Transcript Phénomènes stochastiques

Enseignement de spécialité en Terminale S à compter
de la rentrée 2012
Académie de Créteil
Extraits du nouveau programme :
Introduction de « Matrices et suites »
 « Il s’agit d’étudier des exemples de
processus discrets, déterministes ou
stochastiques, à l’aide de suites ou de
matrices. On introduit le calcul matriciel
sur des matrices d'ordre 2. Les calculs sur
des matrices d'ordre 3 ou plus sont
essentiellement effectués à l'aide d'une
calculatrice ou d'un logiciel ».
Perspective de la présentation
 Une entrée spécifique par la résolution de
problèmes : les matrices comme outil, une
liste d’exemples phares.
 Phénomènes stochastiques : des ressorts
communs et des variantes.
 Phénomènes discrets : l’outil matriciel dans
des situations diverses.
Phénomènes se ramenant à des
Marches aléatoires sur un graphe probabiliste
Un exemple contextualisé
 Une petite station de ski dispose de 3 remontées
mécaniques (1), (2) et (3).
 Pour un skieur adoptant un comportement aléatoire,
on note Xn la variable aléatoire donnant le numéro de
la remontée utilisée après n descentes.
 On note Ln la matrice ligne représentant la loi de Xn :
Ln = (P(Xn = 0), P(Xn = 1), P(Xn = 2), P(Xn = 3))
 Ln est appelé l’état probabiliste à l’instant n.
Données numériques
 On suppose que la station est configurée de telle sorte
qu’arrivé au sommet de la remontée (1), le skieur se
rende ensuite au départ de la remontée (2) avec une
probabilité 𝑝12 = P(X = 1) (Xn+1 = 2) = 0,3
n
 Plus généralement, on donne 𝑝𝑖𝑗 = P(X = i) (Xn+1 = j)
n
Arbre de probabilités conditionnelles
Graphe probabiliste
 La transition de n à n+1 (indépendante de n) peut se
visualiser sur un graphe probabiliste.
 La somme des poids des arrêtes orientées issues de
chaque sommet est égale à 1.
Matrice de transition
 A partir de l’arbre :
- On note x1, x2, x3 les probabilités respectives que le
skieur vienne d’emprunter respectivement la remontée
(1), (2), (3) à la descente n.
- On note y1, y2 et y3 les probabilités pour qu’il
enchaîne sur la remontée (1) , (2), (3) à la descente
n+1.
- On a alors : y1 = 0.3 x1 + 0.4 x2 + 0.5 x3
- Et les deux autres relations analogues.
Matrice de transition
 Ces relations se traduisent matriciellement par :
Ln+1 = Ln . T
où T est la matrice : T =
lisible directement sur le tableau :
Etat probabiliste après n descentes
 Il est alors facile de montrer par récurrence que :
Ln = L0 . Tn
Calculs de Tn sur logiciel
 Sur tableur : Ski T puissance n.xlsx
 Avec Xcas, en mode calcul approché, on observe une
stabilisation à partir de n=15 sur la matrice :
Convergence de Tn
 Une condition suffisante pour que Tn
converge : On peut démontrer que dans le
cas des matrices stochastiques,
si T (ou une puissance de T) a tous ses
coefficients non nuls, alors (Tn) converge vers
une matrice stochastique [dont toutes les
lignes sont égales entre elles et égales à un
état stable de T (état alors unique)].
Convergence de Ln
 Par passage à la limite dans Ln
converge vers Linf .
 Par passage à la limite Ln+1
= L0 . Tn , (Ln)
= Ln . T , Linf est stable
pour T (autrement dit, Linf est un vecteur propre
associé à la valeur propre 1).
 Valeur exacte de l’état stable, et donc de l’état
probabiliste limite : ……………………………………….
L’essence de la démarche
 Suite de VA Xn dont la relation de récurrence peut-être
visualisée sur :
- Un arbre de probabilités conditionnelles tel que :
P(X = i) (Xn+1 = j) est indépendante de n.
n
- Graphe probabiliste exprimant la transition entre les
différents états probabilistes :
Ln = (P(Xn = 0), P(Xn = 1), ….. , P(Xn = N)) (taille N+1)
- Matrice de transition T stochastique indépendante de n
- Ln+1 = Ln . T ; Par récurrence : Ln = L0 . Tn
 Puis on peut procéder à une étude asymptotique :
Etude asymptotique
 Cas où Tn converge :
- Une condition suffisante : pas de zéro (exige en
particulier que la probabilité de stationner sur un
sommet du graphe soit non nulle).
- Condition suffisante moins restrictive : matrice
« régulière » : il existe une puissance de T dont tous les
coefficients sont non nuls.
- Etat stable en cas de convergence : cas général
Cas où
n
T
ne converge pas
 Existence d’un état stable : convergence possible de Ln
 Cas des suites extraites convergentes
Champs d’application de la démarche
Marche aléatoire sur un graphe probabiliste déclinée
dans une multitude de contextes :
 Marche aléatoire dans labyrinthe
Champs d’application de la démarche
 Surf aléatoire sur un mini-réseau intranet :
- Sans saut
- Avec saut Un+1 = A Un + B
Champs d’application de la démarche
 Ehrenfest