Transcript Feuille IV

EXERCICES PROBABILITES IV
1.
On dispose d’un dé équilibré à 6 faces et
d’une pièce truquée telle que la probabilité
d’apparition de pile soit égale à p, p ∈]0, 1[.
Soit N un entier naturel non nul fixé.
On effectue N lances du dé. Si n est le
nombre de 6 obtenus, on lance alors n fois
la pièce.
On défini les trois variables X,Y et Z de la
manière suivante :
– Z indique le nombre de 6 obtenus aux
lancers du dé,
– X indique le nombre de piles obtenus aux
lancers de la pièce,
– Y indique le nombre de faces obtenus aux
lancers de la pièce.
Ainsi X + Y = Z et, si Z prend la valeur 0
alors X et Y valent 0.
(a) Préciser la loi de Z, son espérance et sa
variance.
(b) Pour k ∈ N et n ∈ N, déterminer la probabilité conditionnelle p(X = k/Z = n).
(On distinguera les cas k 6 n et k > n.)
(c) Montrer que pour tout couple d’entier
naturels (k, n) :
– si 0 6 k 6 n 6 N alors
p(X = k et Z = n) =
( 5 )N−n ( 1 )n
Cnk .CNn .pk (1 − p)n−k
,
6
6
– si n > N ou k > n, alors
p(X = k et Z = n) = 0.
(d) Calculer la probabilité p(X = 0).
(e) Montrer que pour tout les entiers naturels k et n tels que 0 6 k 6 n 6 N :
n−k
Cnk .CNn = CNk .CN−k
En déduire la probabilité p (X = k)
(f) Montrer que la variable aléatoire X
suit une loi bin^
omiale de paramètres
(N, p/6)
Quelle est la loi de la variable aléatoire
Y?
(g) Calculer p (X = N et Y = N). X et Y
sont-elles indépendantes ?
Déterminer pour tout x ∈ X(Ω) et y ∈
Y (Ω), p(X = x et Y = y).(loi du couple)
2. Une urne contient des boules noires et
blanches, la proportion de boules noires
étant p, avec 0 < p < 1. On effectue une
suite de tirages d’une boule avec, à chaque
fois, remise de la boule obtenue avant le
tirage suivant.
(a) On note N le rang aléatoire où l’on obtient pour la première fois une boule
noire et B le rang aléatoire où l’on obtient pour la première fois une boule
blanche.
i. Donner les lois, espérances et variances des variables aléatoires N
et B.
ii. N et B sont-elles indépendantes ?
(b) On note X la longueur de la première
suite de boules de même couleur et Y
la longueur de la deuxième suite de
boules de même couleur. Ainsi, l’événement (X = 2;Y = 3) est réalisé si et
seulement si on a tiré (n; n; b; b; b; n; :::)
ou (b; b; n; n; n; b; :::) , où n désigne le tirage d’une boule noire et b celui d’une
boule blanche.
i. Quelle est la loi du couple (X;Y ) ?
ii. Déterminer la loi de X et son espérance E(X). Montrer que E(X) > 2.
iii. Déterminer la loi de Y , son espérance et sa variance.
iv. Calculer la probabilité de l’événement (X = Y ).
v. Montrer que X et Y sont indépendantes si et seulement si p = 0, 5.
vi. Déterminer la loi de X + Y . On
distinguera les cas p ̸= 0, 5 et p =
0, 5.
3. Un sac contient n billes numérotées de 1 à
n. On tire une bille au hasard, on note son
numéro et on la remet dans le sac.
On appelle X la variable aléatoire qui prend
pour valeur ce numéro. Lorsque ce numéro
est k, on tire sans remise k billes que l’on
distribue au hasard dans p boîtes B1 , . . . , B p .
On désigne par Yi la variable aléatoire égale
au nombre de billes reçues par la boîte Bi
(i ∈ [[1, p]]).
1. Déterminer la loi du couple (X,Yi ) pour
i ∈ [[1, p]].
