Transcript BAC BLANC Terminales ES 123

Mars 2014
BAC BLANC Terminales ES 123
Epreuve de mathématiques
Durée 3H
L'usage de la calculatrice est autorisé
Exercice 1 Commun à tous les candidats
4 points
Cet exercice est un vrai – faux. Les quatre questions sont indépendantes.
Pour chaque question, une affirmation est proposée. Indiquer si elle est vraie ou fausse en justifiant
la réponse. Une réponse non justifiée ne sera pas prise en compte.
Une bonne réponse rapporte 0,5 point. Une bonne justification rapporte 0,5 point. Une mauvaise
réponse ou une mauvaise justification n'enlève pas de point.
→ Soit 𝑓la fonction définie sur l'intervalle \]0 ; +∞\[ par 𝑓(𝑥) = 2𝑥 − 𝑥ln(𝑥)
Affirmation 1
𝑓(3e)= 3e(1 − ln3)
Affirmation 2
L'ensemble des solutions de l'équation 𝑓(𝑥) = 0est S={e²}
→ On considère la fonction 𝑓définie sur l'intervalle [1 ; 4].
Affirmation 3
La fonction f est une fonction de densité de probabilité sur [1 ; 4]
→ Une variable aléatoire X suit la loi uniforme sur l'intervalle [0 ; 5]
Affirmation 4
P(X > 3) =
3
5
Exercice 2
Commun à tous les candidats
5 points
Tous les résultats numériques devront être donnés sous forme décimale et arrondis au dix-millième.
Une usine fabrique des billes sphériques dont le diamètre est exprimé en millimètres. Une bille est
dite hors norme lorsque son diamètre est inférieur à 9 mm ou supérieur à 11 mm.
Partie A
1. On appelle Xla variable aléatoire qui à chaque bille choisie au hasard dans la production associe
son diamètre exprimé en mm.
On admet que la variable aléatoire Xsuit la loi normale d'espérance 10 et d'écart-type 0,4.
Montrer qu'une valeur approchée à 0,0001 près de la probabilité qu'une bille soit hors norme est
0,0124.
2. On met en place un contrôle de production tel que 98%des billes hors norme sont écartés et 99%
des billes correctes sont conservées.
On choisit une bille au hasard dans la production. On note
N l’évènement : « la bille choisie est aux normes »,
A l’évènement : « la bille choisie est acceptée à l’issue du contrôle ».
a. Construire un arbre pondéré qui réunit les données de l’énoncé.
b. Calculer la probabilité de l’évènement A.
c. Quelle est la probabilité pour qu’une bille acceptée soit hors norme ?
Partie B
Ce contrôle de production se révélant trop coûteux pour l’entreprise, il est abandonné : dorénavant,
toutes les billes produites sont donc conservées, et elles sont conditionnées par sacs de 100 billes.
On considère que la probabilité qu’une bille soit hors norme est de 0,012 4.
On admettra que prendre au hasard un sac de 100 billes revient à effectuer un tirage avec remise de
100 billes dans l’ensemble des billes fabriquées.
On appelle Y la variable aléatoire qui à tout sac de 100 billes associe le nombre de billes hors norme
de ce sac.
1. Justifier que la variable aléatoire Ysuit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
2. Quels sont l’espérance et l’écart-type de la variable aléatoire Y ?
3. Quelle est la probabilité pour qu’un sac de 100 billes contienne exactement deux billes hors
norme ?
