Transcript DS 12

Devoir surveillé no 12
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C ONCOURS BLANC
vendredi 13 juin 2014
durée : 4 heures
L’usage d’une calculatrice est interdit.
Les pages doivent être numérotées, les résultats encadrés à la règle.
La qualité de la rédaction et de la présentation, ainsi que la clarté des raisonnements, seront pris en compte
dans l’évaluation de la copie.
Problème 1
√
Calcul approché de a par la méthode de Newton
Soit un réel a strictement positif. On considère la fonction ϕ définie sur R par :
ϕ(x) = x2 − a,
pour tout x ∈ R.
1. Résoudre dans R l’équation ϕ(x) = 0.
2. On note Γ la représentation graphique de la fonction ϕ dans un repère du plan. On considère un réel t > 0. Montrer
que la tangente à Γ au point d’abscisse t coupe l’axe des abscisses en un point, et déterminer l’abscisse t′ de ce
point.
ϕ(x)
3. Déterminer le domaine de définition D de la fonction f définie par f (x) = x − ′
et montrer que, pour
ϕ (x)
tout x ∈ D :
1
a
f (x) =
x+
.
2
x
4. a. Étudier les variations de f sur R∗+ .
b. Étudier le signe de f (x) − x pour x strictement positif.
c. On note C la représentation graphique de la restriction de f à R∗+ . Étudier la branche infinie de C pour des
abscisses tendant vers +∞.
On considère la suite réelle (un )n∈N définie par :
u0 > 0 et un+1 = f (un ), pour tout n ∈ N.
5. Dans cette question, on considère le cas particulier a = 4 et u0 = 1. Représenter graphiquement les trois premiers
termes de la suite (un )n∈N .
√
6. On revient au cas général. Montrer que la suite (un )n∈N est bien définie et que un ≥ a pour tout n ≥ 1.
7. Montrer que la suite (un )n∈N∗ est décroissante.
8. En déduire que la suite (un )n∈N est convergente et déterminer sa limite.
9. Montrer que, pour tout n ∈ N :
√
√
(un − a)2
un+1 − a =
.
2 un
√
√
10. En déduire qu’il existe une constante c, à déterminer, telle que un+1 − a ∼ c(un − a)2 pour n tendant
vers +∞.
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Problème 2
Marches aléatoires
On appelle « graphe » tout dessin du type de l’un des deux exemples G1 ci-dessous et G2 en page 3. Les « sommets » du
graphe sont les cercles numérotés (de 1 à 3 dans le premier exemple, par des entiers relatifs dans le second). Les flèches
du graphe sont les flèches reliant deux sommets. On remarquera les points suivants :
⊲ entre deux sommets distincts i et j, on peut avoir une flèche de i vers j et une de j vers i ;
⊲ certains sommets ne sont pas reliés par une flèche (par exemple 0 et 2 dans le graphe G2 ) ;
⊲ une flèche peut relier un sommet à lui-même (c’est le cas du sommet 3 de G1 ) ;
⊲ pour tout couple (i, j) de sommets, la flèche allant de i à j est étiquetée par un réel si,j ∈ [0; 1], représentant une
probabilité de saut (par exemple s3,1 = 14 et s3,3 = 12 dans le graphe G1 ) ;
⊲ pour tout sommet i, la somme des probabilités étiquetant les flèches partant de i est égale à 1.
2
1/2
1
1/2
1/2 1/4
1/2
3
1/2
1/4
Graphe G1
Une particule est placée à l’instant n = 0 sur le sommet i d’un graphe G. Elle saute aléatoirement à l’instant n = 1
sur un autre sommet de G en suivant une des flèches partant de i, la probabilité qu’elle suive la flèche de i vers j étant
égale à si,j . On poursuit ainsi le processus, la particule sautant à chaque instant suivant, n = 2, 3, 4 . . . du sommet du
graphe où elle se trouve vers un nouveau sommet (éventuellement le même) en suivant aléatoirement l’une des flèches
selon les probabilités indiquées. Ce processus définit ainsi une suite A = (Xn )n∈N de variables aléatoires réelles telle
que, pour tout n ∈ N, on a Xn = k si la particule se trouve sur le sommet k du graphe après le n-ième saut. A est
appelée marche aléatoire sur le graphe G.
