Transcript Algorithme de Dijkstra

Lycée JANSON DE SAILLY
03 février 2015
Tle ES
Spécialité
GRAPHE PONDÉRÉ ET PLUS COURT CHEMIN
La recherche du meilleur itinéraire que ce soit en distance, en temps ou en coût d’un point à un autre peut être
modélisée par la recherche du plus court chemin dans un graphe.
Dans ce paragraphe, on s’intéresse à la recherche d’un plus court chemin dans un graphe entre deux sommets
donnés.
I
GRAPHE PONDÉRÉ
1
DÉFINITION
On appelle graphe pondéré, un graphe (orienté ou non) dont les arêtes ont été affectées d’un nombre appelé
poids (ou coût).
Par analogie avec la matrice d’adjacence, on peut définir la matrice des poids P (ai, j ) du graphe, dont les
coefficients ai, j correspondent aux poids des arêtes (ou des arcs dans le cas d’un graphe orienté) :
ai, j


0
= ∞


pi j
si i = j
s’il n’existe pas d’arêtes ( ou d’arc) entre les sommets xi et x j
où pi j est le poids de l’arête ( ou de l’arc) entre les sommets xi et x j
On utilise le symbole ∞ pour indiquer qu’il n’y a pas d’arêtes entre deux sommets.
EXEMPLE
8
A
B
b
b
3
7
E
11
b
4
b
11
10
F
6
2
12
1
3
∞ ∞
b
D
2
Les sommets du graphe étant rangés dans l’ordre
alphabétique :


