Transcript MODELES FINANCIERS DE L'ASSURANCE Institut des Actuaires Français 28 mai 2003 Pierre DEVOLDER AXA Belgium UNIVERSITE CATHOLIQUEDE LOUVAIN.

MODELES FINANCIERS
DE L'ASSURANCE
Institut des Actuaires Français
28 mai 2003
Pierre DEVOLDER
AXA Belgium
UNIVERSITE CATHOLIQUE
1
DE LOUVAIN
BUT DE L'EXPOSE

MODELES ACTUARIELS CLASSIQUES DE
L'ASSURANCE
•
•

Calcul viager des primes en assurance-vie
Principes de tarification en assurance non-vie
MODELES D'ARBITRAGE DE LA FINANCE
MODERNE
• Méthodologie risque neutre
UN MARIAGE EST-IL POSSIBLE ?
UNE DESCENDANCE EST-ELLE ENVISAGEABLE ?
2
CADRE THEORIQUE COMMUN


ELEMENTS CONSTITUTIFS EN FINANCE ET
EN ASSURANCE :
 temps
 incertitude
PROBLEME ELEMENTAIRE :
PRIX EN t = 0 D'UN CASH FLOW FUTUR
PAYE EN t = T
MONDE DETERMINISTE : THINGS ARE
DESPERATELY SIMPLE !
0 
1
1  i
T
M
3
CADRE THEORIQUE COMMUN

QUID si : M est aléatoire
i est aléatoire
T est aléatoire

MODELISATION DE L'INCERTAIN PAR :


(2)
UN ENSEMBLE D'ETATS DU MONDE

UNE MESURE QUANTIFIANT LES CHANCES
DE REALISATION

LE CADRE EST-IL EXACTEMENT IDENTIQUE
EN ASSURANCE ET EN FINANCE ?
4
MODELES CLASSIQUES DE
L'ASSURANCE

TAUX D'ACTUALISATION CONSTANT (Assurance
Vie) OU IGNORE (Assurance Non Vie)

PHENOMENE ALEATOIRE :



OBEISSANT A UNE LOGIQUE DE LOI DES GRANDS
NOMBRES
NON CORRELE AVEC LES MARCHES FINANCIERS
2 EXEMPLES SIMPLES :


ASSURANCE TEMPORAIRE DECES 1 AN
CONTRAT DE REASSURANCE EXCESS OF LOSS
5
ASSURANCE VIE


EN CAS DE DECES EN t = 1 : 1 (1)
EN CAS DE SURVIE en t = 1 : 0 (2)

= PRIME EN t = 0
1 (1)
=?
t=0
i = déterministe
T = déterministe
M = aléatoire
0 (2)
1
1
E M
P 
 qx 
1 i
1 i
lx  lx  1
qx 
lx
t=1

PRINCIPE D'ESPERANCE MATHEMATIQUE

CHARGEMENT DE SECURITE :
lx   lx '
6
REASSURANCE EXCESS OF LOSS (1)
X = MONTANT DE SINISTRE AVANT REASSURANCE
= VARIABLE ALEATOIRE DE FONCTION DE
REPARTITION FIXEE F
CONTRAT XL :
PAIEMENT PAR LE REASSUREUR DE LA PARTIE
DU SINISTRE EXCEDANT UN MONTANT FIXE K :
Y = ( X – K) +
PRIME DE REASSURANCE :
y  ?
7
REASSURANCE EXCESS OF LOSS (2)
PRIME PURE :

P  EY  E X  K 

   x  K dF x

K
CHARGEMENT DE SECURITE :
 y  EY 1   
 y  EY    var Y

1
cY
y 
log E e
c

8
MODELES CLASSIQUES DE
L'ASSURANCE - CONCLUSION
ALEA
RISQUE
COMPENSATION
PAR LA LOI DES
GRANDS NOMBRES
1 . ESPERANCE MATHEMATIQUE PAR RAPPORT
A LA MESURE DE PROBABILITE REELLE
2. HEDGING IMPARFAIT
3. CHARGEMENT DE SECURITE ET PRICING VARIABLE
FONCTION DE L'AVERSION AU RISQUE
9
MODELES D'ARBITRAGE DE LA
FINANCE

INCERTITUDE LIEE A L'EVOLUTION D'ACTIFS
FINANCIERS (Taux d'intérêt / Cours d'action)
Loi des grands nombres ?

