Transcript Calculs de déterminants par une relation de récur

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Enoncés
Calculs de déterminants par une relation de récurrence
Exercice 1 [ 01426 ] [correction]
Calculer en établissant une relation de
0
−1
Dn = .
..
−1
récurrence
1
..
.
..
.
···
···
..
.
..
.
−1
1 0 [n]
1
..
.
Exercice 2 [ 01427 ] [correction]
Calculer en établissant une relation de récurrence
0 1 ··· 1
.
1 . . . . . . ..
Dn = .
.. . . . . . . 1
1 ···
1 0
1
Exercice 5 [ 01430 ] [correction]
Calculer en établissant une relation de récurrence
a + b b ···
b
..
.
.
..
..
a
.
Dn = .
.
.
.
.
.
.
.
.
b
a
···
a a+b
Exercice 6
Calculer
[correction]
0
C1 C11
0
C2 C21
0
C
C31
Dn = 3
C0 C1
4
4
.
..
C0 C1
n
Exercice 4 [ 01429 ] [correction]
Calculer en établissant une relation de récurrence
2 1 ···
1
..
.
..
1 3
.
Dn = .
.
.
..
..
..
1
1 ···
1 n+1
Exercice 7
Calculer
···
C22
0
C32
C33
C42
[ 01432 ]
[correction]
0
C0
0
C1
Dn+1 = .
..
C0
n
···
C43
..
.
0
..
.
..
.
..
.
0
..
n
!
=
k
.
···
Cn3
Cn2
n−1
Cn−1
n−1
Cn
[n]
n!
k!(n − k)!
C11
C21
..
.
···
···
Cnn
n
Cn+1
..
.
1
Cn+1
···
n
C2n
[n+1]
en notant par
Cnk =
[n]
On exprimera le résultat à l’aide des termes de la suite (Hn ) avec
n
X
1
Hn =
k
0
en notant
Cnk =
Exercice 3 [ 01428 ] [correction]
Calculer en établissant une relation de récurrence
1 ···
1 Dn = ... . . . (0) 1 (0) 1 [n]
[n]
[ 01431 ]
n
[n]
Exercice 8 [ 03254 ] [correction]
Calculer le déterminant de

n
!
=
k
a
(b)
..

An = 
(c)
n!
k!(n − k)!