2. En déduire, pour tout i ∈ [[1, p]], la loi de
Yi et calculer son espérance.
3. Déterminer l’espérance de la variable
aléatoire YXi .
4. Soit X1 , X2 , . . . , X p (p > 2) des variables aléatoires indépendantes définies sur un espace
probabilisé (Ω, A , P) telles que pour tout i ∈
[[1, p]] Xi suit la loi de Poisson de paramètre
λi > 0.
5 Soit n > 1 un entier naturel. Soit (Ω, A , P)
un espace probabilisé. Soient X et Y deux
variables aléatoires réelles définies sur
(Ω, A , P) telles que X(Ω) = [[1, n + 1]] et
Y (Ω) = [[1, n + 1]].
(a) Soit n ∈ N, déterminer la loi conditionnelle du vecteur X1 , X2 , . . . , X p−1 sachant (S p = n).
(b) Soit n ∈ N, exprimer l’espérance conditionnelle E(X1 |X1 + X2 = n) en fonction
de n et de λ1 , λ2 .
Pour tout (i, j) ∈ [[1, n + 1]]2 , on pose
ai, j = P((X = j) ∩ (Y = i)) et bi, j = P(X= j) (Y = i).
1. Dans cette première partie, on suppose
qu’il existe un réel λ tel que :
(
)(
)
n
n .
∀ (i, j) ∈ [[1, n + 1]]2 , ai, j = λ i −
1 j−1
a) Calculer la valeur de λ.
b) Déterminer les lois marginales de X et
de Y .
c) Montrer que les variables X et Y sont
indépendantes.
d) Soit Z = X − 1. Reconna^ıtre dans la loi
de Z une loi usuelle. En déduire l’espérance
et la variance de X.
2. On note B ∈ Mn+1 (R) la matrice dont le
coefficient de la ième ligne et jème colonne est
bi, j .
a) Calculer la dimension de l’image et
celle du noyau de B.
b) Calculer B p , pour tout entier p ∈ N∗ .
c) Déterminer l’ensemble des valeurs
propres de B. La matrice B est-elle diagonalisable ?
p
On pose pour tout p > 2 S p = ∑ Xi .
i=1
5. (a) Soit A la matrice carrée de taille n telle
que ai, j = min(i, j).
( )
i. Si L = li, j est une matrice( tri-)
angulaire inférieure et U = ui, j
est une matrice triangulaire supérieure exprimer le coefficient générique de LU en fonction de ceux
de L,U et A.
ii. En déduire l’existence d’une
matrice triangulaire supérieure T
telle que A =t T T .
iii. Montrer que A et T ont le même
rang.
iv. Montrer que A est diagonalisable
et que toutes ses valeurs propres
sont strictement positives.
v. Justifier l’inversibilité de A et calculer son inverse.
(b) Soit X1 , X2 , . . . , Xn (p > 2) des variables
aléatoires indépendantes définies sur
un espace probabilisé (Ω, A , P) telles
que pour tout i ∈ [[1, n]] Xi suit la loi
de Bernoulli de paramètre p ∈]0, 1[. On
3. On suppose à présent que :
{
α si |i + j − n − 2| = 1
2
∀ (i, j) ∈ [[1, n+1]] , ai, j =
.
0
sinon
a) Déterminer α.
b) Déterminer les lois marginales de X et
de Y . Les variables X et Y sont-elles indépendantes ?
c) On note B ∈ Mn+1 (R) la matrice dont le
coefficient de la ième ligne et jème colonne est
bi, j . Écrire B dans le cas particulier n = 4.
n
pose Sk = ∑ Xi .
i=1
On note ΣS la matrice de variance
covariance du vecteur aléatoire
(S1 , . . . , Sn ).
i. Montrer que les valeurs propres
de cette matrice sont toutes positives.
ii. Pour tout (i, j) ∈ [[1, n]]2 , déterminer Cov(Si , S j ).
iii. Déterminer ΣS en fonction de A.