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Prof Mr : Gary Badredine
Niveau Bac
Série Complexe N° :1
2014 / 2015
Lycée El Mourouj 2
Appliquer
Forme algébrique d’un nombre complexe
Exercice : 1
Mettre sous forme algébrique chacun des nombres complexes suivants :
3i  4
; (2-i)² ;
2i
2  3i 5i  2 ; 2  i 2 ; 45  2i   3ii  2 ;  5  2i 2 ;
.
Exercice : 2
On définit pour tout nombre complexe
différent de 0 et de
1. Ecrire sous forme algébrique les nombres suivants
2. Ecrire sous forme algébrique :
.
,
.
.
Exercice : 3
Calculer
;
.
Exercice : 4
Soit le complexe
.
1. Montrer que
.
2. Montrer que
1 + j + j² = 0.
3. Soit
et
.
a/ écrire sous la forme algébrique Z lorsque
b/ on pose
avec et des réels. Mettre Z sous la forme algébrique.
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1
Module d’un nombre complexe
Exercice : 1
Calculer le module de chacun des nombres complexes suivants :
, z= ( 1 + i )( 4 + 3 i ) , z= ( -2 +i )( -3 i )( 1 + i ) ,
z=
,z
,
,
.
Représentation géométrique d’un nombre complexe
Exercice : 1
Représenter dans le plan complexe , les images des nombres complexes suivants ainsi qui
leurs opposés et conjugués.
,
.
Exercice : 2
Le plan complexe est muni d’une repère orthonormé direct .
)
On donne les points A ,B et C d’affixes respectives 1 + i , ( -2 ) et 2- 2i .
1. Montrer que le triangle ABC est rectangle et isocèle .
2. Déterminer l’affixe de points D pour que ABDC est un carrée.
Exercice : 3
Le plan complexe est muni d’une repère orthonormé direct .
On désigne par A, B et C les points d’affixes
et
1. Placer les points A, B et C.
.
2. Montrer que le triangle ABC est rectangle en C .
3. Déterminer l’affixe de points K le milieu de [AB].
4. Montrer que :
.
5. Montrer que OACB est un rectangle .
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2
Equations de second degré
Exercice : 1
Résoudre dans
1.
3.
2.
4.
Exercice : 2
1. a) Déterminer les racines carrées de
–
b) Résoudre alors dans : z² - ( 3- i) z + 4 = 0.
2. Soit l’équation (E) :
( 2 - 2 i ) 8 = 0.
a) Montrer que (E) admet une solution réelle que l’on déterminera .
b) Résoudre dans l’équation (E) .
Exercice : 3
è
1.
2.
–
’é
.
é
é
’
Maitriser
Equations de second degré et représentation géométrique d’un nombre complexe
Exercice : 1
On considère l’équation (E)
= 0 où
l’inconnue est un nombre complexe .
1. Montrer qu’il existe un réel a tel que
soit une solution de (E) .
2. Trouver deux nombres complexes p et q tels que.
3. Résoudre (E) .
4. On considère les points A , B et C d’affixes respectives
a) Placer les points A, B et C dans le plan complexe muni d’un repère orthonormé.
b) Quelle est la nature du triangle ABC .
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3
Exercice : 2
1. a) Mettre sous forme algébrique le complexe :
b) Résoudre dans :
.
2. On considère dans , l’équation (E) :
a) Vérifier que 2 est une solution de (E) .
3. Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé
.
a) placer dans la plan ; les points A , B et C d’affixes respectives
et
.
b) Montrer que le triangle ABC est isocèle et rectangle.
c) Déterminer l’affixe du point D pour que ABCD soit un carré.
.
Exercice : 3
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé
.
1. a) placer dans la plan ; les points A , B et I d’affixes respectives
et
.
b) Déterminer l’affixe du point C symétrique de A par rapport à I .
c) Montrer que ABC est un triangle isocèle et rectangle .
2. a) Déterminer l’affixe du point D image de A par la translation de
b) Montrer que ABCD est un carré.
3. On considère dans , l’équation (E) :
a) Vérifier que 2 est une solution de (E) .
b) Résoudre dans l’équation (E) .
Exercice : 4
;
.
