Transcript DS2 _TESL_2013

T.ESL
2H
DEVOIR N°2 DE MATHEMATIQUES
EXERCICE N°1 (5 points) QCM
Barème : Une réponse exacte rapporte 1 point, une réponse fausse enlève 0,25 point ; l’absence de réponse
ne rapporte et n’enlève pas de point. Vous cocherez sur le sujet, la réponse choisie.
1) La suite ‫ ݒ‬définie par ቊ
‫ݑ‬
□ ‫ݑ‬ଵ =
ଵ
ଷ
‫ݑ‬଴ = 2
௡ାଵ
=
ଶ௨೙ ିଵ vérifie
௨೙ ାଶ
:
□ ‫ݑ‬ଵ = −
ଵ
ଶ
□ ‫ݑ‬ଵ =
ଷ
ସ
2) La suite ‫ ݑ‬définie pour tout entier ݊ par ‫ݑ‬௡ = 6݊ − 1 est :
□ arithmétique
□ géométrique
de raison 6 et de 1er
de raison −1 et de 1er
terme ‫ݑ‬଴ = 6
terme ‫ݑ‬଴ = −1
□ arithmétique
de raison 6 et de 1er
terme ‫ݑ‬଴ = −1
□ géométrique
□ géométrique
3) La suite ‫ ݒ‬définie pour tout entier ݊ par ‫ݒ‬௡ =
de raison 3 et de
ଷ
terme ‫ݒ‬଴ =
ହ
ଷ೙
ହ
est :
□ géométrique
1er
de
ଷ
raison ହ
et de
ଵ
terme ‫ݑ‬଴ = ହ
1er
de raison 3 et de 1er
ଵ
terme ‫ݑ‬଴ = ହ
Pour les items suivants, on considère une fonction
݂ deux fois dérivable sur ሾ−2 ; 4ሿ de courbe
représentative ‫ܥ‬௙ . ܶ଴ est la tangente à ‫ܥ‬௙ au point
B d’abscisse 0, ܶଵ est la tangente à ‫ܥ‬௙ au point A
d’abscisse 1 et ܶଶ est la tangente à ‫ܥ‬௙ au point C
d’abscisse 2.
4) On a :
□ ݂ ᇱ (1) = 0
□ ݂ ᇱᇱ (0) = 0
□ ݂ ᇱ ′(1) = 0
5) On a :
□ ݂ ᇱᇱpositive sur ሾ−2 ; 1ሿ
□ ݂ ᇱᇱ négative sur ሾ−2 ; 0ሿ
□ ݂ ᇱᇱ positive sur ሾ−2 ; 3,5ሿ.
EXERCICE N°2 : Convexité d’une fonction (3 points)
1
f(x) :=10*x/(x+2)^2
2
g(x) :=deriver(f(x))
3
୶
x -> 10.( (୶ାଶ)² )
x ->
ିଵ଴.(୶ିଶ)
(୶ାଶ)య
h(x) :=deriver(g(x))
x ->
ଶ଴.(୶ିସ)
(୶ାଶ)ర
Soit ݂ la fonction définie sur l’intervalle ሾ0 ; 10ሿ
10‫ݔ‬
par ݂(‫ݔ( = )ݔ‬+2)² .
Par calcul formel on a obtenu les résultats ci-contre qu’on
utilisera sans justifier.
1) Sur ሾ0 ; 10ሿ , étudier le signe de ℎ(‫)ݔ(’’݂ = )ݔ‬.
2) En déduire la convexité de la fonction ݂.
3) En quel point la courbe de ݂ admet-elle un point
d’inflexion ? Préciser les coordonnées de ce point.
EXERCICE N°3 : Position relative (4 points)
Soit la fonction ݃ définie sur ሾ1 ; 5ሿ par ݃(‫ ݔ = )ݔ‬ଷ − 6‫ݔ‬² + 11‫ ݔ‬− 8, de courbe représentative ‫ܥ‬௚ .
1) Déterminer l’équation réduite de la tangente ‫ ܦ‬à la courbe ݃ au point d'abscisse 2.
