Transcript Faire naître et vivre le projet d`accompagnement

Dans ce problème , E désigne le ℝ - espace vectoriel des applications continues de
[ 0,1] dans ℝ . On note ∞ la norme infinie sur [ 0,1] et on sait que l’application N1 définie
1
sur E par N1 ( u ) = ∫ u (t ) dt est une norme sur E.
0
On dit qu’une suite ( un ) converge vaguement si et seulement si il existe u élément de E tel
1
1
0
0
que : ∀ϕ ∈ E , lim ∫ un ( x ) ϕ ( x ) dx = ∫ u ( x ) ϕ ( x ) dx
n →∞
On dit alors que u est limite vague de ( un )
I ) Etude d’un exemple
Montrer que la suite ( un ) d’élément de E, définie par un ( x ) = x n , converge
vaguement vers la fonction nulle.
II ) Quelques propriétés
1°) Montrer que si ( un ) converge vaguement, alors sa limite vague est unique.
2°) Montrer que si ( un ) et ( vn ) convergent vaguement respectivement vers u et v , et si
a et b sont deux réels, alors ( aun + bvn ) converge vaguement vers au+bv .
3°) Montrer que si ( un ) converge au sens de
∞
, alors ( un ) converge vaguement.
4°) Soit ( un ) qui converge vaguement vers u sur E telle que la suite de réels ( N1 ( un ) )
soit bornée. Montrer que si ( wn ) converge au sens de
( un wn ) converge vaguement vers uw.
∞
vers w, alors la suite
III ) Application :
1°) Montrer que si ( un ) converge pour la norme N1 , alors ( un ) converge vaguement
2°) Soit f une application de ℝ dans ℝ , continue et de période 1, on définit la suite
( un ) de E par : un ( x ) = f ( nx )
a. Etant donné ϕ appartenant à E et n entier non nul, montrer que :
1
1
∫ un ( x )ϕ ( x ) dx = ∫ f ( y )θ n ( y ) dy
0
avec θ n ( y ) =
0
1
 y+k 
ϕ
∑

n k =0  n 
n −1
b. Quelle est la limite de θ n ( y ) lorsque n tend vers l’infini, on notera m (ϕ ) cette
limite.


On admettra le résultat suivant : lim  sup θ n ( y ) − m (ϕ )  = 0
n →∞ y∈[ 0,1]


c. Soit ( g n ) définie par g n ( y ) = f ( y )θ n ( y ) , montrer que ( g n ) converge au sens de
∞
d. Pour les 5/2, montrer que la suite ( un ) converge vaguement vers l’application
1
constante
∫ f ( y ) dy . Les 3/2 admettrons ce résultat.
0
3. On prend maintenant pour la fonction f la fonction définie par f ( x ) = sin ( 2π x ) ,et
on considère la suite ( un ) correspondante
a. Quelle est la limite vague de cette suite ?
b. Montrer que ∀n ∈ ℕ ,
n
1
0
0
∫ sin ( 2π y ) dy = n∫ sin ( 2π t ) dt
c. En déduire que ( un ) ne converge pas vers l’application nulle au sens de N1 .