Les parties A et B sont indépendantes.
A. Marche aléatoire sur un graphe fini
Dans cette partie, on considère la marche aléatoire sur le graphe G1 partant du sommet 1, de sorte que X0 = 1. La
marche aléatoire A = (Xn )n∈N est une suite devariables aléatoires
 à valeurs dans {1; 2; 3}.
P(Xn = 1)
1. Pour n ∈ N, on note Yn la matrice colonne  P(Xn = 2) .
P(Xn = 3)
En appliquant la formule des probabilités totales au système complet d’événements associé à la variable aléatoire Xn , montrer que, pour tout n ∈ N, Yn+1 et Yn sont reliés par la relation Yn+1 = AYn , où


0 2 1
1
A =  2 0 1 .
4
2 2 2
2. En déduire que, pour tout n ∈ N, Yn = An Y0 .
3. Donner, pour n ≥ 1, P(Xn = 3). Justifier la réponse.
4. a. Calculer A2 puis A2 (2A − I), où I est la matrice identité d’ordre 3. En déduire la relation A3 = 12 A2 + 12 A.
b. En déduire l’existence de deux suites réelles (un )n∈N∗ et (vn )n∈N∗ telles que, pour tout entier naturel n non
nul, An = un A2 + vn A. Exprimer, pour tout entier naturel n non nul, un+1 et vn+1 en fonction de un et de vn ,
c. Exprimer, pour tout entier naturel n non nul, un+2 en fonction de un+1 et de un .
d. Calculer, pour tout entier naturel n non nul, un et vn .
5. Déterminer, pour tout entier n ≥ 1, la loi de Xn .
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B. Marche aléatoire sur Z
On considère dans cette partie une marche aléatoire sur Z.
1/2
...
1/2
-1
1/2
1/2
1/2
1
0
1/2
1/2
1/2
...
2
1/2
1/2
Graphe G2
La particule part du sommet 0 à l’instant n = 0. À l’instant 1, elle peut sauter en 1 ou en −1 avec la même probabilité 12 . De même, à chaque instant, si elle se trouve sur le sommet i ∈ Z, elle saute à l’instant suivant soit sur i + 1 soit
sur i − 1 avec la même probabilité 21 (on dira respectivement qu’elle saute vers la droite ou vers la gauche). Avec les
notations de l’introduction, on obtient ainsi une suite A = (Xn )n∈N de variables aléatoires à valeurs dans Z.
I. Pour tout n ∈ N∗ , on note Un = Xn − Xn−1 la variable aléatoire égale au n-ième saut : Un prend la valeur 1 pour
un saut vers la droite, et la valeur −1 pour un saut vers la gauche. Les variables aléatoires (Un )n∈N sont supposées
mutuellement indépendantes.
n
X
1. Justifier que, pour tout entier n ≥ 1, Xn =
Uk .
2. Calculer l’espérance de Xn .
k=1
II. On s’intéresse maintenant à la probabilité que la marche aléatoire passe par 0.
1. Comparer, pour n ∈ N, la parité de n et celle de lavaleur
de Xn . Que vaut P(X2k+1 = 0) pour k ∈ N ?
1 2k
2. Pour k ∈ N, montrer que qk = P(X2k = 0) = k
.
k
4
3. Pour deux entiers k ∈ N et l ∈ [[−k; k]], déterminer plus généralement P(X2k = 2l).
III. On note T la variable aléatoire définie par :
T = min{p ∈ N∗ | Xp = 0} si l’ensemble {p ∈ N∗ | Xp = 0} n’est pas vide,
T =0
sinon.
La variable T s’interprète comme le « temps de premier retour en 0 » de la marche aléatoire (Xn )n∈N . Le but des
questions qui suivent est d’établir la loi de T . Pour tout entier naturel k ≥ 1, on considère les probabilités
∗ qk = P(X2k = 0) (cette valeur a été calculée à la question B.II.2) ;
∗ rk = P(T = 2k) ;
et on convient que q0 = 1.
