Transcript Physique PCSI DM 15

Physique PCSI DM 15
I- Voiture réduite à un point matériel
On considère un véhicule, assimilé à un point matériel de masse m, en mouvement rectiligne horizontal. Sa
position est repérée par son abscisse x et on ne considérera que les composantes des forces colinéaires au vecteur
directeur unitaire de l’axe Ox : u x
Dans tout le problème, on se place dans le référentiel terrestre supposé galiléen.
R réaction de la route sur le véhicule
F
P
force motrice
ux
poids du véhicule
1°) L’automobile n’est soumise qu’à l’action de son moteur qui développe une puissance constante P (on
nommera F = F. u x la force de traction associée à cette puissance).
L’automobile part du repos en x = 0. Les frottements (solide et fluide) sont négligés.
a) Déterminer l’expression littérale de la vitesse V (telle que V = V.u x avec V > 0). On appliquera ici le
théorème de l’énergie cinétique entre l’instant initial et un instant quelconque et on donnera au final V en
fonction de m, P et t.
b) En déduire l’expression littérale de l’accélération a (telle que a = a.u x ). a sera ici donné en fonction de m, P et t.
c) Déterminer l’expression littérale de l’abscisse x du point M au cours du mouvement.
x sera donné en fonction de m, P et t.
2°) Déterminer l’expression de x en fonction de la vitesse V. On donnera au final x en fonction de V, m et P.
3°) Au bout de quelle distance D le véhicule aura-t-il atteint la vitesse de 90 km/h ? m = 1200kg ; P = 75 kW
4°) Modélisation plus complète: la voiture est maintenant soumise, en plus de l’action du moteur, à une force de
frottement fluide f due à la résistance de l’air, de norme k m v², où k est une constante positive.
R
F
f
ux
P
a) En utilisant le théorème de l’énergie cinétique, pendant une durée infinitésimale dt, établir l’équation
m.V ².dV
différentielle : dx =
P − m.k.V 3
b) En intégrant cette équation différentielle, exprimer x en fonction de V, sachant que x(0) = 0 et V(0) = 0.
Remarque importante :
La force motrice F reste toujours supérieure à la valeur absolue de la force de frottement f :
F > m.k.V² donc en multipliant par V on obtient P > m .k.V3 soit P – m.k.V3 > 0.
Au final ici on donnera x en fonction de m, k, P et V.
c) Donner à présent V en fonction de x, m, k et P.
d) Montrer qu’il existe une vitesse limite V∞. On exprimera V∞ en fonction de m, k et P
e) Donner x en fonction de k, V et de V∞.
5°) On donne V∞ = 180 km/h.
a) Calculer la valeur de k (on précisera clairement l’unité).
b) Au bout de quelle distance L, le véhicule aura-t-il atteint la vitesse de 90 km/h ?
II- Mécanique : Energétique (ICNA 2006)
Une bille assimilée à un point matériel de masse m
est lâchée sans vitesse initiale depuis le point A d’une
gouttière situé à une hauteur h du point le plus bas O de la
gouttière. Cette dernière est terminée en O par un guide
circulaire de rayon a, disposé verticalement. La bille dont
on suppose que le mouvement a lieu sans frottement, peut
éventuellement quitter la gouttière vers l’intérieur du cercle.
A
g
h
M
a
V
C
ez
On désigne par g = −g.e z l’accélération de la
sens > 0
M
θ
V
pour θ
pesanteur (cf. figure ci-contre).
On note R le référentiel du laboratoire, il est considéré
O
H
ex
comme galiléen..
1°) Appliquer le théorème de l’énergie cinétique et donner ainsi l’expression littérale de la norme du vecteur
vitesse notée V en un point quelconque du trajet AO. On donnera V en fonction de z altitude du point matériel M
(z = HM ), h et g.
2°) En déduire la vitesse du point M lorsque la bille arrive en O.
3°) La bille est à présent à l’intérieur du guide circulaire. En appliquant le théorème de l’énergie cinétique,
exprimer durant cette phase, la norme V de la vitesse de la bille en un point quelconque du cercle (repéré par
l’angle θ). On exprimera ici V en fonction de g, h, a et θ.
4°) Démontrer que dans R , on peut écrire
d OM dCM
d ²OM d ²CM
=
et
=
dt
dt
dt ²
dt ²
5°) Ecrire le principe fondamental de la dynamique projeté dans la base polaire C, er , eθ .
Avec e r =
CM
et eθ perpendiculaire à er orienté dans le sens positif des θ et appartenant au plan (OCM).
CM
On notera N la force réaction du support sur la bille et N = N la norme de ce vecteur.
On donnera ici les deux équations différentielles issues du principe fondamental.
6°) Des questions 3°) et 5°) déduire l’expression littérale du vecteur N en fonction de m, g, h, a, θ et du vecteur
unitaire adéquat.
7°) Déterminer la hauteur minimale hmin à partir de laquelle il faut lâcher la bille sans vitesse initiale pour qu’elle
ait un mouvement révolutif dans le guide (hauteur minimale pour que quel que soit θ, N ne s’annule jamais). On
donnera hmin en fonction de a.
8°) On lâche la bille sans vitesse initiale d’une hauteur initiale h0 = 2a (on garde cette hypothèse pour toutes les
questions suivantes). Calculer en degrés, la valeur θ1 de l’angle θ pour lequel la bille quitte la sphère (on donnera
une valeur approchée en radians puis en degrés).
9°) Déterminer dans ces conditions (h0 = 2a), la norme de la vitesse (notée V1) de la bille au moment où celle-ci
quitte la sphère. Donner ensuite l’ordonnée z1 du point pour lequel la bille quitte la sphère. On donnera V1 en
fonction de g et a puis z1 en fonction de a (expression mathématiques exactes et non approchées).
10°) Donner l’expression littérale en fonction de g et a de la composante suivant l’axe Ox (notée V1x) de la
vitesse de la bille au moment où celle-ci quitte la sphère.
11°) En déduire par application du théorème de l’énergie mécanique la hauteur maximale Hm de la hauteur
atteinte dans ces conditions par la bille après qu’elle ait quitté le guide.