2)
a. Justifier que pour tout ‫ ݔ‬de ሾ1 ; 5ሿ, ݀(‫ )ݔ(݃ = )ݔ‬− (−‫ )ݔ‬vérifie ݀(‫ ݔ( = )ݔ‬− 2)ଷ .
b. Etudier le signe de ݀(‫ )ݔ‬sur ሾ1 ; 5ሿ.
c. En déduire la position relative de ‫ܥ‬௚ par rapport à ‫ ܦ‬sur ሾ1 ; 5ሿ.
3) Que représente le point d’abscisse 2 pour la courbe ‫ܥ‬௚ ?
PROBLEME : Etude d’une fonction coût total (8 points)
L’entreprise chinoise Shishi produit du tissu en coton qu’elle conditionne en « roules » de 2 000 m de
long et 1,5 m de large. Elle peut fabriquer au maximum 10 km en continu.
Le coût total de production, en euro, est donné en fonction de la longueur, en km, par la formule :
࡯(࢞) = ૚૞࢞૜ − ૚૛૙࢞² + ૞૙૙࢞ + ૠ૞૙ où ࢞ ∈ ሾ૙ ; ૚૙ሿ
PARTIE A : Etude du bénéfice
On a tracé sur la feuille annexe, la courbe ߁ de ‫ ܥ‬et ‫ܦ‬ଵ la droite d’équation ‫ = ݕ‬400‫ݔ‬.
1) Au vu du graphique, expliquer pourquoi l’entreprise Shishi ne peut réaliser un bénéfice si le prix du
marché est égal à 400€ par km.
2) Dans cette question, on suppose que le prix du marché est égal à 680€ le km.
a. Sur la feuille annexe, tracer la droite ‫ܦ‬ଶ d’équation ‫ = ݕ‬680‫ݔ‬. Puis déterminer, avec la
précision permise par le graphique, pour quelles quantité produites et vendues, l’entreprise Shishi
réalise un bénéfice si le prix du marché est de 680€ par km.
b. Soit ‫ ܤ‬la fonction définie sur ሾ0 ; 10ሿ par : ‫ = )ݔ(ܤ‬680‫ ݔ‬− ‫)ݔ(ܥ‬.
Démontrer que pour tout ‫ ݔ‬deሾ0 ; 10ሿ, ‫ = )ݔ(’ܤ‬−45‫ݔ‬² + 240‫ ݔ‬+ 180.
c. Etudier les variations de B sur ሾ0 ; 10ሿ. En déduire la quantité produite et vendue pour
laquelle l’entreprise Shishi réalise un bénéfice maximum avec un prix du marché de 680€ le km.
PARTIE B : Etude du coût marginal
Le coût marginal ‫ܥ‬௠ est assimilé à la fonction dérivée du coût total donc on pose, pour tout ‫ ݔ‬de
ሾ0 ; 10ሿ, ‫ܥ‬௠ (‫ ܥ = )ݔ‬ᇱ (‫)ݔ‬.
1) Calculer ‫ܥ‬௠ (‫ )ݔ‬puis étudier les variations de ‫ܥ‬௠ sur ሾ0 ; 10ሿ.
2) En déduire que le coût marginal ‫ܥ‬௠ admet un minimum au point d’inflexion de la courbe de coût
total ߁.
PARTIE C : Etude du coût moyen
Le coût moyen ‫ ܯܥ‬mesure le coût par unité produite. Donc pour tout ‫ ݔ‬de ሾ0 ; 10ሿ, ‫= )ݔ(ܯܥ‬
1) Prouver que pour tout ‫ ݔ‬de ሾ0 ; 10ሿ, ‫ܯܥ‬ᇱ (‫= )ݔ‬
2)
ଷ଴(௫ିହ)(௫ మ ା௫ାହ)
௫²
.
஼(௫)
.
௫
a. Pour quelle longueur ‫ݔ‬଴ de tissu produite le coût moyen est-il minimum ? Que valent dans
ce cas le coût moyen, le coût total et le coût marginal ?
b. Si le prix du marché est de 680€ le km, quel est le bénéfice réalisé par l’entreprise si elle
fabrique et vend une longueur de tissu de ‫ݔ‬଴ km ?
Elève :
T.ESL
ANNEXE