Transcript DM bis no 1 - Mathématiques en ECE 2

ECE 2 - Mathématiques
DM bis no 1
Quentin Dunstetter - ENC-Bessières 2014\2015
DM bis no 1
Problème (Edhec 2004)
Dans ce problème, la lettre
n
désigne un entier naturel non nul.
n
fn la fonction dénie sur R par : fn (x) = xe x si x 6= 0 et fn (0) = 0.
(Cn ) la courbe représentative de fn dans un repère orthonormé (O,~i, ~j).
−
On note
On note
1.
(a) Montrer que
fn
est continue à droite en 0.
(b) Montrer que
fn
est dérivable à droite en 0 et donner la valeur du nombre dérivé à droite en 0
fn
est dérivable sur
de
2.
fn .
(a) Montrer que
fn0 (x)
(b) Calculer les limites de
3.
] − ∞, 0[
et sur
]0, +∞[.
Pour tout réel
x
non nul, calculer
puis étudier son signe.
fn
+∞, −∞
en
et
0− ,
(a) Rappeler le développement limité à l'ordre
(b) En déduire que, lorsque
x
2
puis donner le tableau de variation de
de
est au voisinage de
eu
+∞
fn (x) = x − n +
lorsque
u
est au voisinage de 0.
ou au voisinage de
n2
+o
2x
fn .
−∞,
on a :
1
.
x
+∞, ainsi qu'au voisinage de −∞, (Cn ) admet une asymptote
(Dn ) dont on donnera une équation. Préciser la position relative de (Dn ) et (Cn ) aux
voisinages de +∞ et de −∞.
(c) En déduire qu'au voisinage de
oblique
(d) Donner l'allure de la courbe
4.
(a) Montrer qu'il existe un unique réel, que l'on notera
(b) Vérier que, pour tout
l'équation
n
de
g −1 ,
que
N
×
g dénie
lim un = +∞.
fn (un ) = 1.
est strictement supérieur à
sur
[1, +∞[
par
ln un + ln(ln un ) = ln n,
En déduire un équivalent de
(a) Montrer que la suite
un
g(x) = x ln x.
1
et que
un
est solution de
En déduire, en utilisant la fonction
(un )n>1
(b) Montrer que :
un+1
R
ln un
puis montrer que
lorsque n est au voisnage de
∼
n→+∞
ln n.
+∞.
est strictement croissante.
In =
un
tel que
n→+∞
(d) Justier la relation
6. On pose
,
un ,
x ln(x) = n.
(c) Étudier la fonction
5.
(C1 ).
fn (un+1 ) = exp
1
.
un+1
fn (t)dt.
un
(a) Montrer que :
16
In
6 exp
un+1 − un
(b) En déduire un équivalent de
In
1
un+1
lorsque
n
.
est au voisinage de
(c) Montrer alors que la série de terme général
In
+∞.
est divergente.
1
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Quentin Dunstetter - ENC-Bessières 2014\2015
Exercice 1 (Edhec 1998)
On réalise une suite de lancers d'une pièce équilibrée, chaque lancer amenant donc pile ou face avec une
probabilité 1/2.
On note
Pk
Fk
(resp.
Pour ne pas surcharger l'écriture, on écrira, par exemple,
On note
X
k e´me
) l'évènement : on obtient pile (resp. face) au
k
la variable aléatoire qui prend la valeur
dans cet ordre aux lancers
k−1
k (k
et
P1 F2
lancer".
à la place de
P1 ∩ F 2 .
si l'on obtient pour la première fois pile puis face
désignant un entier supérieur ou égal à 2),
X
prenant la valeur
0
si l'on obtient jamais une telle succession.
1. Calculer
2.
P (X = 2).
(a) En remarquant que
(X = 3) = P1 P2 F3 ∪ F1 P2 F3 ,
calculer
P (X = 3).
(b) Sur le modèle de la question précédente, écrire, pour tout entier
l'évènement
(X = k)
(c) Déterminer P(X
(d) Calculer P(X
comme réunion de
= k)
pour tout entier
(k − 1)
k
k
supérieur ou égal à 3,
évènements incompatibles.
supérieur ou égal à 2.
= 0).
3. On se propose, dans cette question, de retrouver le résultat de la question 2) c : par une autre
méthode.
(a) Montrer que,
k
désignant un entier supérieur ou égal à 3, si le premier lancer est un pile, alors
il faut et il sut que
P2 P3 . . . Pk−1 Fk
se réalise pour que
(X = k)
se réalise.
