Transcript Algorithmes en 2 nde

Algorithmes en 2nde
Claude Poulin pour le groupe de réflexion-production - Nouméa 2009
Algorithmique:

L’algorithmique est une branche complexe des
mathématiques
- comparaison de performances
- convergence des algorithmes
- preuves de programmes…

En 2nde, on abordera seulement
- l’initiation à la pensée algorithmique
- l’analyse d’algorithmes existants
- des modifications d’algorithmes
- la réalisation d’algorithmes
- quelques bases de programmation
Des algorithmes, quand?
 En relation avec toutes les parties du programme:
fonctions, statistiques, géométrie, logique et langue
(si .. alors, et...).

Il ne s’agit pas seulement d’utiliser des algorithmes
existants.
Des algorithmes, pourquoi?

La résolution de certains problèmes montre la
nécessité d’organiser une suite de traitements, de
calculs; de mettre au point des solutions
algorithmiques.
Officiellement…
Des algorithmes partout ….

La notion d’algorithme reste proche de « recette »,
« méthode systématique», « procédure »…

Des algorithmes plus ou moins complexes sont
utilisés dans la vie courante (recherche
d’informations -comment marche Google? -,
traitement et compression des données, tris, codage,
simulation, imagerie médicale, automate de
pour un ambulancier..
banque…. ).
Des algorithmes déjà rencontrés en
mathématiques:
-
-
division à la main
résolution d’une
équation du premier
degré
Euclide
Eratosthène
constructions en
géométrie
Une solution de
x²+ax=b
L’expression des algorithmes:

En langage ordinaire.

En pseudo langage, pas aussi formalisé que dans
un programme.

Parfois sous forme de schéma: organigramme …
Un exemple…

"Faites prendre la moitié du nombre pair pensé, puis
ajouter 1 et multiplier le résultat par 6; demandez le
quotient par 3 du résultat obtenu. Ce quotient diminué
de 2 est le nombre pensé."
(Emile Fourrey, Récréations mathématiques, 1905)
choisir un nombre pair x
 prendre sa moitié
 ajouter 1 au résultat précédent
 multiplier le résultat par 6
 puis diviser par 3
 retrancher 2
 annoncer le nombre pensé.

Algorithme en plusieurs
étapes, où l’on retrouve une
entrée, un traitement de
données et une sortie d’un
résultat.

Et la programmation ?

C’est la réalisation de l’algorithme (la phase
« intelligente ») qui a un réel intérêt.

Programmer, c’est finalement traduire un
algorithme afin qu’il soit exécuté (ordinateur,
machine outil, ..).

Cela reste un travail « subalterne », un
simple codage dans un langage particulier.
Apprendre à programmer?

En 2nde ce n’est pas vraiment prévu.

Il s’agit simplement quand la nécessité se fait (ou
l’envie, car il est assez stimulant de « voir tourner »
un algorithme en espérant obtenir le résultat
attendu) de traduire l’algorithme dans un langage
adéquat
(mais le langage n’est pas l’essentiel – vaut mieux
avoir …. quelque chose à dire !).
Les supports de programmation.

Principalement les outils déjà communément utilisés
(tableurs, calculatrices).

Il est possible de compléter avec des logiciels de
programmation: Scratch, Python, Algobox, Visual
Basic, Html&Java
ou des logiciels de calculs scientifiques (Scilab,
Derive…)

Et même des logiciels de calcul formel (Xcas,
Mupad…).
Attention !

Faire tourner un programme permet de
montrer qu’il contient des erreurs, pas qu’il
est juste.

Utiliser l’outil informatique pour émettre des
conjectures, oui ;
mais gare aux preuves « sommaires »
apportées par l’exécution d’un programme.
Traitements de l’exemple.


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


A la main ou en effectuant les calculs sur une simple
calculatrice.
Par exemple, si le partenaire a choisi 10
10/2=
+1=
X6=
/3=
-2=
et on annonce le résultat affiché.
S’il faut recommencer avec un autre nombre, cela
devient vite fastidieux.
Il vaut mieux automatiser ce calcul à
l’aide d’un tableur.
A
B
Choisir un nombre
10
=B1/2
=B2+1
=B3*6
=B4/3
On retrouve l’affectation
en B1, les formules et
la sortie en B6.
Résultat
=B5-2
A
B
Choisir un nombre
10
5
6
36
12
Résultat
=10
Ou utiliser la calculatrice
programmable …
TI, on passe en mode programmation avec la
touche « PRGM » , nouveau, Nom= DEVINE
Input N « demande à l'utilisateur de saisir un nombre :
la valeur est stockée dans une mémoire nommée N »
N/2→ R « La flèche →, qui obtenue par appui sur la
touche STO, demande à la calculatrice de stocker un
résultat dans une mémoire nommée R.
Stocker une valeur s'appelle faire une affectation »
R+1 → R
R*6 → R
R/3 → R
R-2 → R
Disp R « La dernière ligne affiche la valeur contenue
dans la mémoire R. »
-----------------------------------------------------------------------Il faut parler un peu « patois »
Input veut dire entrée
STO vient de to store qui veut dire stocker
Disp vient de to display qui veut dire afficher
CASIO, on passe en mode programmation avec la
touche « PRGM »
La ligne ("Nombre="? → N) demande à l'utilisateur de
saisir un nombre:
un texte est affiché (Nombre=) et le ? invite l'utilisateur
à faire la saisie, laquelle est stockée
(→)dans une mémoire nommée N.
La flèche → demande à la calculatrice de stocker un
résultat dans une mémoire :
à partir de la 2ème ligne, les résultats de calculs sont
stockés dans la mémoire R.
La dernière ligne (R ) affiche la valeur contenue dans
la mémoire R.
avec Scratch*
* Scratch, logiciel libre et ludique, possède une tortue comme LOGO; il a le gros avantage de
bien visualiser les structures; on peut exécuter plusieurs algorithmes en parallèle.
avec Scilab






