Transcript Feuille III

EXERCICES PROBABILITES III
1.
Soit X une variable aléatoire définie sur
(Ω, A , P) de loi géométrique de paramètre
p ∈]0, 1[. Déterminer la loi puis l’espérance
de la variable Y défini par Y = 0 si X est
impair, et Y = X2 sinon.
(a) Pour i compris entre 1 et n, on note
Xi la variable aléatoire qui vaut 1 si
la boule obtenue au ième tirage porte
le numéro i et 0 dans le cas contraire.
Quelle est la loi de Xi ?
(b) En déduire l’espérance du nombre de
fois où il y a coïncidence entre le rang
du tirage et le numéro de la boule obtenue, lorsque l’on vide l’urne.
2. Le service de dépannage d’un grand
magasin dispose d’équipes intervenant
sur appel de la clientèle. Pour des causes
diverses les interventions ont lieu parfois
avec un retard. On admet que les appels
se produisent indépendamment les uns
des autres et que, pour chaque appel, la
probabilité d’un retard est 0,25.
(c) Pour k compris entre 1 et n, on dit
que le résultat du kème tirage est un
⟨⟨ record ⟩⟩ si la boule obtenue à ce
tirage porte un numéro strictement
supérieur à tous les numéros obtenus
jusqu’alors. (par convention, le résultat du premier tirage sera toujours
considéré comme un record).
(a) Un client appelle le service à 4 reprises. On désigne par X la variable
aléatoire qui est égale au nombre de
fois où ce client a du subir un retard.
i. Combien existe-t-il de façons de
vider l’urne et pour lesquelles il
n’y a qu’un seul record ? Pour lesquelles il y a n records ?
Montrer que pour p et q entiers
naturels, on a la relation suivante :
i. Déterminer la loi de probabilité de
X ? Calculer son espérance et sa
variance.
ii. Calculer la probabilité de l’évènement : “le client a subi au moins
un retard”.
(b)
Au cours des années 2002 et 2003
le service après-vente enregistre une
succession d’appels. Le rang du premier appel pour lequel l’intervention
s’effectue avec retard en 2002 (resp.
2003) définit une variable aléatoire Y
(resp. Z).
i. Déterminer les lois de Y et Z.
ii.
Calculer P(Y 6 k), pour tout
k ∈ N∗ .
iii. On pose T = max(Y, Z).
A. Calculer P(T 6 k), pour tout
k ∈ N∗ .
B. Déterminer la loi de T .
3. Une urne contient initialement n boules numérotées depuis 1 jusqu’à n, avec n > 2. On
vide l’urne en extrayant toutes les boules
une à une, au hasard et sans remise.
)
(
) (
)
( ) (
p+q
p+q+1
p+1
p
+
·
·
·
+
=
+
p
p
p
p+1
( )
n est le nombre de parties
(où m
à m éléments d’un ensemble à n
éléments).
(d) Soit k fixé entre 2 et n et j fixé entre
k et n. Combien existe-t-il de façons
de vider l’urne, pour lesquelles la kème
boule obtenue porte le numéro j et le
kème tirage constitue un record ?
(e) Combien existe-t-il de façons de vider l’urne pour lesquelles le kème tirage est un record ? En déduire la probabilité que le kème tirage soit un record. Pouvait-on avoir ce résultat directement ?
(f) Pour k compris entre 1 et n, soit Yk la
variable aléatoire qui prend la valeur
1 si le résultat du kème tirage est un record et 0 sinon. Déterminer la loi de Yk .
Soit R le nombre aléatoire de records
obtenus lorsque l’on vide l’urne. Déterminer l’espérance de R.
4. Une urne contient n boules numérotées de
1 à n et k boules bleues non numérotées.
Les boules sont tirées avec remise jusqu’à
ce qu’une boule bleue soit tirée. Au cours
de ces tirages, on définit le nombre R de
répétitions de la manière suivante :
au début, R = 0. Ensuite, on ajoute 1 à R dès
que l’on obtient une boule numérotée qui
avait été déjà tirée précédemment.
1. Déterminer les probabilités des événements suivants :
A1 = ⟨⟨ la première boule tirée est la boule
numéro 1 ⟩⟩.
A2 = ⟨⟨ la première boule tirée est une
boule portant un numéro strictement supérieur à 1 ⟩⟩.
A3 = ⟨⟨ la première boule tirée est une
boule bleue ⟩⟩.
