Transcript Feuille de TD 3 - Normalesup.org

École des Mines de Nancy
Denis Villemonais, [email protected]
Année 2013-2014
1A – Intégration et probabilités
TD3
Exercice 1. Calculer la loi et l’espérance de la somme de deux dés non
biaisés et indépendants à n faces, avec n ≥ 1 (nous n’avons pas encore vu la
notion d’indépendance, on considèrera simplement que chaque tirage (i, j) ∈
{1, . . . , n} × {1, . . . , n} est équiprobable).
Exercice 2. Soit X une variable aléatoire de loi de Poisson de paramètre
λ ∈ R∗+ . Posons
(
X/2 si X est pair,
Y =
(1 − X)/2 sinon.
Déterminer la loi de Y .
Exercice 3. Fixons p > 0 et considérons la fonction fp : R → R définie par
fp (x) =
Kp x
1[0,+∞[ (x) avec Kp > 0.
(1 + x)p+2
1. Calculer Kp pour que fp soit la densité d’une variable aléatoire.
Dans la suite, nous supposons que cette condition est vérifiée et considérons X une variable aléatoire de densité fp .
2. La variable aléatoire X est-elle intégrable ? Si oui, calculer son espérance.
3. Posons Y = X p ln(X). La variable Y est-elle intégrable ? Si oui, calculer
son espérance.
Exercice 4. Soient a ≥ 0 et µ : B(R) → [0, +∞] la mesure positive définie
par
1
a
1
µ(dx) = δ1 (dx) + δ2 (dx) + 1x≥1 2 λ1 (dx).
4
4
x
Remarque : l’application µ est bien une mesure positive, car la somme au
plus dénombrable de mesures positives est toujours une mesure positive.
1
1. Pour quelle(s) valeur(s) du réel positif a la mesure positive µ est-elle
une probabilité ?
2. Dans ce cas, on considère une variable aléatoire X de loi µ. Donner
explicitement puis tracer sa fonction de répartition.
Exercice 5. Soit (X, Y ) une variable aléatoire de loi U[0,1]2 (la loi uniforme
sur [0, 1]2 ). Calculer puis tracer la fonction de répartition de la variable aléatoire Z = min(X, Y ).
Exercice 6. Soit X une variable aléatoire de loi uniforme sur [0, 2π].
1. Donner explicitement puis tracer la fonction de répartition de X.
2. Même question pour la variable aléatoire Y = sin X.
Exercice 7. Fixons p ∈] − 1, +∞[. Soit X une variable aléatoire de densité
fX : R 7→ R+ définie, pour tout x ∈ R, par
fX (x) =
Kp |x|p
1[−1,1] (x), avec Kp > 0.
2
1. Déterminer Kp en utilisant le fait que fX est une densité de probabilité.
2. Donner la loi de Y = e1/X , après avoir justifié qu’il s’agit d’une variable
aléatoire définie presque sûrement.
Exercice 8. Soit X une variable aléatoire de loi exponentielle de paramètre
λ > 0.
1. Déterminer la loi de la variable Y = (X − 1)2 .
2. Déterminer la loi de Z = [X] où [x] désigne la partie entière de x.
3. Fixons a ∈ R et considérons V = min{X, a}.
(a) Calculer FV la fonction de répartition de V .
(b) Donner la loi de V .
2