SUR CES SOUS-JACENTS ALEATOIRES,
DEVELOPPEMENT DE PRODUITS A TARIFER

2 EXEMPLES :


OPTION SUR ACTION
OPTION SUR ZERO COUPON
10
OPTION DE VENTE SUR ACTIONS (1)
PRODUIT A TARIFER
SOUS-JACENT
q
d.S
(d < 1) (1)
1
(1)
0
(2)
S
 =?
t=0
u.S
t =1
(u > 1) (2)
t=0
t=1
i = déterministe
T = déterministe
M = aléatoire
11
OPTION DE VENTE SUR ACTIONS (2)
TARIFICATION

PRINCIPE ACTUARIEL : ?
P 
1
1
E M 
q
1 i
1 i
+ chargement de sécurité …

THEORIE FINANCIERE DE L'ARBITRAGE


LA PROBABILITE RELLE q N'INTERVIENT PAS
DANS LE PRIX
LE PRIX EST UNIQUE POUR TOUS LES
OPERATEURS
12
OPTION DE VENTE SUR ACTIONS (3)
TARIFICATION EN MESURE RISQUE NEUTRE
PRINCIPE DE DUPLICATION :

DUPLICATION DES CASH FLOWS DU PRODUIT
A TARIFER PAR UNE COMBINAISON LINEAIRE
D'ACTIFS CONNUS
(actif sans risque i + actif risqué S)
t=1
x 0  1  i  x A  S 1  M
(et non pas :
t=0
  
x 0  1  i  x A  ES 1  E M )
  x 0  x A S 0
13
OPTION DE VENTE SUR ACTIONS (4)
RESOLUTION
1 : x 0 1  i  x A  d S  1
 2 : x 0 (1  i)  x A u S  0
u
1

x

 0
1  i u  d


 

1
1
x A  

S ud

PRIX INITIAL :
  x0  x A  S 
1 u  1  i
1  i u  d
14
OPTION DE VENTE SUR ACTIONS (5)

1
u  1  i
1


p
1  i u  d 1  i
- LE NOMBRE
p
u  1  i
ud
EST APPELE
PROBABILITE RISQUE NEUTRE
a) Condition pour être un candidat probabilité :
0p 1
0 
u  1  i
 1
u  d

d  1 i  u
Condition d'équilibre naturel de marché
15
OPTION DE VENTE SUR ACTIONS (6)
b) Interprétation financière de cette probabilité :
Dans un nombre virtuel où la vraie probabilité q
serait remplacée par le nombre p, le rendement
moyen de l'actif risqué correspondrait au taux
sans risque i :
p . d + (1 – p) . u = 1 + i
c) Lien entre la probabilité réelle q et le nombre p :
?p><q?
Equilibre économique naturel rendement / risque
E (rendement actif risqué) > taux sans risque
16
OPTION DE VENTE SUR ACTIONS (7)
q . d + (1 – q) . u > 1 + i
Or
1 + i = p . d + (1 – p) . u
Donc q . d + (1 – q) . u > p . d + (1 – p) . u
⇓
p>q
d) Chargement de sécurité :
1
1

. p  p 
.q
1 i
1 i
17
MODELE D'ARBITRAGE DE LA
FINANCE - CONCLUSION
ALEA
RISQUE
PRINCIPE DE
DUPLICATION
1. ESPERANCE MATHEMATIQUE PAR RAPPORT A
UNE MESURE DE PROBABILITE MODIFIEE
2. HEDGING PARFAIT
3. PRIX UNIQUE DE MARCHE
18
OPTION SUR ZERO COUPONS
Modèles déterministes
i = déterministe
M = déterministe
i = aléatoire
M = déterministe
Tarification des
zéros-coupons
i = déterministe
M = aléatoire
i = aléatoire
M = aléatoire
Tarification des options
sur zéro-coupons
19
TARIFICATION DES ZERO-COUPONS


DETERMINISTE :  
1
1  i
T
 M
STOCHASTIQUE : incertitude sur M = 1
le taux i
(zéro coupon)
r t, ; t  0, T;   
= taux spot futur à l'instant t
P (t, s) = Prix à l'instant t d'un zéro coupon
d'échéance s
20
TARIFICATION DES ZERO-COUPONS (2)

1ère IDEE : P t , s  exp   ts r u,  du
Non mesurable en t

2e IDEE
: P t , s  E  exp   ts r u,  du
 MODELE D'ARBITRAGE :