2. On note A0 l’événement ⟨⟨ la boule numéro 1 n’est jamais tirée lors du jeu ⟩⟩. En
utilisant la formule des probabilités totales
avec les événements précédents, montrer
k .
que P(A0 ) = k +
1
3. On note X le nombre de fois où l’on a tiré
la boule 1 au cours du jeu. En utilisant un
raisonnement analogue à celui de la question précédente, montrer que E(X) = 1k .
4. On définit la variable aléatoire Y par :
{
Si X > 1, alors Y = X − 1
Si X = 0, alors Y = 0
(Y est donc le nombre de répétitions de la
boule numérotée 1.)
Montrer que E(Y ) = ∑ (m − 1)P(X = m)
m≥1
1 .
puis que E(Y ) =
k(k + 1)
Soit r un entier naturel. On recherche la valeur
minimale de k (en fonction de n et r) de manière
à ce que le nombre moyen t de répétitions soit
inférieur ou égal à r.
5. Soient X1 , . . . , Xn , . . . des variables aléatoires,
définies sur le m^
eme espace probabilisé,
indépendantes qui suivent toutes la loi de
Poisson de paramètre 1. Pour tout n ∈ N∗ ,
on note Sn = X1 + · · · + Xn . Soit M un nombre
réel tel que M > 0.
1. Donner la loi de Sn , son espérance et sa
variance.
2. a) Pour tout n ∈ N∗ et tout k ∈ [[1, n]],
montrer que :
k (
)
( k2 )
.
∏ 1 − ni 6 exp − 2n
i=0
√
b) On note βn la partie entière de M n.
Montrer qu’il existe n1 ∈ N tel que :
n > n1 =⇒ n > βn + 1.
Dans toute la suite on se place dans le cas
où n > n1 .
(
)
3. Soit la variable aléatoire Yn = h Sn√− n ,
n
où la fonction réelle h est définie par :
{
-x si x ∈ [−M, 0]
0 sinon
a) Montrer que :
)
−n ( n+1
nn−βn
E(Yn ) = e√ nn! −
.
(n − βn − 1)!
n
b) Puis que :
1
1
β2
−n n+ 2
−n n+ 2 − n
n
E(Yn ) 6 e n!
6 E(Yn ) + e n
e 2n .
n!
4. En étudiant la série de terme général un =
ln(an+1 ) −ln(an ), montrer la convergence de
1
−n n+ 2
n
vers
la suite de terme général an = e n!
une limite K > 0.
5.
En
admettant
que
converge
vers
E(h(N))
n tend vers +∞, montrer
M2
M2
E(Yn )
quand
que :
1 −√e− 2 6 K 6 1 −√e− 2 + K e− M2 .
2π
2π
√
1
En déduire que : n! ∼ 2π nn+ 2 e−n .
2
n→∞
6. Soit ε1 , ε2 , . . . , εn , . . . une suite de variables
de Bernoulli indépendantes telles que :
5. Montrer que t = nE(Y ).
pour tout n ∈ N∗ , P(εn = +1) = P(εn = −1) = 1/2.
6. En déduire que√la valeur minimale re(
1. Calculer
l’espérance E (ε1 + ε2 + · · · +
)
cherchée est k0 = ⌊ nr + 14 − 12 ⌋.
εn )2 en fonction de n.
2. Soit a ∈ ]0, 1[ fixé.
a) Montrer l’inégalité
puis exprimer pn = P(X = n) en fonction des
xk .
3. Déterminer les lois de variables à valeurs
dans N∗ ayant un taux de panne constant
pour n > 0.
1
P(|ε1 + ε2 + · · · + εn | > an) 6 2 .
a n
b) Montrer que
P(|ε1 + ε2 + · · · + εn | > an)
n ( )
1
= n ∑ nℓ 1{|2ℓ−n|≥an}
2 ℓ=0
où 1{|2ℓ−n|≥an} = 1 si ℓ satisfait |2ℓ − n| > an
et 0 sinon.
c) Montrer que
1 n (n)
∑ 1{|2ℓ−n|>an} = 0.
n→+∞ 2n
ℓ=0 ℓ
lim
3. Soit N une variable aléatoire suivant la loi
de Poisson, de paramètre θ > 0, indépendante de la suite (εn )n≥1 . Calculer, en fonction de θ, l’espérance :
(( N+1 ) )
2
E
.
∑ εn
n=1
7 Dans cet exercice, toutes les variables aléatoires sont définies sur le m^
eme espace probabilisé (Ω, A , P).
