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BAC BLANC TS
durée 4 heures
MATH OBLIGATOIRE
Calculatrice autorisée
Dans ce devoir toute trace de recherche, même incomplète ou d’initiative, même non
fructueuse sera prise en compte dans l’évaluation.
L’énoncé n’est pas à rendre avec la copie
La feuille jointe en annexe est à rendre avec la copie
EXERCICE 1 ( 6 points )
Dans cet exercice les parties A et B sont indépendantes et peuvent être traitées séparément.
La partie C utilise pour la question 3. des résultats de la partie A.
PARTIE A
On définit la fonction h définie sur ]0; π ] par : h ( x ) = sin x −
1
.
x
1. Déterminer la limite de la fonction h en 0.
2. Exprimer h' ( x ) puis h'' ( x ) ( la dérivée de h' ) en fonction de x.
3. Montrer que h' est décroissante sur ]0; π ] . En déduire que la fonction h’ s’annule en une seule
valeur x0 ( qu’on ne cherchera pas à calculer et dont on ne demande pas de valeur approchée )
sur l’intervalle ]0; π ] puis comparer les réels x0 et
π
.
2
4. Montrer l’existence d’un maximum M pour la fonction h sur ]0; π ] ( on ne cherchera pas à
calculer M ni à en donner une valeur approchée ).
5. En déduire le nombre de solutions de l’équation h ( x ) = 0 sur ]0; π ] . ( on donnera un
encadrement de toutes les solutions à 0,001 près )
PARTIE B
On note (C) la courbe représentative de f définie sur [ 0; π ] par f ( x ) = e− cos x .
Cette courbe est donnée en feuille annexe et sera à rendre avec la copie.
π
Déterminer l’équation de la tangente à (C) au point d’abscisse
et la tracer sur la figure.
2
PARTIE C
Le but de cette partie est de déterminer, si elles existent, le nombre de tangentes à (C) qui
passent par O l’origine du repère.
1. À l’aide de la courbe donnée en annexe, conjecturer graphiquement la réponse à cette question.
( on laissera les traits de construction )
2. Soit A le point de (C) d’abscisse a. Montrer que la tangente à (C) au point A passe par O si et
seulement si asin a = 1 .
3. Compte tenu des résultats de la partie A, répondre à la question posée.
EXERCICE 2 ( 5 points ) pour les élèves n’ayant pas choisi la spécialité mathématiques
 
Dans le plan complexe rapporté au repère orthonormé direct (O; u; v ) , on donne les points A
d’affixe 2i, B d’affixe 2 et I le milieu de [ AB ] . On prendra 2 cm comme unité graphique.
On considère la fonction f qui, à tout point M distinct de A, d’affixe z, associe le point M ' d’affixe
2z
z ' telle que : z ' =
.
z − 2i
1. a. Montrer que f admet comme point invariant le point O et un second point dont on déterminera
l’affixe. ( un point invariant est un point M tel que M’=M )
1. b. Déterminer les images par f des points B et I puis les placer sur une figure.
2. On pose z = x + iy avec x et y réels de sorte que ( x; y ) ≠ ( 0;2 ) .
2 ⎡ x 2 + y ( y − 2 ) ⎤⎦
2. a. Montrer que : Re ( z ') = ⎣ 2
.
2
x + ( y − 2)
2. b. En déduire l’ensemble des points M du plan complexe pour lesquels M’ est situé sur l’axe des
imaginaires purs. Représenter cet ensemble sur la figure.
2OM
3. a. Montrer que : si M est un point distinct de A alors OM ' =
.
AM
3. b. En déduire que si M appartient à Δ la médiatrice du segment [OA ] , le point M’ appartient à un
ensemble Γ que l’on précisera et que l’on dessinera sur la figure.
EXERCICE 3 ( 4 points )
Une entreprise fabrique des billes de bois destinées ensuite à constituer des colliers ou des
bracelets. Le diamètres des billes produites est une variable aléatoire D, exprimée en millimètres,
qui suit une loi normale d’espérance 8 ( diamètre théorique de la production ) et d’écart-type 0,4.
Toute bille produite est contrôlée en passant dans deux calibres, l’un de 8,5 et l’autre de 7,5 :
elle est acceptée si elle est assez petite pour passer dans le calibre de 8,5 et si, ensuite, elle est assez
grande pour ne pas passer celui de 7,5.
1. Quelle est la probabilité qu’une bille soit acceptée ?
2. Quelle est la probabilité qu’une bille ne passe pas le premier calibre ?
3. Quelle est la probabilité qu’une bille ayant passé le premier calibre passe le second calibre ?
4. On considère qu’une bille trop petite, qui passe les deux calibres, est définitivement perdue. La
perte financière est estimée alors à 0,1 € ( ce qui correspond en fait au coût de fabrication d’une
bille ). En revanche une bille trop grande, qui ne passe pas le premier, est récupérée dans un
dispositif qui la réduit par ponçage puis est acceptée après cette rectification ; le coût de cette
rectification est de 0,03 €. Une bille conforme est vendue quant à elle 0,12 €. Soit Z la variable
aléatoire correspondant pour une bille prise au hasard dans la production au gain algébrique
réalisé par l’entreprise. Calculer l’espérance de Z.
EXERCICE 4 ( 5 points )
Cet exercice est un Vrai-Faux. On dira pour chacune des 5 propositions suivantes si elle est
vraie ou si elle est fausse. Chaque réponse devra être justifiée. Une réponse non justifiée ne rapporte
aucun point par contre toute trace de recherche même non concluante sera prise en compte dans
l’évaluation.
Proposition 1 :
1
⎧
⎪⎪u1 = 3
On considère la suite ( un )n≥1 définie par : ⎨
.
n
+
1
u
(
)
n
⎪u =
⎪⎩ n+1
3n
Pour tout entier naturel non nul n, on a : un =
n
.
3n
Proposition 2 :
  
On se place dans l’espace rapporté au repère orthonormé direct O; i ; j; k .
(
)
Les points M(-2;3;5) , N(-1;4;6) , P(2;-4;6) et Q(5;-1;9) sont coplanaires.
Proposition 3 :
  
On se place dans l’espace rapporté au repère orthonormé direct O; i ; j; k .
(
)
On considère les points A ( −3;0;2 ) et B ( −2;1;0 ) .
⎧ x = 2t
⎪
t ∈IR .
On considère également la droite (d) de représentation paramétrique : ⎨ y = t
⎪z = 5 + t
⎩
Les droites (d) et (AB) sont sécantes.
Proposition 4 :
On considère l’algorithme suivant :
Entrer n
S vaut 0
Pour i allant de 1 à n faire :
S vaut S +
Fin Pour
Afficher S
Lorsque l’on entre n=2013, l’algorithme affiche 2014
Proposition 5 :
Il existe un entier naturel n pour lequel 13 + 2 3 + ...+ n 3 > n 4 .
i
n
FEUILLE ANNEXE À RENDRE AVEC LA COPIE
NOM ......
CLASSE ......