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DM 5 – TS3 – pour le 12 novembre 2014
r r
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé (O ; u, v ). (Unité graphique 2 cm).
Faire un graphique que vous complèterez au fur et à mesure des questions.
On considère la fonction f qui à tout nombre complexe z associe : f(z) = z² + 2z + 9.
1. Calculer l’image par f de – 1 + i√3.
2. a. Résoudre dans ℂ l’équation f(z) = 5.
b. On note A et B les points dont les affixes sont les solutions de l’équation précédente (A étant le point dont l’affixe a une
partie imaginaire positive).
Calculer les modules de zA et de zB. En déduire le lieu géométrique C sur lequel sont situés les points A et B.
Placer alors les points A et B, à la règle et au compas et en laissant apparents les traits de construction.
3. Soit m un nombre réel. Déterminer l’ensemble des valeurs de m pour lesquelles l’équation f(z) = m admet deux solutions
complexes conjuguées .
4. Soit (F) l’ensemble des points M du plan complexe dont l’affixe z vérifie l’équation : |f z
8| 3.
5.
6.
Démontrer que (F) est le cercle de centre Ω(– 1 ; 0) et de rayon √3. Tracer (F).
Soit z un nombre complexe de forme algébrique x + iy avec x et y réels.
a. Déterminer la forme algébrique de f(z) en fonction de x et de y.
b. Soit (E) l’ensemble des points du plan dont l’affixe z est telle que f(z) soit un réel.
Montrer que (E) est la réunion de deux droites D1 et D2 dont on précisera les équations. Tracer D1 et D2.
Déterminer les coordonnées des points d’intersection des ensembles (E) et (F).
Correction du DM 5 - Antilles septembre 2014.
1.
2.
f(– 1 + i√ ) = (– 1 + i√3 ² + 2(– 1 + i√3 + 9 = 1 – 2i√3 + i²√3² – 2 + 2i√3 + 9 = 1 – 2i√3 – 3 – 2 + 2i√3 + 9 = 5 .
a. f(z) = 5 ⟺ z² + 2z + 9 = 5 ⟺ z² + 2z + 9 – 5 = 0 ⟺ z² + 2z + 4 = 0
∆ = 4 – 16 = – 12 < 0 dont l’équation a deux solutions complexes conjuguées :
z1 =
√
√
√
b. zA = – 1 + i √3 et zB = – 1 – i √3 donc |
3.
4.
5.
6.
– 1 – i √3 et z2 = – 1 + i √3
|
1
i√3
#
1
√3²
S= –
√1
– √ ;–
3
√4
√
%.
zB = &' donc | ( | |&' | |z) | = 2
donc le lieu géométrique C sur lequel sont situés les points A et B est le cercle de centre O et de rayon 2.
f(z) = m ⟺ z² + 2z + 9 = m ⟺ z² + 2z + 9 – m = 0
∆ = 4 – 4(9 – m) = 4 – 36 + 4m = 4m – 32 . L’équation a deux solutions complexes conjuguées ssi ∆ < 0 ⟺ 4m – 32 < 0 ⟺
4m < 32 ⟺ m < 8 donc l’ensemble des valeurs de m pour lesquelles l’équation f(z) = m admet deux solutions complexes
conjuguées est l’intervalle ] – ∞ ; 8[.
|f z
8| 3 ⟺ |z² 2z 9 8| 3 ⟺ |z² 2z 1| 3 ⟺ | z 1 ²| 3 ⟺ |z 1|² 3 ,-. |Z | |Z| ⟺
|z 1| √3 ,-.|z 1| 0 0 ⟺ |z
1 | √3 ⟺ |z z2 | √3 ⟺ Ω3 √3 .
Donc (F) est le cercle de centre Ω(– 1 ; 0) et de rayon √ .
a. f(z) = (x + iy)² + 2(x + iy) + 9 = x² + 2xyi – y² + 2x + 2yi + 9 = (x² + 2x – y² + 9) + (2xy + 2y) i.
b. f(z) est un réel ssi sa partie imaginaire est nulle donc ssi 2xy + 2y = 0 ⟺ 2y(x + 1) = 0 ⟺ 2y = 0 ou x + 1 = 0
⟺ y = 0 ou x = – 1 .
L’ensemble des points M d’affixe z = x + iy avec y = 0 est l’axe des réels donc D1 est l’axe des réels et
L’ensemble des points M d’affixe z = x + iy avec x = – 1 est la droite D2 parallèle à l’axe des imaginaires d’équation x = – 1
Donc (E) est la réunion de deux droites D1 et D2.
⟶ intersection du cercle (F) et de la droite D1 :
8 0 9: ;
8 0 9: ;
8 0 9:
;
M d’affixe z = x + iy ∈ (F) ⋂ D1 ⟺ 7
⟺7
⟺7
|x 1| √3
|z 1| √3
= 1 √3 >? = 1
√3
8 0 9:
; donc (F) coupe D1 aux points de coordonnées (– 1 – √3 , 0) et (– 1 + √3 , 0) .
⟺ 7
=
1 √3 >? =
1 √3
⟶ intersection du cercle (F) et de la droite D2 :
=
1 9:
1 9:;
=
1 9: ;
=
1 9: ;
; ⟺ 7=
M d’affixe z = x + iy ∈ (F) ⋂ D2 ⟺ 7
⟺7
⟺7
| 1 iy 1| √3
|iy| √3
|y| √3
|z 1| √3
=
1 9:
; donc (F) coupe D2 en B(– 1 , – √3) et A(– 1, √3 ) .
⟺7
8 √3 >? 8
√3
Donc (F) et (E) ont quatre points d’intersection : A( ; √ ) , B( ; √ ) C(– 1 – √ ; 0) et (– 1 + √ ; 0).