0 8 ∞ ∞ 3 ∞
 7 0 2 ∞ ∞ 10


∞ 6 0 3 ∞ ∞

P=
11 ∞ ∞ 0 ∞ 3 


∞ 4 ∞ 12 0 ∞
1
∞ 11
0
b
3
C
LONGUEUR D ’ UN CHEMIN
Soit C(x,y) un chemin (ou une chaîne) dans un graphe pondéré G du sommet x vers le sommet y. La longueur
de ce chemin est égale à la somme des poids de chacun arcs ( ou de chacune des arêtes) qui le constituent.
REMARQUE
Cette définition généralise la définition de la longueur d’une chaîne dans un graphe non pondéré, il suffit
d’attribuer un poids égal à 1 à chaque arête du graphe.
Dans l’exemple précédent, la longueur du chemin AEBF est 17.
Si on souhaite déterminer le plus court chemin du sommet A au sommet F, on peut essayer d’énumérer tous
les chemins ABF, AEBF, AEDF, ABCDF, AEBCDF et calculer leurs longueurs. Mais avec un graphe de taille
plus importante, ceci risque de devenir rapidement impossible.
Pour résoudre ce problème, on fait appel à des algorithmes.
En terminale ES, on n’étudie que le cas particulier où les poids de tous les arcs sont des réels positifs.
A. YALLOUZ (MATH@ES)
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II
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GRAPHE PONDÉRÉ ET PLUS COURT CHEMIN
ALGORITHME DE DIJKSTRA
E. W. Dijkstra (1930-2002) a proposé en 1959 un algorithme qui permet de calculer le plus court chemin entre
un sommet particulier et tous les autres dans un graphe pondéré dont tous les poids sont positifs.
L’algorithme comporte une phase d’initialisation. À chaque sommet on attribue un poids qui vaut 0 pour le
sommet de départ et infini pour les autres sommets.
Le traitement de l’algorithme consiste à examiner les sommets les uns après les autres et à sélectionner le
sommet x auquel on a affecté la plus petite distance du sommet de départ jusqu’à x.
On recommence tant qu’il reste des sommets à sélectionner.
Soit G un graphe connexe dont les arêtes sont pondérées par des nombres positifs.
NOTATIONS
:
S la liste des sommets du graphe
s0 le sommet du graphe à partir duquel on veut déterminer les plus courts chemins aux autres sommets
l(x,y) le poids de l’arête entre deux sommets x et y
δs (x) la longueur d’un chemin du sommets s0 au sommet x
V + (x) la liste des successeurs du sommet x
p(x) le prédécesseur du sommet x
X liste des sommets restant à traiter.
E liste des sommets déjà traités.
INITIALISATION
:
P OUR C HAQUE
x ∈ S FAIRE δs (x) = ∞
δs (s) = 0
X =S
Le poids du sommet s0 est nul
La liste des sommets restant à traiter est initialisée à S
E=∅
TRAITEMENT
On attribue un poids ∞ à chacun des sommets x
La liste des sommets déjà traités vide
:
X 6= ∅ FAIRE
Tant que la liste des sommets restant à traiter n’est pas vide
Sélectionner dans la liste X le sommet x avec δs (x) minimum
Retirer le sommet x de la liste X
Ajouter le sommet x à la liste E
P OUR C HAQUE y ∈ V + (x) ∩ X FAIRE
On examine tous les successeurs y du sommet x qui ne sont pas traités
S I δs (y) > δs (x) + l(x,y) A LORS
δs (y) prend la valeur δs (x) + l(x,y) La distance du sommet s0 au sommet y est minimale
p(y) = x
le sommet x est le prédécesseur du sommet y
TANT _ QUE
F IN S I
F IN P OUR
F IN TANT _ QUE
A. YALLOUZ (MATH@ES)
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GRAPHE PONDÉRÉ ET PLUS COURT CHEMIN
EXEMPLE
Considérons le graphe suivant :
8
A
B
b
b
7
E
b
b
11
F
6
2
12
11
10
3
4
1
3
b
b
D
C
3
On souhaite déterminer le plus court chemin du sommet A au sommet F.
Sommets
A
B
C
D
E
F
0
∞
∞
∞
∞
∞
A(0)
8(A)
∞
∞
2(A)
∞
E(3)
7(E)
∞
15(E)
∞
B(7)
9(B)
15(E)
17(B)
C(9)
12(C)
17(B)
D(12)
15(D)
F(15)
sélectionnés
Initialisation ;
δ (A) = 0 A est sélectionné.
B et E sont les successeurs de A qui ne sont pas traités ;
0 + 8 < ∞ donc δ (B) = 8 et p(B) = A ;
0 + 3 < ∞ donc δ (E) = 3 et p(E) = A ;
δmin = 3, Le sommet E est sélectionné.
B et D sont les successeurs de E qui ne sont pas
traités ;
3 + 4 < 8 donc δ (B) = 7 et p(B) = E ;
3 + 12 < ∞ donc δ (D) = 15 et p(D) = E ;
δmin = 7, Le sommet B est sélectionné.
C et F sont les successeurs de B qui ne sont pas traités ;
9 + 2 < ∞ donc δ (C) = 9 et p(C) = B ;
9 + 10 < ∞ donc δ (F) = 10 et p(F) = B ;
δmin = 9, Le sommet C est sélectionné.
D est le successeur de C qui n’est pas traité ;
9 + 3 < 15 donc δ (D) = 12 et p(D) = C ;
δmin = 12, Le sommet D est sélectionné.
F est le successeur de D qui n’est pas traité ;
12 + 3 < 17 donc δ (F) = 15 et p(F) = D ;
Le sommet F est le dernier sommet traité.
— L’algorithme de Dijkstra fournit les longueurs des plus courts chemins du sommet origine aux différents
sommets.
— Pour déterminer le plus court chemin du sommet origine à un sommet x, il suffit de remonter la liste des
prédécesseurs en partant de x.
Ainsi, le plus court chemin de A à F est un chemin de longueur 15.
Dans la colonne F on lit que le prédécesseur de F est le sommet D. Le prédécesseur de D est C, le prédécesseur
de C est B, le prédécesseur de B est E et, le prédécesseur de E est A.
Ainsi, la liste des prédécesseurs est F ←− D ←− C ←− B ←− E ←− A.
Le plus court chemin de A à F est donc : A-E-B-C-D-F.
A. YALLOUZ (MATH@ES)
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EXERCICE 1
Le graphe ci-dessous indique les différentes liaisons entre plusieurs lieux. Le long de chaque arête figure la
distance en kilomètres séparant les différents lieux.
En précisant la méthode utilisée, déterminer le plus court chemin possible pour aller de A à L.
A
10
B
2
C
5
D
2
8
3
5
1
3
2
E
6
F
3
G
10
H
1
4
2
6
8
9
3
I
2
J
k
3
L
EXERCICE 2
Exécuter l’algorithme de Dijkstra sur le graphe suivant, à partir du sommet F, puis à partir du sommet A.
A
b
19
3
B
b
b
b
26
5
7
18
b
2
4
b
13
G
5
C
F
5
6
b
H
E
14
b
D
EXERCICE 3
On considère le graphe suivant :
D
G
C
B
E
A
A. YALLOUZ (MATH@ES)
F
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1. Existe-t-il des chaînes de longueur 2 partant du sommet A et aboutissant au sommet C ?
2. Le graphe admet-il des chaînes eulériennes ? Si oui, en préciser une.
3. Le graphe pondéré ci-dessous, donne en minutes, les durées moyennes des parcours entre A et C en tenant
compte des sens uniques.
D
G
18
8
7
C
B
19
27
38
27
6
28
19
E
11
A
F
10
Un automobiliste doit se rendre de A à C. En utilisant un algorithme, déterminer le trajet le plus rapide pour
aller de A à C.
Le retour sera-t-il plus rapide que l’aller ?
EXERCICE 4
On considère le graphe ci-dessous :
D
F
G
E
B
A
C
1. On appelle M la matrice associée à ce graphe, les sommets étant pris dans l’ordre alphabétique.
Une des trois matrices R, S ou T est la matrice M 3 .