(b) En déduire, en utilisant la formule des probabilités totales que :
∀k > 3
(c) On pose, pour tout entier
Montrer que la suite
4. Montrer que
X
k
1
1
P (X = k − 1) + k
2
2
supérieur ou égal à 2,
(uk )k>2
a une espérance
P (X = k) =
uk = 2k P (X = k).
est arithmétique. Retrouver le résultat annoncé.
E(X),
puis la calculer.
Exercice 2 (Ecricome 2001)
On désigne par
n
un entier naturel non nul et
a
un réel strictement positif.
On se propose d'étudier les racines de l'équation :
1
1
1
1
+
+
+ ... +
=a
x x+1 x+2
x + 2n
(En ) :
Á cet eet, on introduit la fonction
fn ,
fn (x) =
de la variable réelle
x
dé nie par :
1
1
1
1
+
+
+ ··· +
−a
x x+1 x+2
x + 2n
I. Étude d'un cas particulier.
Pour cette question seulement, on prend
1. Représenter la fonction
2. Calculer
f1
a=
11
6
et
n = 1.
relativement à un repère orthonormal du plan. (unité graphique 2 cm)
f1 (1)
les racines de (E1 ).
√ , puis déterminer
37 = 6,08 à 10−2 près par défaut)
(On donne
II. Dénombrement des racines de
1. Dresser le tableau de variations de
(En ).
fn .
2. Justier l'existence de racines de l'équation
(En )
et en déterminer le nombre.
2
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III. Équivalent de la plus grande des racines quand
On note
xn
la plus grande des racines de
1. Justier que
n
tend vers
+∞.
(En ).
xn > 0 .
2. Démontrer que pour tout réel
x>1
:
1
x
1
< ln
<
x
x−1
x−1
En déduire que pour
x
réel strictement positif :
fn (x) −
1
2n
1
+ a < ln 1 +
< fn (x) −
+a
x
x
x + 2n
puis, que :
a−
3. Montrer que pour tout
n
1
2n
1
< ln 1 +
<a−
xn
xn
xn + 2n
entier naturel, non nul :
xn >
4. Quelle est la limite de
xn ,
puis la limite de
5. Prouver enn l'existence d'un réel
2n
exp a − 1
2n
ln 1 +
,
xn
lorsque
n
tend vers
+∞ ?
δ , que l'on exprimera en fonction de a, tel que l'on ait, au voisinage
de l'inni, l'équivalent suivant
xn
∼
n→+∞
δ.n
Exercice 3 (Ecricome 2008, Troisième jeu)
n
Pour ce dernier jeu, le participant lance successivement
à
N
avec
N > 2.
boules au hasard dans
N
cases numérotées de 1
On suppose que les diérents lancers de boules sont indépendants et que la probabilité
1
. Une case peut contenir plusieurs boules.
N
étudie la variable aléatoire Tn égale au nombre
pour qu'une boule quelconque tombe dans une case donnée est
Le gain étant fonction du nombre de cases atteintes, on
de cases non vides à l'issue des
n
1. Déterminer en fonction de
2. Donner les lois de
T1
3. Déterminer, lorsque
[Tn = n].
et
lancers.
n
et de
N
les valeurs prises par
Tn .
T2 .
n > 2,
la probabilité des évènements
[Tn = 1], [Tn = 2],
n > N et n 6 N ).
(pour la dernière probabilité on distinguera deux cas
4. A l'aide de la formule des probabilités totales, justier l'égalité
que
(I)
suivante, pour tout entier
k
tel
1 6 k 6 n,
(I)
P ([Tn+1 = k]) =
5. An de calculer l'espérance
k
N −k+1
P ([Tn = k]) +
P ([Tn = k − 1])
N
N
E(Tn ) de la variable Tn , on considère la fonction polynômiale Gn
par :
∀x ∈ R,
Gn (x) =
n
X
dénie
P ([Tn = k])xk
k=1
Gn (1) ?
(a) Quelle est la valeur de
(b) Exprimer
E(Tn )
en fonction de
(c) En utilisant la relation
(I),
G0n (1).
montrer que :
∀x ∈ R,
Gn+1 (x) =
1
(x − x2 )G0n (x) + xGn (x)
N
3
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(d) En dérivant l'expression précédente, en déduire que :
E(Tn+1 ) =
1−
1
N
E(Tn ) + 1
Tn est donnée par
n 1
E(Tn ) = N 1 − 1 −
N
(e) Prouver enn que l'espérance de la variable
:
4