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Série : NOMBRES
COMPLEXES
Niveau :
4èmeSc Proposée par :
Boukadida Tahar
Exercice 1 :
(2  i)(1  i)
.
1 i
z
2) Soit f l’application de C – {-1} dans C définie par f(z) =
.
z 1
a)Calculer, sous forme algébrique f( i ) ; f(– i ) ; f( –1+i ) .
b) Résoudre dans C l’équation f( z ) = i et écrire la solution sous forme algébrique .
1) Ecrire sous forme algébrique le nombre complexe z =
Exercice 2 :
A tout complexe z différent de 3  i on associe le nombre complexe f ( z ) 
1) Calculer f (1  i) .
2iz  4  2i
.
z 3i
2) Déterminer le complexe z tel que f ( z)  1  i .
3) On appelle x et y la partie réelle et la partie imaginaire de z. déterminer en fonction de x et y la
partie réelle X et la partie imaginaire Y de f ( z ) .
4) Dans le plan complexe, soit A le point d’affixe 1  2i , B le point d’affixe 3  i et M le point d’affixe z.
Montrer que f ( z ) 
2MA
.
MB
Exercice 3 :
 
Le plan complexe (P) est rapporté à un repère orthonormal (O ; u , v ) .
Soit (D) l'ensemble des points M de (P) d'affixe z vérifiant : z  3i  z  2  i
(1)
1) En écrivant z = x + i y, montrer par le calcul que (D) est une droite dont on donnera une équation.
2) On se propose dans cette question de vérifier le résultat du 1.
Soit A le point d'affixe 3i et B le point d'affixe -2 + i.
 
a) Placer A et B dans le repère (O; u , v ) .
b) En interprétant géométriquement la relation (1) à l'aide des points A et B, redémontrer que (D)
est une droite. Tracer (D).
c) Retrouver alors par le calcul l'équation de (D) obtenue au 1ère question.
Exercice 4 :
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct (O ; u, v) d’unité graphique 4 cm. On
note A et B les points d’affixes respectives 1 et i. À tout point M, distinct de A et d’affixe z, est associé le
 1 i  z  i 
point M’ d’affixe Z défini par : Z 
.
z 1
1) Calculer l’affixe du point C’ associé au point C d’affixe −i.
2) Soit z = x +iy où x et y désignent deux nombres réels.
a)Montrer l’égalité : Z 
 x  1  2   y  1 2  1
x 2  y2  1
.

i
 x  1 2  y 2
 x  1 2  y2
b) Déterminer l’ensemble E des points M d’affixe z telle que Z soit réel.
c) Déterminer l’ensemble F des points M d’affixe z telle que Z soit imaginaire pure.
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Exercice 5 :
1) Ecrire sous forme algébrique les nombres complexes :
i
5
6
i
i

i
5
4
Z1 = 3e ; Z2 = 2e ; Z3 = 5e
; Z4 = 2e .
2) Ecrire sous forme trigonométrique les nombres complexes : Z5 = –1 + i ;
Z6 = 2 3 - 6 i ; Z7 = 5 i; Z8 = - 4 ; Z9 = - 2 i .
2
Exercice 6 :
1) Ecrire Z = 1 + i 3 et Z’ = - 3 – 3i sous forme trigonométrique et exponentielle.
Z
2) En déduire la forme exponentielle des nombres complexes : ZZ’ ;
; Z2 Z’3 ;
Z'
Z12 ; Z’8 (on donnera la mesure principale d’un argument)
Exercice 7 :
Soit Z =
e
e
i

3
i

4
. En écrivant Z sous forme algébrique et sous forme trigonométrique déduire la
valeur exacte de cos


et sin
.
12
12
Exercice 8 :
on appelle A et B les points d’affixes respectives 2 et −2. À tout point M d’affixe z, z différent de 2, on
associe le point N d’affixe z et M’ d’affixe z’ tel que z ' 
2z  4
z 2
.
1) Calculer z’ et z ' lorsque z = 5 puis lorsque z = 1 + i.
2)a)Interpréter géométriquement z  2 et z  2 .
b) Montrer que, pour tout z distinct de 2, z '  2 . En déduire une information sur la position de M’.
3) Déterminer l’ensemble E des points M d’affixe z (z  2) tels que M’ = B.
4) On note Z AM et Z BM les affixes respectives des vecteurs AM et BM . Montrer que, pour tout point M
distinct de A et n’appartenant pas E , le quotient
Z AM
Z BM
est un nombre réel.
Interpréter géométriquement ce résultat.
Exercice 9 :
Le plan complexe P est rapporté à un repère orthonormal direct ( O ; u ; v ) .
On désigne par A et B les points d’affixes respectives – i et 2 i . On désigne par P  l’ensemble des
points de P distincts de A. Soit f l’application de P  dans P qui, à tout point M d’affixe z, associe le
 z  2i 
point f(M) d’affixe Z telle que Z = i
.
 zi 
3 1
1) Soit M1 le point d’affixe z1 = i ; soit M2 le point d’affixe z2 =  i .
2 2
a)Déterminer f( M1) et f(M2) .
b) Déterminer le point M de P  tel que f(M) = O, avec O le point d’affixe 0 .
c)Déterminer le point M de P  tel que f(M) = N , où N est le point d’affixe 2 – i .
2) Déterminer et construire :
a)L’ensemble (E) des points M de P  dont les images ont pour affixe un nombre imaginaire pur .
b) L’ensemble (F) des points M de P  dont les images ont pour affixe un nombre réel .
c)L’ensemble (G) des points M de P  dont les images appartiennent au cercle de centre 0 et de
rayon 1.
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