de M telles que 5, 10 ou 100.
En déduire une conjecture sur le comportement
à l’infini la suite ( un ) à l’infini.
Soit (un) la suite définie par un = n² + 2n + 10.
1)
On considère l’algorithme :
VARIABLES :
n est du type nombre
p est du type nombre
M est du type nombre
DEBUT ALGORITHME :
n prend la valeur de 0
p prend la valeur 10
Tant que (p < M) Faire
Début Tant que
n prend la valeur n + 1
p prend la valeur n² + 2n + 10
Fin Tant que
- Afficher n
FIN ALGORITHME
Quel est l’intérêt de cet algorithme ?
2) Programmer cet algorithme sur un logiciel ou une calculatrice.
3) Tester le programme avec différentes valeurs de M de plus en plus grandes
4) Que remarque-t-on ?
6
C
On considère l’algorithme suivant :
VARIABLE :
INITIALISATION :
TRAITEMENT :
n entier naturel
u entier naturel
u prend la valeur 1
S prend la valeur 1
i prend la valeur 0
Lire n
Tant que i < n
Affecter à u la valeur 2u + 1 – i
Affecter à S la valeur S + u
Affecter à i la valeur i + 1
Fin Tant que
Afficher u Afficher S
SORTIE :
Compléter le tableau suivant :
Valeur de n
0
1
2
3
Valeur de u
Valeur de S
( un ) et ( Sn ) sont les suites définies par u0 = 1 ; un+1 = 2un + 1 − n et Sn = u0 + u1 + .... + un .
4
5
Pour un entier naturel n donné, que représentent les valeurs données par l’algorithme de la question 1 ?
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1)
On considère l’algorithme suivant :
Entrée :
N entier naturel
Donner à P la valeur 0
Donner à U la valeur 4
Donner à S la valeur 4.
TRAITEMENT :
Tant que P < N
Donner à P la valeur P + 1
Donner à U la valeur 4 + 2P
Donner à S la valeur S + U
Fin Tant que
SORTIE :
Afficher S
Faire fonctionner l’algorithme pour N = 5. On fera apparaitre les différentes étapes du déroulement de l’algorithme dans un
tableau comme ci-dessous :
Valeur de Valeur de Valeur de
P
U
S
Initialisation
0
4
4
Etape 1
1
6
10
Etape 2
2
INITIALISATION :
Affichage :
On considère la suite ( Un ) définie sur N par Un+1 = Un + 2 et U0 = 4
a)
Calculer U1 , U2 et U3 .
b)
Soit p un nombre entier naturel. Donner en fonction de p la valeur de Up . Calculer U21 .
2)
On fait fonctionner l’algorithme pour N = 20, la valeur affichée par S est alors 504. Quelle est la valeur affichée par S
si on fait fonction l’algorithme pour N = 21 ?
On fait fonction l’algorithme pour un entier naturel N quelconque. Exprimer la valeur affichée S à l’aide des termes
de la suite ( Un ).
3)
Algorithmes à rédiger ou à modifier :
1
C
u0 = 1
Soit (un) la suite définie par 
un+1 = 3un − 4
1) Ecrire un programme qui demande une valeur de n et donne en sortie la valeur du terme de range n de la suite ( un )
2)
2
C
3
Déterminer le terme de rang 15 de la suite.
u0