 ∈ Mn (C)
.
a
k=1
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Corrections
Corrections
Exercice 1 : [énoncé]
Par les opérations élémentaires
Dn = C1 ← C1 + Cn puis L1 ← L1 + Ln on obtient
0
0 ···
0 1 0
0
1 · · · 1 . ..
..
..
. .. .
. −1
..
..
..
. 1 .
0
.
−1 −1 · · · −1 0 [n]
En développant, on parvient à la relation de récurrence
Dn = Dn−2
Comme D1 = 0 et D2 = 1, on a
Dn =
Exercice 2 : [énoncé]
Par les opérations élémentaires : C1
−2
0
.
Dn = ..
0
1
1 + (−1)n
2
← C1 − Cn puis L1 ← L1 − Ln on obtient
0 ···
0
1 0
(1) ..
.
..
.
(1)
0 [n]
En développant, on parvient à la relation de récurrence
Dn = −2Dn−1 − Dn−2
La suite (Dn ) est une suite récurrente linéaire d’ordre 2 d’équation caractéristique
r2 + 2r + 1 = 0 de racine double −1.
Sachant D1 = 0 et D2 = −1, on parvient à
Dn = (−1)n−1 (n − 1)
2
Exercice 3 : [énoncé]
En développant selon la deuxième ligne
1
? ..
Dn = − + Dn−1 = −1 + Dn−1
.
(0)
1 [n−1]
Puisque D1 = 1 on obtient
Dn = 2 − n
Exercice 4 : [énoncé]
En décomposant la dernière colonne
2 1 ···
1 ... ...
Dn = .
.. . . .
n
1 ···
1
En retranchant la
2
1
.
..
1
en somme de deux colonnes
1 2
(1) 0 .. .. ..
. .
. + n 0 1 (1)
n [n]
1 dernière colonne à chacune des autres
1 · · · 1 1
(0)
1
. ..
..
..
..
..
. .. .
.
.
.
=
..
n
−
1
1
.
n 1 (0)
1
···
1 1 En développant selon la dernière colonne
2
(1)
.
.
.
n
(1)
= (n − 1)!
= nDn−1
0 n [n]
0
..
.
Ainsi
Dn = (n − 1)! + nDn−1
Par suite
donc
1
Dn−1
Dn
= +
n!
n
(n − 1)!
n
X1
Dn
= D0 +
n!
k
k=1
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Corrections
puis
Dn = (1 + Hn )n!
Exercice 5 : [énoncé]
En décomposant la première ligne en somme de deux lignes
b
a
b
···
0
···
0 a a+b
a a+b
b
Dn = .
+ ..
..
..
.
..
.
.
a
a
a
a + b [n] a
a + b [n]
b
b
En retranchant la première colonne à toutes les autres dans le second
déterminant, on obtient
Dn = aDn−1 + bn
Par récurrence, on en déduit
Dn =
an+1 − bn+1
si a 6= b
a−b
et
Dn = (n + 1)an si a = b
Exercice 6 : [énoncé]
En retirant à chaque ligne la précédente (et en commençant par la dernière)
1
1
0
···
···
0 ..
0
1
0
0
C
C
.
1
1
..
.
.
..
..
2
0
1
.
C
C
C
2
2
2
Dn = .
.
.
2
0
1
..
.
C3
0 C3
C3
.
..
n−2 ..
. Cn−2
n−2 0 C0
2
1
· · · Cn−1
Cn−1
Cn−1
n−1
[n]
en vertu de la formule du triangle de Pascal
k−1
k
Cnk = Cn−1
+ Cn−1
En développant selon la première colonne, on obtient
Dn = Dn−1
Ainsi
Dn = D1 = 1
3
Exercice 7 : [énoncé]
En retirant à chaque ligne la précédente (et en commençant par la dernière) on
obtient
0
C0 C11 · · ·
Cnn 0 C10 · · · Cnn−1 Dn+1 = .
..
..
..
.
.
0 C 0 · · · C n−1 n
2n−1 [n+1]
en vertu de la formule du triangle de Pascal
k−1
k
Cnk = Cn−1
+ Cn−1
En développant selon la première colonne
0
C1 · · ·
Dn+1 = ...
C0 · · ·
n
Cnn−1
..
.
n−1
C2n−1
[n]
0
Via Cn ← Cn − Cn−1 , . . . , C2 ← C2 − C1 et en exploitant Cp0 = Cp+1
, on obtient
n−1 C00
· · · Cn−1
..
..
Dn+1 = = Dn
.
.
n−1 C0
· · · C2n−2
n−1
Finalement
Dn = 1
Exercice 8 : [énoncé]
Cas b = c :
C’est un calcul classique, on effectue C1 ← C1 + · · · + Cn puis Li ← Li − L1
(i = 2, . . . , n) pour triangulariser le déterminant et obtenir
det An = (a + (n − 1)b)(a − b)n−1
Cas b 6= c :
Posons Dn = det An . A chaque ligne on retranche la précédente
a
b
···
b c−a a−b
(0) Dn = .
.
..
..
(0)
c−a a−b Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD
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Corrections
4
et on développe selon la dernière colonne
Dn = b(a − c)n−1 + (a − b)Dn−1 (avec n > 2)
Ainsi
Dn = b(a − c)n−1 + b(a − b)(a − c)n−2 + · · · + b(a − b)n−2 (a − c)1 + (a − b)n−1 D1
Par sommation géométrique des premiers termes
Dn = b(a − c)n−1
1−
a−b
a−c
1−
n−1
a−b
a−c
+ a(a − b)n−1
puis après simplification
Dn =
b(a − c)n − c(a − b)n
b−c
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