Exercices - Centre de masse

O

Centre de masse d'une barre homogène

z dz L On néglige les autres dimensions devant la longueur de telle manière que la masse m vaut : m = ρ .

L r z On applique la relation suivante : L .

OG = L ∫ OA i .

dl Calculez

Centre de masse d'une surface triangulaire

y = a - x a O x dx a Le centre de gravité d’un solide homogène est donné par : V OG = ∫∫∫ OA i dv v avec V = Volume du solide Exercices-Centre-De-Gravite.docx Page 1/4

L'épaisseur étant constante, on peut écrire : S OG = s ∫∫ OA i plaque triangulaire OA i = x .

r x Calculer ds Calculez S OG v .

x et en déduire x G ds avec S = Surface de la

Centre de masse d'une plaque chanfreinée et percée d’un trou

Appelons S 1 la plaque rectangulaire de dimensions L x l , S 2 le cercle de rayon R dont le centre a pour coordonnées (a,b) et S 3 le triangle de coté c On cherche les coordonnées du centre de gravité G de la plaque. r y a c G x G y G b c On applique les définitions suivantes : x G = ∑ ∑ m i x i m i Avec M = masse totale du système = ∑ et y G = Calculez la masse M , puis x G et y G A.N. L = 150 , l = 90 a = 120 , b = 60 , c = 30, R = 15 ∑ ∑ m i y i m i Exercices-Centre-De-Gravite.docx Page 2/4

Centre de masse d'un secteur circulaire

Considérons une plaque comme étant un secteur circulaire d'angle (en radian) et de rayon : Calculez la surface de l’élément de surface Le centre de gravité d’un solide homogène est donné par : V OG = ∫∫∫ OA i dv v avec V = Volume du solide L'épaisseur étant constante, on peut écrire : S OG = s ∫∫ OA i plaque ds avec S = Surface de la La position du centre de gravité de l'élément de surface ds est donné par : OA i = r .

cos θ .

r x + r .

sin θ .

r z Si α = π alors S = 1 2 π .

R 2 ; Calculez S en fonction de α et de R donc : S OG = s ∫∫ r .

cos θ .

ds r .

x + ∫∫ r .

sin θ .

ds r .

z s Faites le calcul de S OG en séparant chaque intégrale double en deux, la première avec les termes en r et dr puis la seconde avec les termes en θ et d θ En déduire OG Définir OG pour une plaque ayant la forme d’un quart de cercle : Exercices-Centre-De-Gravite.docx Page 3/4

Vérifiez avec le théorème de Guldin pour α = π , la surface est un quart de cercle de surface S. 2 r Par rotation autour de l'axe z , le volume engendré est une demi-sphère de volume V. Calculez S et V. Le second théorème de Guldin nous donne la relation : V = 2 .

π .

S .

r G où r G est la distance du centre de gravité du r quart de cercle par rapport à l'axe z . En déduire r G

Centre de masse d'un cône

Soit un cône de révolution d’axe z , d’angle au somment 2 α ayant une masse m. Le centre de gravité G est défini par : OG = 1 m P ∫ OP .

dm Ecrire la relation liant l’angle α , r , z , R et h En déduire la relation r = f( z,R,h) Calculez l’élément de masse dm = f( ρ ,z,dz,R,h) Calculez la masse m = f( ρ ,R,h) ; on donne V = π .

R 2 h 3 et OP = z r .

z Calculez OG en fonction de h Exercices-Centre-De-Gravite.docx Page 4/4