4 2 2 3 3 4 1
8 12 9 12 7 4 11
4 1 2 2
2 4 2 3 1 1 3
 12 8 9 12 11 4 7 
2 4 2 3





2 2 3 2 2 0 2
 9 9 6 11 6 4 6 
1 2 3 2









R=
3 3 2 5 2 2 2 S =  12 12 11 12 12 4 12  T = 3 3 2 6
3 1 2 2 4 1 2
 7 11 6 12 6 6 10 
2 1 2 3





1 1 0 2 1 2 1
 4 4 4 4 6 2 6 
2 2 1 2
1 4 2 2 2 1 4
11 7 6 12 10 6 6
2 3 2 3
3
1
2
3
4
2
2
4
2
1
2
2
3
2

1
3

2

3

2

2
4
Sans calculer la matrice M 3 , indiquer quelle est la matrice M 3 en justifiant votre choix.
A. YALLOUZ (MATH@ES)
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2. Ce graphe est-il complet ? Ce graphe est-il connexe ?
3. Ce graphe admet-il une chaîne eulérienne ? Justifier la réponse. Si oui donner une telle chaîne.
4. Un représentant, a modélisé à l’aide du graphe ci-dessous le réseau routier reliant différents clients notés A,
B, C, D, E, F et G. Les arêtes sont pondérés par les distances en kilomètre à parcourir.
D
18
F
29
38
5
9
6
11
G
43
E
8
8
B
6
30
35
A
C
Après avoir visité le client C, ce représentant souhaite se rendre chez le client D.
a) En précisant la méthode utilisée, déterminer le trajet le plus court (en kilomètres) pour aller de C à D.
Préciser la longueur en kilomètres de ce trajet.
b) Existe-t-il un parcours de même distance permettant à ce représentant de visiter tous ses clients ?
EXERCICE 5
Les deux parties sont indépendantes
PARTIE A
0 1 1
1 0 0

1 0 0
On considère le graphe de sommets A, B, C, D, E et F dont la matrice associée est M = 
1 1 1

0 1 0
0 1 1
1. Quel est le nombre d’arêtes de ce graphe ?
2. Ce graphe est-il complet ? Ce graphe est-il connexe ?
3. Ce graphe admet-il une chaîne eulérienne ? Justifier la réponse. Si oui donner une telle chaîne.

