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Lycée Sainte Geneviève
BCPST 2
Chapitre 5 : Variables aléatoires
Exercice 1.
L'oral d'un concours comporte au total 100 sujets. Chaque candidat en tire 3 au hasard simultanément et
en traite un des 3. Un candidat se présente en ayant révisé seulement 60 sujets. Soit X le nombre de sujets
qu'il a révisés parmi les 3 tirés.
Quelle est la loi de X , son espérance, sa variance ?
Exercice 2.
Une puce se déplace sur l'axe des abscisses en partant de l'origine. A chaque seconde, elle saute d'une unité
vers la droite avec la probabilité p ou vers la gauche avec la probabilité 1 − p. Soit Yn le nombre de sauts
vers la droite eectués après n secondes et Xn la position de la puce après n secondes.
1. Exprimer la loi de Yn .
2. Donner une relation entre Xn et Yn . En déduire la loi de Xn et son espérance.
3. Pour quelle valeur de p la variable Xn est-elle centrée ?
Exercice 3.
On considère des polygones convexes dont le nombre de côtés est une variable aléatoire N ayant pour loi :
∀n ≥ 3, P (N = n) = 22−n
Quelle est l'espérance du nombre de côtés du polygone ? Quelle est l'espérance du nombre de diagonales du
polygone ?
Exercice 4.
1. Soit X une VA suivant une loi binomiale de paramètres n et p. Calculer E
1
.
X +1
2. Soit X une VA suivant une loi de Poisson de paramètres λ > 0.
1
≥ E(X + 1).
Montrer que E
X +1
Exercice 5.
1. Soit λ > 0. Calculer les deux sommes suivantes :
S1 =
+∞
+∞
X
X
λ2k
λ2k+1
S2 =
(2k)!
(2k + 1)!
k=0
k=0
2. Le nombre N de clients entrant dans un bar en une journée suit une loi de Poisson de paramètre λ.
Deux barmen parient sur la parité de N . Lequel des deux a la plus grande probabilité de gagner ?
3. Soient X une variable aléatoire suivant une loi de Poisson de paramètre λ et Y dénie par
Y =
X
1
2 (X
1
est paire )
Exercice 6.
Soit X une variable aléatoire discrète sur un espace probabilisé (Ω, T , P ) telle que X(Ω) = N∗ et, pour tout
k ∈ N∗
a
P (X = k) =
k(k + 1)(k + 2)
1
1
−
, trouver la valeur du réel a.
2k 2(k + 1)
2. X admet-elle une espérance ? si oui la calculer. X admet-elle une variance ? si oui la calculer.
3. Soit Y = X + 1. Déterminer la loi de Y .
4. Soit Z = X 2 − 4X + 4. Déterminer la loi de Z .
1. En utilisant uk =
Exercice 7.
40% des individus d'une population possède un caractère génétique C . On teste un échantillon de 300
personnes prises dans cette population. Peut-on dire avec 90% de certitude que la fréquence d'apparition du
caractère C dans l'échantillon sera comprise entre 30% et 50% ?
Exercice 8.
Soit f la fonction dénie sur R+ par :
f (0) = 0 et si x > 0, f (x) = −x ln(x)
Soit (Ω, T , P ) un espace probabilisé et X une variable aléatoire sur Ω à valeurs dans un ensemble ni E . On
note N le cardinal de E .
X
On appelle entropie de X le réel : H(X) =
f (P (X = x)).
1. (a)
(b)
2. (a)
(b)
x∈E
Quel est le signe de H(X) ?
Calculer H(X) quand X est constante et quand X suit la loi uniforme sur E .
Montrer que, pour x ≥ 0, on a f (x) ≤ 1 − x. Quels sont les cas d'égalité ?
X
En déduire que
f (N P (X = x)) ≤ 0.
x∈E
(c) En déduire une majoration de H(X).
3. (a) Pour quelles variables aléatoires X l'entropie est minimale ? maximale ?
Exercice 9.
Soit r ∈ N∗ . Une urne contient des boules indiscernables au toucher blanches et noires. La proportion de
boules blanches étant p ∈]0, 1[ et celle des boules noires q = 1 − p. On eectue une innité de tirages d'une
boule avec remise. Les tirages sont numérotés dans N∗ . On dénit la variable aléatoire Xr comme étant égale
au nombre minimum de tirages nécessaires pour obtenir r boules blanches et égale à 0 si on obtient jamais
r boules blanches.
Puis on dénit la variable aléatoire Zr égale au nombre de boules noires tirées avant l'obtention des r boules
blanches et égale à −1 si on obtient jamais r boules blanches.
1. (a) Déterminer la loi de Xr . On dit qu'elle suit une loi de Pascal de paramètres (r, p) notée
Pa(r, p).
(b) En déduire que
+∞ X
k − 1 k−r
1
∀r ∈ N ,
q
= r
p
r−1
∗
k=r
(c) Montrer que Xr admet une espérance et la calculer.
(d) Montrer que Xr admet une variance et la calculer.
2. (a) Trouver une relation liant Xr et Zr . On dit que Zr suit une loi binomiale négative de paramètres (r, p) notée BN (r, p).
(b) En déduire la loi de Zr , puis montrer que Zr admet une espérance et une variance qu'on déterminera.
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Exercice 10.
Soit X une variable aléatoire à valeurs dans N. On pose, pour tout n ∈ N, pn = P (X = n).
On appelle fonction génératrice de X la fonction gX : t 7→
+∞
X
pn tn .
n=0
1. Montrer que l'ensemble de dénition de gX contient toujours [−1, 1] et que sur cet ensemble de dénition
on a gX (t) = E(tX ). Calculer gX (1). Si X est une variable nie, quel est l'ensemble de dénition de
gX ?
2. On veut démontrer que X possède une espérance si et seulement si gX est dérivable à gauche en 1. Et
que dans ce cas E(X) = g0X (1).
(a) Montrer que, pour tout t ∈ [0, 1[,
+∞
gX (t) − gX (1) X
=
(1 + t + . . . + tn−1 )pn
t−1
n=1
gX (t) − gX (1)
est croissante sur [0, 1[.
t−1
(b) On suppose que X possède une espérance. Montrer que, pour tout t ∈ [0, 1[,
En déduire que la fonction t 7→
gX (t) − gX (1)
≤ E(X)
t−1
En déduire que gX est dérivable à gauche en 1 et que g0X (1) ≤ E(X).
(c) Réciproquement, on suppose que gX est dérivable à gauche en 1.
Montrer que, pour tout n ∈
E(X) ≤ g0X (1).
N∗ ,
n
X
kpk ≤ g0X (1). En déduire que X possède une espérance et que
k=1
(d) Conclure.
3. Déterminer gX dans les cas suivants : X ,→ B(n, p) , X ,→ G(p) , X ,→ P(λ) , Pa(r, p) et BN (r, p).
Retrouver ainsi les espérances de ces variables.
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