Transcript Les mathématiques en ECS1

LYCEE CAMILLE VERNET
RENTREE 2014
Les mathématiques en ECS1
Nous reprendrons et approfondirons l'analyse du lycée (étude de fonctions, suites, intégrales), également les probabilités, et nous aborderons l'algèbre (polynômes, matrices, espaces vectoriels...etc, notions à découvrir entièrement !).
Ce sont les trois volets des mathématiques du programme de la prépa ECS.
Il n'y a plus de géométrie.
Attention ! il n'y a plus non plus de calculatrice, ni de formulaire : c'est interdit aux épreuves de
concours.
Vous n'avez pas besoin d'acheter un manuel de cours. Les énoncés d'exercices et devoirs en temps libre (environ
un par semaine) sont distribués en classe.
Voici quelques exercices à faire pour préparer la reprise. Avec 9 heures par semaine, le rythme est intense et il est
préférable de se remettre un peu "dans le bain" avant. Je vous conseille donc de travailler lors de la dernière quinzaine
de vacances.
Ces exercices sont uniquement sur la partie analyse.
Soit f la fonction dénie sur R par f (x) = e−x − (1 − x). Dresser le tableau des variations de f sur
R et en déduire l'inégalité valable pour tout réel x : e−x ≥ 1 − x.
Exercice 1
Soit f la fonction : x ∈ R 7→ x2 ln x.
Exercice 2
1
e
Donner son domaine de dénition puis calculer les images de : e, , e2 ,
(donner les valeurs exactes simpliées )
√
√
1
e, e e, √ .
e
2) Résoudre dans R∗ l'équation
1
= x − 1.
x
Exercice 3
1) Résoudre dans R l'équation x2 − 12 = 0.
Exercice 4
Résoudre dans R les équations : X 4 − 3X 2 − 3 = 0 (E1) et e2x − 3ex − 3 = 0 (E2)
Exercice 5
Montrer que pour tout réel x, on a : e2x − 3ex + 4 > 0.
Exercice 6
Montrer en étudiant les variations d'une fonction bien choisie que pour tout réel x positif on a :
ln(1 + x) ≤ x
Soit f la fonction : x ∈ R 7→ (1 − x1 )ex .
Donner son domaine de dénition Df puis déterminer les limites de f aux bornes de Df .
Exercice 7
Soit f la fonction : x ∈ R 7→ x3 − x2 ln(x).
Donner son domaine de dénition Df puis déterminer les limites de f aux bornes de Df .
Exercice 8
Soit (un )n∈N la suite dénie par u0 = 1 et pour tout entier naturel n : un+1 =
Exercice 9
Montrer que la suite (un ) est constante.
Exercice 10
Montrer que pour tous réels a et b strictement positifs, on a :
√
√
(indication : ( a − b)2 = ...)
En déduire que
1
(ln a + ln b) ≤ ln
2
a+b
2
Résoudre les inéquations suivantes :
1. x − 16 ≥ 0 d'inconnue x ∈ R.
Exercice 11
4
2.
1
> x − 1 d'inconnue x ∈ R∗ .
x
1
√
ab ≤
a+b
.
2
3un − 2
.
un
Exercice 12
Soit (un )n∈N la suite dénie pour tout entier naturel n par : un =
R n+1
n
e−2x dx.
1. Calculer un en fonction de n.
2. Vérier que la suite (un )n∈N est géométrique.
3. Calculer la somme Sn = u0 + u1 + · · · + un en fonction de n.
Soit f la fonction : x ∈ R 7→ e−x ln(1 + ex ).
1. Donner son domaine de dénition Df .
2. On admet que f est dérivable sur Df . Montrer que pour tout réel x de Df :
Exercice 13
f (x) = 1 − f 0 (x) −
ex
1 + ex
3. En déduire une primitive de f sur Df .
4. Vérier que
Z
1
f (x)dx = 1 + 2 ln 2 −
0
e+1
e
ln(1 + e).
Soit f la fonction : x ∈ R 7→ ln(1 + ex ) − ln(1 + e−x ).
1. Déterminer son domaine de dénition Df .
2. Montrer que pour tout x dans Df on a f (x) = x
Exercice 14
POUR OBTENIR UN CORRIGE : ENVOYEZ UN MAIL A CETTE ADRESSE
BONNES VACANCES !
2
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