 x=10
x =
10.
 r=((x/2)+1)*6/3-2
r =
10.
Avec un logiciel de calcul formel (Xcas)

Là il y a une différence de taille: on aura
la preuve formelle, par simplification.
Comment aborder le sujet en seconde.





Une recette de cuisine.
Faire exécuter l’algorithme de
construction de l’œuf .
Le rangement d’un cartable.
Jouer au robot (un élève écrit des
consignes – calculs, figure – et un autre
exécute).
Donner des petits algorithmes et deviner
ce qu’ils doivent donner ; les modifier …
Et …




Essayer de faire le lien avec les collègues de
français et la logique (si .. alors, ou, et, non …).
La notion de variable est une notion majeure utilisée
avec un tableur (une cellule est avant tout une
variable)
La notion de variable est très utilisée aussi sur la
calculatrice (pour stocker temporairement une
valeur).
« Rédiger » un problème de construction en
géométrie consiste déjà à proposer un algorithme de
construction. Les ordres dans ce cas sont
usuellement des droites à tracer avec la règle ou des
cercles avec le compas.
Y a-t-il des difficultés?





Un algorithme apporte une solution à un problème.
Il doit être juste par construction, jamais par essai.
Il doit être rédigé clairement, lisiblement dans un
souci de communication (et de maintenance!)
Les étapes que l’on retrouve quasi systématiquement
(préparation du traitement, traitement, édition des
résultats) doivent être clairement identifiées.
Les éléments de base restent néanmoins limités…
L’affectation:
Une bonne habitude, la déclaration quand
c’est possible ou l’initialisation
systématique des variables…
Dans A range 3
 A := 3
A←3

Déconseillé A
= 3 ou
A→3
« échanger A et B » …
Exercice « permuter
circulairement A, B et C »
Exercice
Le calcul de la surface d’un rectangle quand on entrera
les deux dimensions (Python*):
Un exercice d’initiation, un exemple à commenter ou un exemple à modifier …
* Python, logiciel libre possède un interpréteur et un compilateur, une tortue;
mais peut présenter des inconvénients pour des débutants (pas de déclaration de variable;
blocs par indentation; = pour affectation…)
Le test
(structure alternative)
:
ALGORITHME Equation
VAR A, B, C, DELTA : REEL
DEBUT
LIRE ( A, B, C)
Delta := B*B - 4*A*C
SI Delta > 0 :
Ecrire ( 'Première racine : ', (-B + Racine(Delta)) / (2* A)
Ecrire ( 'Deuxième racine : ', (-B - Racine(Delta)) / (2 *A)
SINON
SI Delta = 0
Ecrire('Une racine double :', -B / ( 2*A)
SINON
Ecrire('Pas de racine réelle')
FSI
FSI
FIN
Le test
(structure alternative ; Algobox*)
VARIABLES
a EST_DU_TYPE NOMBRE
b EST_DU_TYPE NOMBRE
c EST_DU_TYPE NOMBRE
d EST_DU_TYPE NOMBRE
x1 EST_DU_TYPE NOMBRE
x2 EST_DU_TYPE NOMBRE
DEBUT_ALGORITHME
LIRE a
LIRE b
LIRE c
d PREND_LA_VALEUR b*b-4*a*c
:
SI (d<0) ALORS
DEBUT_SI
AFFICHER "Pas de racine réelle"
FIN_SI
SINON
DEBUT_SINON
x1 PREND_LA_VALEUR (-b-sqrt(d))/(2*a)
AFFICHER "x1="
AFFICHER x1
x2 PREND_LA_VALEUR (-b+sqrt(d))/(2*a)
AFFICHER "x2="
AFFICHER x2
FIN_SINON
FIN_ALGORITHME
*Algobox, logiciel libre est un excellent outil de rédaction d’algorithme, avec des commandes
prêtes à l’emploi et possibilité d’exécution immédiate.
Le test

(structure alternative)
Ranger deux nombres (Scratch)
:
Et les boucles ?

