CRITÈRE DE CONVERGENCE cours 26

Au dernier cours, nous avons vu ✓ Somme infinie ✓ Convergence et divergence de série ✓ Série harmonique ✓ Série arithmétique ✓ Série géométrique

Aujourd’hui, nous allons voir ✓ Critère du terme général ✓ Critère de l’intégrale ✓ Série de Riemann ✓ Critère de d’Alembert ✓ Critère de comparaison à l’aide d’une limite ✓ Critère du polynôme

Au dernier cours, on a vu que pour évaluer une série il faut trouver une expression pour sa somme partielle.

Or, cette tâche est plutôt difficile à faire.

On va donc utiliser plusieurs critères nous permettant, sous certaines conditions, de déterminer la convergence ou divergence d’une série.

Théorème: (Critère du terme général) Soit une série Si le terme général ne tend pas vers 0 alors la série diverge.

diverge converge

Exemple: Donc la série diverge.

Remarque: L’inverse du théorème est faux. converge La série harmonique diverge mais

Faites les exercices suivants p.353 # 2

Considérons une série avec et et la suite des éléments sommés On peut voir chaque comme l’aire d’un rectangle de base 1 et de hauteur

avec et Donc si et si diverge, alors converge, alors diverge converge

En fait, on peut avoir une idée approximative de la valeur de la série lorsqu’elle converge

Exemple: Donc converge

Faites les exercices suivants p. 353 #3

Avec le critère de l’intégrale, on peut déterminer la convergence d’un certain type de série.

Une série de la forme est une série de Riemannou une série-p Si Si c’est la série harmonique et elle diverge diverge par le critère du terme général

si Donc la série diverge par le critère du terme général.

On peut donc appliquer le critère de l’intégrale

Si Donc et l’intégrale converge, donc la série aussi Sinon, ça diverge converge

Faites les exercices suivants p. 353 # 4

Théorème: (Critère de d’Alembert) et posons «Preuve»: Si converge Si ???

diverge

«Preuve»: Si somme finie donc converge Série géométrique converge si

Faites les exercices suivants p. 353 # 7

Théorème: (Critère de comparaison à l’aide d’une limite) Soient et alors «Preuve»: si converge converge

Exemple: donc mais c’est la série harmonique qui diverge diverge.

Corolaire: (Critère du polynôme) un polynôme de degré un polynôme de degré posons Si converge Preuve: Si diverge Il suffit de faire un comparaison à l’aide d’une limite avec la série de Riemann

Faites les exercices suivants p.353 # 6 et 10

Aujourd’hui, nous avons vu ✓ Critère du terme général ✓ Critère de l’intégrale ✓ Série de Riemann ✓ Critère de d’Alembert ✓ Critère de comparaison à l’aide d’une limite ✓ Critère du polynôme

Devoir: p. 353, # 1 à 7, 10 et 11.

sauf 11 c)