un + 4
Soit (un) la suite définie par 
un+1 = u2 + 2
n

1) Ecrire un programme qui demande une valeur de n et de u0 et donne en sortie la valeur du terme de range n de la
suite ( un )
2) Déterminer les termes de rang 10, 11 et 12 de la suite pour différentes valeurs de u0.
1)
Expliquer ce que donne l’algorithme suivant :
Initialisation :
k prend la valeur 0 ;
u prend la valeur 1.
Traitement :
Tant que u > 0.1 Faire
Affecter k + 1 à k
Affecter u*0.6 à u
Fin Tant que
Sortie :
Afficher u et k
2)
Reprendre l’algorithme précédent et le modifier pour qu’il donne le plus petit entier k tel que 0.85n < 0.001.
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C
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1)
2)
Ecrire un algorithme qui calcule la somme des carrés des 50 premiers entiers non nuls.
Le programmer et donner la somme affichée.
5
C
On considère une suite géométrique de premier terme u0 = - 6 et de raison q = 0.4.
Ecrire un algorithme qui donne en sortie le terme de rang 20.
6
C
Soit un = 0.4n et dn = un − un+1 pour tout n entier naturel
7
1)
Donner le sens de variations de dn
2)
Ecrire un algorithme qui détermine le plus petit rang n0 tel que pour tout n ≥ n0 , dn < 0.0001.
3)
4)
5)
Le programmer sur une calculatrice ou un logiciel.
Quel résultat obtient-on ?
Interpréter ce résultat pour la suite ( un ).
1)
2)
Quelle est la limite de la suite 2n ?
nk
k
En déduire que pour tout entier naturel k, il existe un entier nk tel que pour tout n ≥ nK, 2 > 10 .
3)
Ecrire un algorithme qui demande une valeur de k et affiche la plus petite valeur possible de nk
4)
Le programmer sur une calculatrice ou un logiciel.
5)
Donner un rang à partir duquel 2n ≥ 1010 .
2
8
n
2)
7 7
7
Déterminer la limite de la suite un définie sur N par un = 1 + +   + ... +  
5  5
5
Ecrire un algorithme qui permet de connaitre à partir de quel rang, on a un ≥ 1020.
3)
Justifier qu’il s’arrête et qu’il produit bien le résultat attendu.
1)
Calculatrices :
1
On donne ci-dessous un programme réalisé sur des calculatrices CASIO et TI :
=====SOMME1
‘’N=’’ ? N↵
0 S↵
For 1 k TO N↵
S + kx2^(k – 1) S↵
Next↵
S
1)
2)
3)
4)
5)
6)
PROGRAM : SOMME1
:Input ‘’N=’’,N
:0 S
: For (k,1,n)
: S + kx2^(k – 1) S
: End
: Disp S
Quel sera l’affichage de ces programmes pour N = 4 et N = 5 ?
On note Sn le résultat affiché pour N = n (n > 0)
a) Ecrire Sn avec le symbole Σ.
b) Quelle formule de récurrence la suite Sn vérifie-t-elle ?
Ecrire l’algorithme correspondant à ce programme.
n
Modifier cet algorithme pour qu’il affiche aussi le terme Rn = (n – 1).2 .
Emettre grâce à ce programme une conjecture sur une expression explicite de Sn
Démontrer cette conjecture.
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CORRIGE :
Algorithmes à analyser
2
Analyser les algorithmes suivants :
1
2
Cet algorithme affiche les 10 premiers
termes de la suite arithmétique u de raison 6
et de premier terme 1.
6
Cet algorithme calcule et affiche la somme des
100 premiers entiers.
On considère l’algorithme suivant :
Compléter le tableau suivant :
Valeur de n
0
1
2
3
Valeur de u
1
3
6
11
Valeur de S
1
4
10
21
( un ) et ( Sn ) sont les suites définies par u0 = 1 ; un+1 = 2un + 1 − n et Sn = u0 + u1 + .... + un .
4
20
41
5
37
78
Pour un entier naturel n donné, que représentent les valeurs données par l’algorithme de la question 1 ?
Algorithmes à rédiger ou à modifier :
1
2
u0

u +4
= n
 n +1
2
u
n +2

Soit (un) la suite définie par u
1)
Ecrire un programme qui demande une valeur de n et de u0 et donne en sortie la valeur du terme de rang de la suite (un)
2)
Déterminer les termes de rang 10, 11 et 12 de la suite pour différentes valeurs de u0.
u10
u11
u12
avec u0 = 0 1.3520844 1.3980929 1.3649942
avec u0 = -2 1.4187026 1.3503824 1.3993296
avec u0 = 3 1.4127824 1.3545657 1.3962914
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C
On considère une suite géométrique de premier terme u0 = - 6 et de raison q = 0.4.
Ecrire un algorithme qui donne en sortie le terme de rang 20.
6
Soit un = 0.4n et dn = un − un+1 pour tout n entier naturel
1) Donner le sens de variations de dn
dn+1 − dn = un+1 − un+2 − (un − un+1 ) = 2un+1 − un+2 − un
= 2x0.4n+1 − 0.4n+2 − 0.4n = 0.4n x(2x0.4 − 0.4² − 1)
2)
3)
4)
5)
= − 0.4n x0.36 < 0
La suite (dn) est donc décroissante.
Ecrire un algorithme qui détermine le plus petit rang n0 tel que pour tout n ≥ n0, dn < 0.0001.
Le programmer sur une calculatrice ou un logiciel.
Quel résultat obtient-on ?
Interpréter ce résultat pour la suite (un).
A partir du rang 10, l’écart entre deux termes de la suite (un) devient très faible.
La suite converge.
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