P t , s  E Q exp   ts r u,  du
où Q est une mesure de probabilité modifiée
(mesure neutre risque)
21
MODELE GENERAL

1
1  i
T
M
risque financier
Monde stochastique :
incertitude sur
les taux
cash flow
futur aléatoire
risque d'assurance
corrélation entre
les 2 aléas ?
22
OPTION SUR ZERO COUPONS (1)
M = Risque financier avec corrélation avec la
structure de taux
OPTION SUR ZERO COUPON :
DROIT D'ACHETER A UN INSTANT f ANTERIEUR A
LA MATURITE s, LE ZERO COUPON A UN PRIX
FIXE D'AVANCE A L'INSTANT t (t < f < s)
MODELE D'ARBITRAGE :


  EQ exp  tfr u, du  M  t


avec M    P f , s  K 
Q = mesure risque neutre
23
OPTION SUR ZERO COUPONS (2)
Calcul explicite :


exp  r u, du   E
  EQ exp tfr u, du  M  t
 EQ
f
t

 
Q M
 P t, f   EQ M
actualisation espérance risque
neutre du cash flow
24
OPTION SUR ZERO COUPONS (3)
Mesure Forward neutre :
Nouveau changement de mesure de probabilité
P
Q
monde
réel
monde risque
neutre
Qf
monde forward
neutre
  P t , f   EQ f
M
25
ASSURANCE ET FINANCE


(1)

  EQ exp tfr u, du  M 
avec M = flux lié à des risques financiers et
d'assurance
TITRISATION
DE RISQUES D'ASSURANCE
INTEGRATION, A COTE DES RISQUES CLASSIQUES
DE MARCHE, DES RISQUES TECHNIQUES
D'ASSURANCE, DANS DES PRODUITS FINANCIERS
26
ASSURANCE ET FINANCE (2)
Exemple type : CAT BOND
OBLIGATION DONT LES COUPONS ET / OU LE
PRINCIPAL SONT MODIFIES EN CAS DE
SURVENANCE D'EVENEMENTS ALEATOIRES
RELEVANT DE LA SPHERE DE L'ASSURANCE
GENERALEMENT DU DOMAINE DES
CATASTROPHES (Tremblement de terre /
Inondation /…..)
(cf. Loi des Grands Nombres ???)
27
CAT BONDS Exemples
MODELE SUR UNE PERIODE :
108
si pas de catastrophe
100
0
si catastrophe
MODELE SUR 2 PERIODES :
108
8
100
108
100
0
100
28
CAT BONDS
MECANISMES D'ATOMISATION
DU RISQUE
Réassurance
Classique
Réassureur
Assureur
Cat Bond
Marché
financier
29
CAT BONDS
POINT DE VUE DE L'EMETTEUR

ALTERNATIVE AUX SCHEMAS TRADITIONNELS
DE REASSURANCE

APPEL AU MARCHE DES CAPITAUX POUR
MIEUX DILUER LE RISQUE

augmentation ces dernières années des
risques de nature cat



modifications climatiques
concentration de population dans des zones à risque
concentration dans le monde de la
réassurance / capital limité
30
CAT BONDS
POINT DE VUE DE L'ACHETEUR


INTERET D'UN INVESTISSEUR POUR ACHETER
CE TYPE DE PRODUIT ?
2 ELEMENTS :
1. Hedging naturel dans des secteurs influencés
favorablement par l'occurrence de
catastrophes
2. Elément de diversification : risques non
corrélés avec les risques traditionnels des
marchés financiers
31
CAT BONDS
Diversification / MODÈLE DE MARKOWITZ
PROBLEME DE LA THEORIE DU PORTEFEUILLE
 maximiser l'espérance de rendement
 tout en minimisant sa variance
(équilibre rendement / risque)

M titres risqués de rendement aléatoire (R1,R2,..,RN)
E(Ri) = i
COV (Ri, Rj) = ij
+ 1 titre non risqué de rendement certain RO
E(R0) = r0
COV (R0, Rj) = 0
( j  0, ..., N )
32
MODELE DE MARKOWITZ (2)

PORTEFEUILLE : X = (x0, x1…,xN)
xi = part investie dans l'actif i
N
 xi  1
i0

CRITÈRE D'OPTIMISATION :
 rendement moyen du portefeuille :
N
ERX    x i  i
i0

variance du portefeuille :
 2  R X     x i x j ij
i
j
33
MODELE DE MARKOWITZ (3)

