Transcript EXERCICES DE MATH-F302 Processus Stochastiques SEANCE 4

EXERCICES DE MATH-F302 Processus Stochastiques
Titulaire : Céline Azizieh
Assistant : Matthieu Simon
SEANCE 4 : PROCESSUS DE RENOUVELLEMENT
Exercice 1. Durée de vie d'un P.R. transitoire.
Soit {Sn | n ∈ N} un processus de renouvellement transitoire caractérisé par la fonction de
répartition F (avec F (∞) < 1). La durée de vie de ce processus est la variable aléatoire L
égale au moment du dernier renouvellement :
L = sup {Sn | Sn < ∞}.
Montrer que la loi de L est donnée par :
P (L ≤ x) = (1 − F (∞)) (1 − R(x))
(x ≥ 0).
Exercice 2. Survie d'un P.R. persistant.
Soit {Sn | n ∈ N} un processus de renouvellement persistant caractérisé par la fonction de
répartition F (avec F (∞) = 1). La survie de ce processus au moment t > 0 est la variable
aléatoire Zt dénie comme l'intervalle de temps entre le moment t et le moment du premier
renouvellement après t.
1. Montrer que la loi de Zt est donnée par :
Z
t
P (W > t − u + x) dR(u)
P (Zt > x) = P (W > t + x) +
0
2. On dénit maintenant la survie asymptotique du processus :
V (x) = lim P (Zt ≤ x)
t→∞
(x ≥ 0).
Montrer que :
1
V (x) =
E [W ]
Z
x
(1 − F (u)) du.
0
1
(x ≥ 0).