Transcript TD2 - Université Nice Sophia Antipolis

Université Nice-Sophia Antipolis - Statistiques
Licence 2e année 2014-2015
FEUILLE DE TRAVAUX DIRIGÉS N
o2
VARIABLES ALÉATOIRES
1.
1.
2.
3.
4.
5.
Variables aléatoires usuelles discrètes
Soit X une variable aléatoire de loi binomiale de paramètres n et θ. Montrer que si l'on
considère la variable Y = n − X , Y suit une loi binomiale de paramètres n et 1 − θ.
Un marchand vend des sacs de 50 graines qui ont chacune une probabilité de germer égale
à 99%.
(a) En moyenne, combien de graines ne germent pas par sac ?
(b) Le marchand promet de remplacer tout sac dont au moins trois graines n'ont pas
germé. Chaque sac lui coûte 5 euros à produire. À quel prix minimum doit-il vendre
un sac pour qu'en moyenne il ne perde pas d'argent en vendant un sac ?
Le nombre de pannes X d'un appareil pendant une période de t heures est une variable
de Poisson de moyenne 0.8t. Une compagnie fait la location de l'appareil à 400 euros de
l'heure et le répare au coût de 100X 2 euros.
(a) Montrer que E(X 2 ) = 0.8t + 0.64t2 .
(b) Exprimer le prot moyen pour une période de t heures en fonction de t.
(c) Pour quelle valeur de t, ce prot est-il maximum et que vaut-il ?
(a) Montrer que la loi géométrique est sans mémoire, c'est-à-dire que si T ∼ G(p),
p ∈]0, 1[, alors pour tout n, k ∈ N, P (T > n + k|T > n) = P (T > k).
(b) On modélise la durée de vie en années d'une ampoule électrique par une loi géométrique de paramètre 1/2. Donner la durée de vie moyenne d'une telle ampoule. Que
peut-on dire de la durée de vie d'une ampoule dont on sait qu'elle fonctionne encore
au bout de 2 ans ?
On considère que le nombre N d'÷ufs pondus par un insecte donné suit une loi de Poisson
de paramètre α et que la probabilité qu'un ÷uf donne une larve est p. On note L le nombre
de larves. Les développements des ÷ufs sont supposés indépendants. Donner la loi de L.
2.
6.
Variables aléatoires continues
Soit X une variable aléatoire dont la fonction de densité est donnée par :


si x ∈ [0, 1]
x
f (x) = 2 − x si x ∈ [1, 2]

0
ailleurs
(a) Vérier que f est bien une fonction de densité.
(b) Déterminer la fonction de répartition F de X . Tracer les graphes de F et de f .
1
(c) Déterminer l'ensemble des médianes de X .
(d) Calculer P (|X − 1| < 1) puis P (|X − 1| < 1/2).
(e) Calculer l'espérance et la variance de X .
7.
On considère une variable aléatoire X réelle dont la densité de probabilité est dénie par :
(
λx−2
f (x) =
0
(a)
(b)
(c)
(d)
8.
9.
si x ∈ [1, 10]
ailleurs
Pour quelle valeur de λ la fonction f est bien une densité de probabilité ?
Déterminer l'espérance et la variance de X .
Déterminer la fonction de répartition de X .
Calculer P (X > 3) et P (X > 2).
(a) Le temps, mesuré en heures, nécessaire pour réparer une certaine machine suit la loi
exponentielle de paramètre λ = 1/2.
(i) Quelle est la probabilité que le temps de réparation excède deux heures ?
(ii) Calculer le temps moyen de réparation.
(b) Soit T une variable de loi exponentielle de paramètre λ > 0.
(i) Trouver le paramètre λ de cette loi sachant que P (T ≤ 70) = 0.05.
(ii) Déduisez-en P (T > 30).
On considère la fonction f dénie par :

−x

 θ − 1/2 si − θ < x ≤ −θ/2
f (x) = xθ − 1/2
si θ/2 < x ≤ θ

0
ailleurs
où θ est un réel strictement positif.
(a) Déterminer θ pour que f soit une fonction de densité.
(b) Déterminer la fonction de répartition F associée à cette densité.
(c) Calculer E(X) et V(X), où X est une variable aléatoire de densité f .
10.
11.
Soit X une variable aléatoire de loi exponentielle de paramètre λ > 0.
(a) On note [x] la partie entière du nombre réel x et l'on pose T = [X] + 1. Quelles sont
les valeurs prises par T ? Déterminer en fonction de p = 1 − e−λ la loi de T .
(b) Soit Y une variable aléatoire indépendante de X et de même loi que X . Déterminer
la loi de min(X, Y ) et de max(X, Y ).
On considère une variable aléatoire réelle X de loi uniforme U(]0, 4[).
(a) Déterminer la loi de la variable Y = −4X + 3.
(b) Déterminer la loi de la variable Z = X 2 .
2
12.
(a) Soit X une variable aléatoire de loi normale centrée réduite. À l'aide d'une table,
calculer une valeur approchée des probabilités suivantes :
P (0 < X < 1),
P (−1 < X < 1),
P (−0.7 < X < −0.3),
P (−2 < X < 1),
P (1 < X < 2).
(b) Soit X une variable aléatoire de loi normale N (−2, 4). À l'aide d'une table, calculer
une valeur approchée des probabilités suivantes :
P (0 < X < 1),
P (−1 < X < 1),
P (−2 < X < −1),
P (−0.7 < X < −0.3),
P (1 < X < 2).
(c) Soit X une variable aléatoire de loi normale N (0, 1). À l'aide d'une table, calculer,
pour chacune des probabilités ci-après, une valeur approchée du paramètre a :
P (0 < X < a) = 0.95%,
13.
P (−a < X < a) = 0.96,
Soit une variable aléatoire X dont (
la densité est :
2
2
f (x) =
x −x /(2α )
e
α2
0
P (a < |X|) = 0.05.
P (a < X) = 0.05%,
si x ≥ 0
ailleurs
(a) Montrer que la fonction de répartition de X est FX (x) = 1 − e−x /(2α ) .
(b) Déterminer une expression pour le p-ième percentile.
p
(c) Montrer par le calcul que : E(X) = α π/2 et V(X) = α2 (4 − π)/2
2
14.
2
Soit α > 2 et soit f la fonction dénie par :
(
c ∗ x−α−1
f (x) =
0
si x ∈ [1, +∞[
ailleurs
(a) Déterminer c en fonction de α pour que f soit une fonction de densité.
(b) On choisit désormais c comme ci-dessus. Soit X une variable aléatoire de densité f .
Déterminer la fonction de répartition de X .
(c) Soit Y une variable aléatoire de même loi que X et indépendante de X . Déterminer
la fonction de répartition et la densité de la variable Z = min(X, Y ).
(d) Calculer, en fonction de α, l'espérance et la variance de X .
(e) Déterminer α lorsque E(X) = 4/3.
3