Soit X une variable aléatoire à valeurs dans
N telle que P(X > n) > 0 pour tout n ∈ N.
On appelle taux de panne de X la
suite réelle (xn )n∈N des probabilités conditionnelles définies
(
)par :
∀ n ∈ N, xn = P(X≥n) X = n .
1
définit
n(n + 1)
bien une loi de probabilité sur N∗ .
4. Soit X une variable aléatoire à valeurs
dans N, de taux de panne (xn )n∈N , et (Uk )k∈N
une suite de variables aléatoires indépendantes de m^
eme loi uniforme sur [0, 1].
Soit Z définie par :
∀ ω ∈ Ω,
{
0 si{ ∀ k ∈ N,Uk (ω) > xk}
Z(ω) =
min k ∈ N / Uk (ω) 6 xk sinon
Montrer que Z est une variable aléatoire et
déterminer sa loi.
7. Soit N un entier naturel non nul. On dispose d’un sac contenant N jetons numérotés de 1 à N dans lequel on peut effectuer
une succession de tirages avec remise d’un
jeton en notant, à chaque fois, le numéro
obtenu. Pour tout entier naturel n non nul,
on note Tn le nombre (aléatoire) de numéros
distincts obtenus au cours des n premiers
tirages. Soit n un entier naturel non nul.
(a) i. Quelles sont les valeurs prises par
Tn ?
ii. Calculer P([Tn = 1]) et P([Tn = n]).
iii. Déterminer P([Tn = 2]).
(b) Soit (k, n) un couple d’entiers naturels
non nuls avec 1 6 k 6 N. Déterminer
une relation entre P([Tn+1 = k]), P([Tn =
k]) et P([Tn = k − 1]).
(c) Pour tout entier naturel n non nul, on
considère le polynôme
1. a) Vérifier que P(Y = n) =
b) Déterminer le taux de panne de la variable aléatoire Y .
N
Gn =:
∑ P([Tn = k])X k .
k=1
i. Prouver l’égalité :
1
2. Dans le cas général, montrer que :
∀ n ∈ N∗
n−1
P(X > n) =
∏ (1 − xk )
k=0
= (1 − x0 )(1 − x1 ) . . . (1 − xn−1 )
Gn+1 = (X − X 2 )G′n + XGn .
N
ii. Pour tout entier naturel n non nul,
en reliant l’espérance E(Tn ) à Gn ,
exprimer E(Tn+1 ) à l’aide de E(Tn ),
N et n, puis déterminer E(Tn ) en
fonction de N et n.
iii. Déterminer limN7→+∞
E(TN )
.
N
8. Une urne contient n1 > 1 boules blanches,
n2 > 1 boules noires et r > 0 boules rouges.
On noten = n1 + n2 . Le jeu consiste à effectuer une succession de tirages au hasard
une boule de l’urne, sans remise, jusqu’à ce
que la boule tirée soit :
• ou blanche, auquel cas la partie est gagnée,
• ou noire, et la partie est perdue.
La longueur de la partie est le nombre de
boules sorties de l’urne à la fin de la partie.
1.a Compléter l’algorithme suivant qu’il simule le tirage d’une boule
# -*- coding:Utf-8 -*from Tkinter import *
from random import *
def boule(n1,n2,r):
alea=randrange(n1+n2+r)+1
if alea<=n1:
\{ ....\}
return "rouge"
1.b Compléter par une seconde procédure
qui affiche lors de la simulation d’une partie les couleurs des boules tirées et qui en
prime calcule la longueur de la partie.
2. L’urne contenant au départ r boules
rouges, on note Gr la variable aléatoire
égale à 1 si le joueur gagne et à 0 sinon et
E(Gr ) l’espérance de Gr .
a) Déterminer E(Gr ) pour r = 0 puis r = 1.
b) Montrer que l’on a, pour tout entier naturel non nul r :
E(Gr ) =
n1
n+r
+
r
n+r
E(Gr−1 ).
En déduire la valeur de E(Gr ). 3. On note
Lr la variable aléatoire égale à la longueur
d’une partie lorsque l’urne contient r
boules rouges.
a) Quelles sont les valeurs possibles de Lr ?
b) Calculer E(L0 ) ; E(L1 ).
c) Déterminer une relation entre P(Lr−1 =
k − 1) et P(Lr = k), pour r > 1 et k > 2.
d) Établir une relation de récurrence entre :
E(Lr ) et E(Lr−1 ), pour r > 1.
e) En déduire l’expression de E(Lr ).