1
1
1
0
0
1
0
1
0
0
0
1

0
1

1

1

1
0
PARTIE B
Après avoir chargé son camion à l’entrepôt noté A, un livreur doit livrer cinq clients notés B, C, D, E et F.
Le graphe ci-dessous, modélise le réseau routier en tenant compte des sens de circulation et des temps de
parcours en minutes.
32
A
32
24
B
E
8 8
16
16
15
18
18
D
19
7
C
F
26
A. YALLOUZ (MATH@ES)
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1. Quel trajet permet de minimiser le temps de parcours pour effectuer les cinq livraisons ?
2. Après avoir effectué ses livraisons, le livreur doit retourner l’entrepôt. Quel trajet lui permet de minimiser
son temps de parcours pour le retour ?
En ne tenant pas compte des arrêts nécessaires pour effectuer les livraisons, le trajet du retour est-il plus
rapide que celui de l’aller ?
EXERCICE 6
Dans le graphe ci-dessous, les sommets représentent différentes zones de résidence ou d’activités d’un quartier.
Une arête reliant deux de ces sommets indique l’existence d’une voie d’accès principale entre deux lieux
correspondants.
A
C
E
P
G
B
H
D
F
1. Pour sa campagne électorale, un candidat souhaite parcourir toutes les voies d’accès principales de ce
quartier sans emprunter plusieurs fois la même voie.
a) Montrer qu’un tel parcours est possible.
b) Un tel parcours est-il possible pour ce candidat en partant de sa permanence électorale située en P ? si
oui le donner, sinon proposer un parcours possible en partant d’un autre endroit.
2. Un candidat aux élections municipales se trouve dans sa permanence située en zone P quand on lui rappelle
qu’il a un rendez-vous avec le responsable de l’hôpital situé en zone H.
a) Quel est le nombre minimal de voies d’accès principales que ce candidat devra emprunter pour arriver à
son rendez-vous ?
b) Le graphe pondéré ci-dessous donne, en minutes, les durées moyennes des trajets existants entre les
différents lieux :
7
A
4
3
9
10
G
P
12
4
E
10
11
6
B
11
C
9
D
H
8
5
F
En précisant la méthode utilisée, déterminer le plus court chemin que ce candidat devra emprunter pour
arriver à son rendez-vous.
Combien de temps faut-il prévoir pour effectuer ce trajet ?
EXERCICE 7
(D’après sujet bac Polynésie 2014)
PARTIE A
Le graphe ci-dessous représente, dans un aéroport donné, toutes les voies empruntées par les avions au roulage.
Ces voies, sur lesquelles circulent les avions avant ou après atterrissage, sont appelées taxiways.
Les arêtes du graphe représentent les voies de circulation (les « taxiways ») et les sommets du graphe sont les
intersections.
A. YALLOUZ (MATH@ES)
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E
b
B
b
D
b
b
b
C
A
F
b
T
b
1. Déterminer le nombre de voies de circulation au total.
2. Afin que l’aéroport soit déneigé le plus rapidement possible, est-il possible de planifier un parcours pour
que les chasse-neige passent par toutes les voies sans emprunter plusieurs fois la même route ? Justifier la
réponse et donner un tel parcours.
PARTIE B
Dans le graphe ci-dessous, on a indiqué le sens de circulation pour les avions dans les différentes voies ainsi
que le temps de parcours pour chacune en minute( s).
E
b
1
B
0,5
b
0,5
0,5
D
1,5
4
A
0,5
2
b
3
4
b
C
3
b
F
0,5
4
b
b
T
1. a) Écrire la matrice M associée à ce graphe (ranger les sommets dans l’ordre alphabétique).
b) Citer tous les chemins de longueur 3 reliant A à T.
2. L’avion qui a atterri est en bout de piste en A et doit se rendre le plus rapidement possible au terminal situé
au point T.
Déterminer l’itinéraire le plus rapide et en donner la durée.
(D’après sujet bac Liban 2013)
EXERCICE 8
Le graphe ci-dessous représente les autoroutes entre les principales villes du Sud de la France :
Bordeaux (B), Clermont-Ferrand (C), Lyon (L), Marseille (M), Montpellier (P), Brive (R), Toulouse (T),
Valence (V) et Biarritz (Z).
C
L
R
B
V
Z
T
A. YALLOUZ (MATH@ES)
P
M
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Pour cette question, on justifiera chaque réponse.
1. a) Déterminer l’ordre du graphe.
b) Déterminer si le graphe est connexe.
c) Déterminer si le graphe est complet.
2. Un touriste atterrit à l’aéroport de Lyon et loue une voiture.
Déterminer, en justifiant, s’il pourra visiter toutes les villes en empruntant une et une seule fois chaque
autoroute.
3. Il décide finalement d’aller seulement de Lyon à Biarritz.
On note N la matrice associée au graphe, les sommets étant rangés dans l’ordre alphabétique : B, C, L, M,
P, R, T, V, Z.
Voici les matrices N et N 3 :
0
0

0

0

N=
0
1

1

0
1

0
0
1
0
1
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
1
0
0
1
0
0
1
0
1
0
0
1
1
0
1
1
0
0
0
0
1
0
0
1
0
0
0
1
1
0
0
1
0
0
1
1
1
0
0
0
0


