Transcript Variables aléatoires à valeurs dans N

P.C.
Feuille d’exercices 15
2015
VARIABLES ALÉATOIRES À VALEURS DANS N
Exercice 1 ♥ Retrouver les formules donnant l’espérance et la variance à partir
d’une série génératrice
Retrouver l’expression de V (X) dans le cas où RX , rayon de convergence de GX , est strictement
supérieur à 1.
Exercice 2 ♥ Somme de deux variables aléatoires indépendantes suivant des lois
binomiales
1. Écrire la série génératrice d’une variable aléatoire X ,→ B(m, p).
2. Si Y ,→ B(n, p) et si X et Y sont indépendantes, déterminer la série génératrice de leur
somme et retrouver que X + Y ,→ B(m + n, p).
Exercice 3 Série génératrice d’une variable aléatoire dont on connaît la loi de
probabilité
Soit x un réel strictement positif et X une variable aléatoire discrète à valeurs dans N dont la
loi de probabilité est définie par :
∀ n ∈ N , P (X = n) =
1 x2n
.
ch x (2n)!
1. Calculer sa série génératrice GX à l’aide de fonctions usuelles.
2. En déduire son espérance et sa variance.
Exercice 4 Série génératrice d’une variable aléatoire
Soit X une variable aléatoire à valeurs dans N . On pose pn = P (X = n), rn = P (X > n) et
on note G la série génératrice de X. X
1. Quelle relation a-t-on entre la série
pn et la suite (rn )n∈N ?
X
2. On considère la série entière
rn tn . Montrer que son rayon de convergence est supérieur
ou égal à 1.
+∞
X
1 − G(t)
.
3. Pour |t| < 1, on pose : H(t) =
rn tn . Montrer que H(t) =
1
−
t
n=0
Exercice 5 ♥ Une situation conduisant à une loi géométrique
Une urne contient 3 boules blanches et 2 noires. on effectue, dans cette urne, des tirages successifs avec remise de chaque boule après tirage.
X est la variable aléatoire qui prend pour valeur le nombre de tirages nécessaires à l’obtention
de la première boule blanche. Calculer l’espérance et la variance de X.
Exercice 6 ♥ Un couple de variables aléatoires suivant la même loi géométrique
Soit X et Y deux variables aléatoires indépendantes suivant la même loi géométrique sur N ∗
de paramètre p ∈]0, 1[.
n désigne un entier strictement positif ; d’autre part, on pose Z = min(X, Y ) et q = 1 − p.
1. Calculer P (X ≥ n).
2. Calculer P (Z ≥ n), puis P (Z = n). En déduire quelle loi suit la variable aléatoire Z.
3. Les variables X et Z sont-elles indépendantes ?
1
Exercice 7 ♥ Un couple de variables aléatoires indépendantes suivant la même loi
géométrique
Soit X et Y deux variables aléatoires indépendantes suivant une même loi géométrique G (p).
on note Z = max(X, Y ). Déterminer la loi de Z et calculer son espérance.
Exercice 8 ♥ Loi de Poisson et formule du transfert
Soit X une variable aléatoire qui suit une loi de Poisson de paramètre λ > 0.
1
.
Calculer l’espérance de Y =
1+X
Exercice 9 ♥ Loi de Poisson et couple de variables aléatoires
On suppose que le nombre N d’enfants d’une famille suit une loi de Poisson de paramètre
λ > 0. À chaque naissance, on suppose que la probabilité que l’enfant soit une fille est p ∈]0, 1[
et celle que ce soit un garçon est q = 1 − p. On suppose aussi que les sexes des naissances
successives sont indépendants. On note X la variable aléatoire correspondant au nombre de
filles par famille et Y celle du nombre de garçons.
1. Déterminer la loi conjointe du couple (N, X).
2. Quelle est la loi de X, de Y ?
Exercice 10 ♥ Couple de variables aléatoires suivant des lois de Poisson et séries
génératrices
On considère deux variables aléatoires indépendantes suivant chacune une loi de Poisson de
paramètres respectifs λ et µ.
1. Montrer directement que Z = X + Y suit une loi de Poisson dont on précisera le paramètre.
2. Retrouver le résultat grâce aux séries génératrices.
Exercice 11 ♥ Inégalités de Markov et de Bienaymé-Tchebychev
Soit n un entier naturel supérieur ou égal 5 et X une variable aléatoire à valeurs dans N ∗
1
suivant la loi géométrique de paramètre .
4
Majorer P (X ≥ n) à l’aide de l’inégalité de Markov, puis à l’aide de l’inégalité de Bienaymé X
5
Tchebychev et, enfin, en appliquant l’inégalité de Markov à la variable aléatoire discrète
.
4
Commenter.
Exercice 12 Inégalités de Markov et de Bienaymé-Tchebychev (bis)
1
.
Soit n un entier naturel non nul et X une variable aléatoire suivant la loi géomètrique G
n
1
1. Montrer que P (X ≥ n2 ) ≤ .
n
1
1
2. Montrer que P (|X − n| ≥ n) ≤ 1 − . En déduire que P (X ≥ 2n) ≤ 1 − .
n
n
Exercice 13 ♥ Approximation d’une loi binomiale par une loi de Poisson
Soit une variable aléatoire X ,→ B(300, 0, 01). Est-il légitime de l’approcher par une loi de
Poisson ? Quel est alors le paramètre de cette loi ? Donner une approximation de P (X ≥ 3).
2