4. Quelle est la probabilité pour qu’un sac de 100 billes contienne au plus une bille hors norme ?
Exercice 3 Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité
5 points
Partie A
On considère la suite 𝑢définie par 𝑢0 = 10et pour tout entier naturel 𝑛, 𝑢𝑛+1 = 0,9𝑢𝑛 + 1,2
1. On considère la suite 𝑣définie pour tout entier naturel n par 𝑣𝑛 = 𝑢𝑛 − 12
a. Démontrer que la suite 𝑣est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la
raison.
b. Exprimer 𝑣𝑛 en fonction de n.
c. En déduire que pour tout entier naturel n, 𝑢𝑛 = 12 − 2 × 0,9𝑛
2. Déterminer la limite de la suite 𝑣et en déduire celle de la suite 𝑢.
Partie B
En 2012, la ville de Bellecité compte 10 milliers d’habitants. Les études démographiques sur les
dernières années ont montré que chaque année :
• 10% des habitants de la ville meurent ou déménagent dans une autre ville ;
• 1 200 personnes naissent ou emménagent dans cette ville.
1. Montrer que cette situation peut être modélisée par la suite 𝑢où 𝑢𝑛 désigne le nombre de milliers
d’habitants de la ville de Bellecité l’année 2012 + n.
2. Un institut statistique décide d’utiliser un algorithme pour prévoir la population de la ville de
Bellecité dans les années à venir.
Recopier et compléter l’algorithme ci-dessous pour qu’il calcule la population de la ville de
Bellecité l’année 2012 + n.
VARIABLES
𝑎,i, 𝑛
INITIALISATION
Choisir 𝑛
𝑎prend la valeur 10
TRAITEMENT
Pour iallant de 1 à 𝑛
𝑎prend la valeur ….
SORTIE
Afficher 𝑎
3. a. Résoudre l'inéquation 12 − 2 × 0,9𝑛 > 11,5
b. En donner une interprétation.
Exercice 3 Candidats ayants suivi l'enseignement de spécialité
A rédiger sur une copie séparée
On justifiera à l’aide d’un algorithme
5 points
Exercice 4 Commun à tous les candidats
6 points
On a représenté ci-dessous la courbe Cd'une fonction 𝑔définie et dérivable sur \[0 ; +∞\[ ainsi que la
tangente Tà cette courbe en son point Ade coordonnées (0 ; 7). On désigne par 𝑔′la fonction
dérivée de la fonction 𝑔.
Partie A
1. Préciser la valeur de 𝑔(0).
2. On admet que la tangente T passe par le point B de coordonnées (4 ; −2,8). Justifier que la valeur
exacte de 𝑔′(0)est −2,45.
𝑎
3. On admet que la fonction 𝑔est définie sur l'intervalle \[0 ; +∞\[ par : 𝑔(𝑥) = 𝑒 𝑏𝑥 +1où 𝑎et 𝑏sont
des nombres réels.
−𝑎𝑏e𝑏𝑥
a. Démontrer que pour tout réel 𝑥de \[0 ; +∞\[, on a 𝑔′(𝑥) = (e𝑏𝑥 +1)²
b. En utilisant les résultats des questions 1 et 2, déterminer les valeurs des réels 𝑎 et 𝑏.
Partie B
On considère un objet manufacturé dont le prix unitaire est 𝑥, en centaines d'euros. D'après une
étude de marché, l'offre 𝑓(𝑥)et la demande 𝑔(𝑥)pour cet objet, en centaines d'unités, sont définies
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pour tout 𝑥positifs ou nul par : 𝑓(𝑥) = e0,7𝑥 − 1et 𝑔(𝑥) = e0,7𝑥 +1
1. Si le prix de vente unitaire de l'objet est 300 €, combien d'objets (à l'unité près) les
consommateurs sont-ils prêts à acheter ?
2. Calculer le prix de vente unitaire de l'objet, arrondi à l'euro près, pour que la demande soit de 350
objets.
3. a. Déterminer l'unique solution de l'équation 𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥), et donner une valeur approchée au
centième de cette solution.
On appelle « prix d' équilibre » le prix permettant l'égalité entre l'offre et la demande. Quel est le
prix d'équilibre, arrondi à l'euro près.
b. Au prix d'équilibre, quelle est la valeur commune de l'offre et de la demande, arrondie à l'unité
près ?
Quel est le chiffre d'affaire généré par les ventes au prix d'équilibre ?