1
4


0
2
1
0


1
0


3

0 et N = 
3
6
0


6
1


1

0
2
0
5
2
8
6
1
1
5 3
0
1
5
0
2
1
0
3
5
0
1
2
2
2
5
2
1
4
1
3
8
1
5
2
1
8
7
1
6
6
0
2
1
2
8
3
2
6
1
3
1
8
8
4
1
6
1
1
5
4
7
3
1
2
1

5
3

0

1

1

2

6

1
2
a) En détaillant le calcul, déterminer le coefficient de la troisième ligne et dernière colonne de la matrice
N 4.
b) En donner une interprétation.
4. Sur les arêtes du graphe sont maintenant indiqués les prix des péages en euro.
C
10,70
L
11,50
B
11,50
7,10
R
V
8,60
4,40
Z
17,50
19,60
14,60
T
16,20
19,60
P
9,40
15,70
M
a) À l’aide de l’algorithme de Dijkstra, déterminer le chemin que doit prendre le touriste pour minimiser le
coût des péages de Lyon à Biarritz.
b) Déterminer le coût, en euro, de ce trajet.
EXERCICE 9
(D’après sujet bac Antilles, Guyane 2013)
Un guide de randonnée en montagne décrit les itinéraires possibles autour d’un pic rocheux.
La description des itinéraires est donnée par le graphe ci-contre. Les sommets de ce graphe correspondent aux
lieux remarquables. Les arêtes de ce graphe représentent les sentiers possibles entre ces lieux.
A. YALLOUZ (MATH@ES)
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4
9
b
b
Légende :
1
Départ
2
Passerelle
3
Roche percée
4
Col des 3 vents
5
Pic rouge
6
Refuge
7
Col vert
8
Pont Napoléon
9
Cascade des anglais
10
5
b
D
1
b
b
b
2
7
b
b
Arrivée
10
A
6
b
b
8
3
1. Donner un itinéraire allant de D à A passant par tous les sommets du graphe une seule fois mais n’empruntant
pas forcément tous les sentiers.
2. Existe-t-il un itinéraire allant de D à A utilisant tous les sentiers une seule fois ?
Justifier votre réponse.
3. On note M la matrice d’adjacence associée à ce
graphe, les sommets étant pris dans l’ordre. On
donne ci-contre M 5 .
a) Que représente le nombre 89 situé sur la
deuxième ligne et la quatrième colonne ?
b) Déterminer le nombre d’itinéraires allant de
D à A empruntant 5 sentiers. Citer un tel
itinéraire passant par le pic rouge.
56
78

75

82

59
5
M =
57

54

40

26
31
78
88
95
89
96
57
50
65
48
30

75
95
68
68
77
68
46
73
52
23
82
89
68
62
98
49
29
79
67
13
59
96
77
98
50
82
80
40
24
46
57
57
68
49
82
36
25
68
49
16
54
50
46
29
80
25
10
73
60
5
40
65
73
79
40
68
73
32
14
48
26
48
52
67
24
49
60
14
6
39
4
9
b
4. On a complété ci-contre le graphe décrivant les
itinéraires avec les temps de parcours en minutes
pour chacun des sentiers.
Déterminer l’itinéraire allant de D à A le plus
court en temps.
On fera apparaître la démarche en utilisant un
algorithme.
90

31
30

23

13

46

16

5

48

39
2
45
b
35
60
20
5
20
b
D
1
b
35
50
b
40
2
15
b
25
6
90
7
b
b
25
b
10
55
15
10
A
40
b
8
3
EXERCICE 10
(D’après sujet bac Amérique du Nord 2014)
Lors d’une campagne électorale, un homme politique doit effectuer une tournée dans les villes A, B, C, D, E, F,
G et H, en utilisant le réseau autoroutier. Le graphe G ci-dessous, représente les différentes villes de la tournée
et les tronçons d’autoroute reliant ces villes (une ville est représentée par un sommet, un tronçon d’autoroute
par une arête) :
A. YALLOUZ (MATH@ES)
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Lycée JANSON DE SAILLY
03 février 2015
Tle ES
Spécialité
GRAPHE PONDÉRÉ ET PLUS COURT CHEMIN
B
C
A
G
E
F
D
H
PARTIE A
1. Déterminer, en justifiant, si le graphe G est :
a) complet ;
b) connexe.
2. a) Justifier qu’il est possible d’organiser la tournée en passant au moins une fois par chaque ville, tout en
empruntant une fois et une seule chaque tronçon d’autoroute.
b) Citer un trajet de ce type.
3. On appelle M la matrice d’adjacence associée au graphe G (les sommets étant pris dans l’ordre alphabétique).
a) Déterminer la matrice M.
b) On donne la matrice