On admet l’égalité suivante, valable pour tout entier naturel n :
n X
2n − 2k
2k
= 4n (♦).
n−k
k
k=0
1. Montrer que r1 = 12 .
2. À l’aide d’une décomposition de l’événement (X2n = 0) montrer que, pour tout n ∈ N∗ :
qn =
n
X
qn−k rk .
k=1
3. En déduire la valeur de r2 .
4. Soit n ≥ 3 un entier fixé. On suppose que, pour tout k ∈ [[1, n − 1]], rk = qk−1 − qk .
a. Établir qu’alors :
n−2
n−1
X
X
qn−k−1 qk .
qn−k qk −
rn =
k=0
b. À l’aide de la relation (♦), montrer que rn = qn−1 − qn .
5. Conclure.
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k=0
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Problème 3
Sous-espaces stables par un endomorphisme de R3
On note id l’application identité du R-espace vectoriel E = R3 .
On dit qu’un sous-espace vectoriel F de E est stable par f si, pour tout vecteur x de F , f (x) est un vecteur de F .
On considère l’endomorphisme f de E canoniquement associé à la matrice


3 1 2
A =  1 1 0 ,
−1 1 2
ainsi que l’endomorphisme g de E canoniquement associé à la matrice tA.
A.
1.
2.
3.
4.
5.
Calculs préliminaires
Comment f et g sont-ils définis ?
Montrer que le seul réel λ tel que rg (f − λ id) < 3 est λ = 2.
Déterminer le noyau de f − 2 id.
Montrer que, pour tout réel λ 6= 2, Ker (f − λ id) = {0E }.
a. Montrer que, pour tout réel λ, on a rg (g − λ id) = rg (f − λ id).
b. Déterminer le noyau de g − λ id en fonction du réel λ.
B. Généralités sur les sous-espaces vectoriels stables
1. Montrer que {0E } et R3 sont des sous-espaces vectoriels stables par f .
2. Soit F un sous-espace vectoriel de R3 différent de {0E } et de R3 . On suppose que F a pour base (u1 , . . . , up ).
Montrer que F est stable par f si et seulement si, pour tout k ∈ [[1, p]], f (uk ) ∈ F .
C. Exemples de sous-espaces stables non triviaux
1. Soit D1 = Vect(e1 ), où e1 = (1, 1, −1). Montrer que D1 est stable par f .
2. Soit P1 = {(x, y, z) ∈ R3 | y + z = 0}.
a. Montrer que P1 est un plan vectoriel et en donner une base.
b. Montrer que P1 est stable par f .
D. Détermination des droites vectorielles stables par f
1. Soit D une droite vectorielle de base (u), où u est un vecteur de E \ {0E }. Montrer que D est stable par f si et
seulement s’il existe un réel λ tel que u ∈ Ker(f − λ id).
2. En déduire quelles sont les droites stables par f .
E. Détermination des plans vectoriels stables par f
Soit P un plan vectoriel de E. On admet que P est défini par une équation a x + b y + c z = 0, où (a, b, c) 6= 0E , cette
équation étant unique à un coefficient λ ∈ R∗ près.
1. Soit φ l’application linéaire de E dans R canoniquement associée à la matrice N = (a b c) de M1,3 (R).
Montrer que P = Ker (φ).
2. Montrer que P est stable par f si et seulement si P ⊂ Ker (φ ◦ f ).
3. Soit G un sous-espace de E. En raisonnant sur les dimensions, montrer l’équivalence :
P ⊂ G ⇐⇒ G = P ou G = E.
4. Montrer que P est stable par f si et seulement s’il existe λ ∈ R tel que N A = λ N .
5. Montrer que P est stable par f si et seulement si (a, b, c) ∈ Ker (g − 2 id).
6. En déduire que le seul plan stable par f est le plan P1 défini à la question C.2.
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