Affectation, entrée, sortie ne doivent pas
présenter de grandes difficultés.

La structure conditionnelle demandera plus
de temps.

Élaborer une boucle reste la véritable
difficulté en algorithmique.
La répétition:
Pour œuf n° 1 jusqu’à œuf n° 6
Faire
Casser l’œuf
Verser le contenu dans le bol
FinFaire
VARIABLES
n EST_DU_TYPE NOMBRE
somme EST_DU_TYPE NOMBRE
DEBUT_ALGORITHME
somme PREND_LA_VALEUR 0
POUR n ALLANT_DE 1 A 100
DEBUT_POUR
somme PREND_LA_VALEUR somme+1/n
Dans cet exemple le nombre
d’itérations est connu.
FIN_POUR
AFFICHER somme
FIN_ALGORITHME
La construction d’une étoile
(avec la tortue de Scratch)
:
La répétition, version 2:
N← 0
S←0
Tant que S <1000
Faire
S←S+N
N ← N+1
FinFaire
Ecris S
Ici le nombre d’itérations est
inconnu.
Exemple: pourquoi cet
algorithme est faux?
I←0
Tant que I < 100
Faire
Ecris I
Fin Faire
En seconde – fonctions.



Calculer l’indice de masse corporelle
I= masse/taille²
Si I>25 afficher « en surpoids »…
Tableau de valeurs avec un tableur.
Maximiser le volume d’une boîte.
En seconde – expressions.






Résolution d’une équation du 1er degré.
Transformations formelles avec Xcas.
Méthode de Hörner.
Encadrement de solutions de f(x)=0
(dichotomie).
existence d’un triangle pour trois
nombres donnés
sortir le plus grand de trois nombres
Algorithme permettant d'obtenir la valeur approchée de la
x²  2  0
solution positive de l'équation
(ALGOBOX).
1 VARIABLES
2 a EST_DU_TYPE NOMBRE
3 b EST_DU_TYPE NOMBRE
4 ecart EST_DU_TYPE NOMBRE
5 milieu EST_DU_TYPE NOMBRE
6 image EST_DU_TYPE NOMBRE
7 DEBUT_ALGORITHME
8 a PREND_LA_VALEUR 1
9 b PREND_LA_VALEUR 3
10 ecart PREND_LA_VALEUR b-a
11 TANT_QUE (ecart>0.001) FAIRE
12
DEBUT_TANT_QUE
13
milieu PREND_LA_VALEUR (a+b)/2
14
image PREND_LA_VALEUR milieu*milieu -2
15
AFFICHER "("
16
AFFICHER a
17
AFFICHER ";"
18
AFFICHER b
19
AFFICHER ")"
20
AFFICHER "milieu="
21
AFFICHER milieu
22
AFFICHER ";"
23
AFFICHER "image par la fontion="
24
AFFICHER image
25
SI (image<0) ALORS
26
DEBUT_SI
27
a PREND_LA_VALEUR milieu
28
FIN_SI
29
SINON
30
DEBUT_SINON
31
b PREND_LA_VALEUR milieu
32
FIN_SINON
33
ecart PREND_LA_VALEUR b-a
34
FIN_TANT_QUE
35 AFFICHER "la valeur qui annule la fonction est proche
de :"
36 AFFICHER milieu
37 FIN_ALGORITHME
En seconde – statistiques,
probas.



Fluctuation d’échantillonnage:
simulations d’un lancer de deux dés.
Intervalles de confiance.
Déterminations de Q1, Me, Q3 (les
valeurs obtenues à la machine ne sont
pas satisfaisantes).
En seconde – géométrie.




Calcul des coordonnées d’un milieu.
Programme de construction dans le
plan.
Vérifier la colinéarité de deux vecteurs.
Construction d’un cube avec Géospace.
Et après ?
Il est évident que cette initiation aux algorithmes
sera poursuivie par la suite…
Des documents sont déjà à consulter sur:
http://www.ac-noumea.nc/maths/
(prise en main des calculatrices programmables,
de Xcas, de Maple, de Mupad…)
Des stages de différents niveaux seront
proposés.
L’algorithmique au service de problèmes.







Procédures de tris et comparaison de leurs
performances.
recherche d’un maximum d’une fonction par
trisection.
Approximation de
2
Approximation de Pi
Algorithme récursif d’Euclide
Algorithmes sur les graphes
Algorithmes sur le méthodes de calculs
d’intégrales
Des algorithmes qui gagnent à être connus….




Équations différentielles : méthode d’Euler,
accélération de Runge …
Équations non linéaires : point fixe, méthode
de la sécante, Newton, Delta d’Aitken,
Steffesen et Romberg…
Systèmes linéaires : Gauss, Souriau..
Algorithme CORDIC.
Et quelques bases en analyse numérique et en
calcul formel.