PORTEFEUILLE EFFICIENT X*:
Il n'existe pas un autre portefeuille X tel que


et
var
R
X

var
R
X
ER X  ER X
 

 
 

PROBLEME D'OPTIMISATION : minimisation du
risque sous contrainte :
min  2  R X   min   x i x j i j
x
x
sous contraintes :
i j
E  R x    x i  i  r fixé
i
 xi  1
i
34
MODELE DE MARKOWITZ (4)

FRONTIERE EFFICIENTE :
sans actif
non risqué
avec introduction de
l'actif non risqué
droite de
marché
efficiente
rendement
r0
écart type
35
MODELE DE MARKOWITZ (5)

INTRODUCTION D'UN ACTIF COMPLEMENTAIRE
DE RENDEMENT R N+ 1 ALEATOIRE
 risque élevé
 rendement moyen élevé
 non corrélation avec les N titres risqués


2
COV R i , R N  1  i N  1  N
1

déplacement vers le haut de la frontière
efficiente
36
MODELE DE MARKOWITZ (6)

meilleur rendement moyen à risque fixé
rendement
. CAT
r0
risque
sans actif
CAT
avec actif
CAT
37
TARIFICATION DES CAT BONDS (1)
t


  E Q  exp   r s,  ds . M 
0


Application aux cat-bonds
c(k) = coupon / principal
= cash flow aléatoire payé en k, contingent
à un risque d'assurance (k = 1, …., T)
k



   E Q   exp   r s,  ds   c k 
k 1
 

0

T
38
TARIFICATION DES CAT BONDS (2)
EXEMPLE DE FORMULE CONTINGENTE
• Dès qu'une catastrophe se produit durant la vie
de l'obligation, les coupons et le principal sont
réduits d'un facteur 1 – f (0 < f < 1) et il n'y a
plus paiement après.
c k   c    k  f  c    k
k  1, 2, T  1
c  1    k  f . c  1    k k  T
 = instant d'arrivée de la catastrophe
= threshold time
= premier instant d'un processus ponctuel
de Poisson
39
TARIFICATION DES CAT BONDS (3)
HYPOTHÈSE DE NON CORRÉLATION
• Indépendance entre le processus des taux spot
{ r } et le processus ponctuel de Poisson
k


   E Q  exp   r s, ds  E Q c k 
k 1
0


T
T 1
  P 0, k  c . Q    k  c  f  Q   k
k 1
 P 0, T  c  1  Q   k f c  1 Q   k
où Q = probabilité de survenance de la CAT
sous la mesure neutre risque
40
TARIFICATION DES CAT BONDS (4)
• COTATION AU PAIR
 expression du coupon
du CAT Bond
 = 1
c
si
1  P 0, T  Q   T  f  P 0, T  Q   T
T
T
k 1
k 1
 P 0, k   Q   k  f   P 0, k   Q   k
f=0
c
:
1  P (0, T )  Q   T
T
 P 0, k   Q   k
k 1
 c0 
1  P 0, T 
T
 P 0, k 
k 1
41
TARIFICATION DES CATS BONDS (5)

Q = MESURE RISQUE NEUTRE
= ? APPLICATION DES RAISONNEMENTS
D'ARBITRAGE AU RISQUE CONTINGENT ?
MODÈLE INCOMPLET : L'ENSEMBLE DES
CASHFLOWS POSSIBLES NE PEUT ETRE
DUPLIQUE A L'AIDE D'ACTIFS DE BASE.



NON UNICITE DE LA MESURE RISQUE NEUTRE
NON UNICITE DU PRIX
BORNES SUR LE PRIX EN VUE D'EVITER LES
OPPORTUNITES D'ARBITRAGE
42
TARIFICATION DES CAT BONDS (6)


PRIX PUR (cf Prime pure en assurance) :
PRENDRE POUR Q = PROBABILITÉ RÉELLE DE
SURVENANCE DE CAT
CHARGEMENT POSSIBLE …. VU LA NON
UNICITE THEORIQUE DU PRIX D'ARBITRAGE

ESTIMER LE PRIX A L'AIDE D'UNE
PROBABILITE DE SURVENANCE
SUPERIEURE A LA PROBABILITE REELLE
(Processus de Poisson :  >  réel)
43