0
5

3

5
3
M =
1

1

4
1
5 3
2 7
7 6
2 4
8 9
3 3
3 9
5 10

5 1 1 4 1
2 8 3 3 5

4 9 3 9 10

0 9 2 3 8

9 4 4 10 4 

2 4 2 6 6

3 10 6 6 9 
8 4 6 9 4
Déterminer, en justifiant, le nombre de chemins de longueur 3 reliant E à H.
Préciser ces chemins.
PARTIE B
Des contraintes d’organisation obligent cet homme politique à se rendre dans la ville F après la ville A. Le
graphe G est complété ci-dessous par les longueurs en kilomètre de chaque tronçon d’autoroute.
B
600
C
400
400
A
550
350
G
600
E
200
F
450
600
300
300
400
D
900
H
A. YALLOUZ (MATH@ES)
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Spécialité
GRAPHE PONDÉRÉ ET PLUS COURT CHEMIN
Déterminer, en utilisant l’algorithme de Dijkstra, le trajet autoroutier le plus court pour aller de A à F.
Préciser la longueur en kilomètre de ce trajet.
(D’après sujet bac Centres Étrangers 2014)
EXERCICE 11
PARTIE A
: Étude d’un graphe
On considère le graphe G ci-dessous.
H
D
A
E
I
F
G
B
C
1. a) Déterminer en justifiant si le graphe G est complet.
b) Déterminer en justifiant si le graphe G est connexe.
2. a) Donner le degré de chacun des sommets du graphe G .
b) Déterminer en justifiant si le graphe G admet un cycle eulérien ou une chaîne eulérienne.
3. a) Donner la matrice M associée au graphe G (les sommets seront rangés dans l’ordre alphabétique).


4 2 2 1 2 2 2 1 1
2 5 1 3 1 1 1 2 0


2 1 4 2 1 1 1 2 2


1 3 2 4 1 1 0 1 0



b) On donne : M 2 = 
2 1 1 1 2 2 0 0 0 .
2 1 1 1 2 2 0 0 0


2 1 1 0 0 0 3 2 1


1 2 2 1 0 0 2 4 1
1 0 2 0 0 0 1 1 2
Montrer, par le calcul, que le coefficient de la septième ligne et quatrième colonne de la matrice M 3 est
égal à 3.
PARTIE A
: Applications
Dans cette partie, on pourra justifier les réponses en s’aidant de la partie A
On donne ci-dessous le plan simplifié d’un lycée
A. YALLOUZ (MATH@ES)
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Spécialité
GRAPHE PONDÉRÉ ET PLUS COURT CHEMIN
VIE SCOLAIRE
ET INFIRMERIE
ADMINISTRATION
SALLE DES
PROFESSEURS
HALL 1
HALL 2
BÂTIMENT 2
C. D. I.
BÂTIMENT 1
CANTINE
1. Le graphe G donné en partie A modélise cette situation.
Recopier et compléter le tableau suivant :
Sommet du graphe G
Lieu correspondant dans le lycée
A
B
C
D
E
F
G
H
I
2. Un élève a cours de mathématiques dans le bâtiment 1. À la fin du cours, il doit rejoindre la salle des
professeurs pour un rendez vous avec ses parents.
Déterminer le nombre de chemins en trois étapes permettant à l’élève de rejoindre ses parents puis indiquer
quels sont ces chemins.
3. Le lycée organise une journée portes-ouvertes.
a) Déterminer, en justifiant, s’il est possible de visiter le lycée en empruntant une seule fois chaque passage
entre les différents lieux.
b) Sur les arêtes du graphe G sont indiqués les temps de parcours exprimés en seconde entre deux endroits
du lycée.
H
D
60
70
A
25
60
35
80
25
30
E
F
35
40
I
45
20
50
B
G
90
30
C
Déterminer, à l’aide de l’algorithme de Dijkstra, le chemin permettant de relier le sommet G au sommet
D en un temps minimal.
Déterminer ce temps minimal, exprimé en seconde.
A. YALLOUZ (MATH@ES)
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