.
1. a) Mettre sous forme algébrique le complexe :
.
b) Résoudre dans l’équation (E) :
.
2. On considère dans ; l’équation (E) :
a) Montrer que l’équation (E) admet une solution imaginaire que l’on précisera .
b) Résoudre dans , l’équation (E).
3. Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé
.
a) Placer les points A, B et C d’affixes respectives :
b) Montrer que ABC est un triangle isocèle.
c) Déterminer l’affixe
du point D pour que ABCD soit un losange.
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4
Exercice : 5
1. Calculer 2  4i 2 .
2. Résoudre dans : z² + ( - 4 + 4 i) z + 3 – 4 i = 0.
3. On considère l’équation (E) :
.
a) Vérifier que –i est une solution de (E).
b) Déterminer les nombres complexes a, b et c tels que :
.
c) Résoudre alors l’équation (E).
4. On considère les points A, B et C d’affixes respectives
Montrer que ABC est un triangle rectangle.
Exercice : 6
1. Calculer (1  5i) 2 .
2. Résoudre dans l’équation: z 2  (i 1) z  6  3i  0 .
3. On considère l’équation ( E) : z 3  (1  i) z 2  (4  i) z  12  6i  0 .
a) Montrer que l’équation (E ) admet une solution réelle que l’on précisera.
b) Déterminer les nombres complexes a, b et c pour que :
z 3  (1  i) z 2  (4  i) z  12  6i  ( z  2)(az 2  bz  c) .
c) Résoudre alors l’équation (E ) .
4. On considère les points A, B et C d’affixes respectives : -2 ; -3i et 1+2i.
Montrer que ABC est un triangle isocèle rectangle.
Maitriser
Exercice : 1
On considère les points A, C et B d’affixes respectives :  i ; 1  2i et 1  2i .
1.Déterminer l’affixe du point I milieu du segment BC  .
2.Placer les points A, B et C dans un repère orthonormé o , i , j .
3. Montrer que le triangle ABC est isocèle et rectangle en A.
4. Déterminer l’affixe du point D pour que ACBD soit un parallélogramme.
5.Déterminer l’ensemble des points M d’affixe z tels que z  1  2i  5 .

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
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5
6.Déterminer l’ensemble des points M d’affixe z tels que z 1  2i  z  1  2i .
Exercice : 2
Pour tout nombre complexe z  2  i on pose Z 
z  3  2i
.
z  2  i 
1.on pose z  x  iy et Z  X  iY . Exprimer X et Y en fonction de x et y .
2.Déterminer l’ensemble des points M d’affixe z tels que Z soit réel.
3.Déterminer l’ensemble des points M d’affixe z tels que Z soit imaginaire
pure.
Exercice : 3
Soit A le point d’affixe i et B le point d’affixe 2, à tout point M du plan distinct de B on
associe le point M’ d’affixe z ' 
1. Montrer que
z' 
z i
.
iz  2i
AM
.
BM
2. En déduire que lorsque M décrit la médiatrice de AB , alors le point M’ décrit un
cercle que l’on précisera.
SUJET DU BAC
Exercice : 1
BAC 2001 PRINCIPALE
Dans Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé
les points A , B et C d’affixes respectives
;
1. a) Placer sur une figure les points A, B et C .
b) Montrer que ABC est un triangle isocèle et rectangle .
2. a) Vérifier que : 3 + 4 i = ( 2+ i )².
b) Résoudre dans l’équation :
.
3. on considère dans l’équation :
.
a) Vérifier que 2 est une solution de (E) .
b) Montrer que :
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, on considère
et
.
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.
c) Résoudre dans
l’équation (E) :
Exercice : 2
BAC 2000 PRINCIPALE
1. a) Mettre sous forme algébrique le nombre complexe : (1-i)².
b) Résoudre dans l’équation :
2. Dans Le plan complexe muni d’un repère orthonormé
,
on considère les points A , B et C d’affixes respectives
;
et
.
a) Déterminer l’affixe de points I le milieu de [AC ].
b) Placer les points A, B , C et I dans le repère
.
c) Montrer que le triangle ABC est isocèle et rectangle en B .
d) Soit l’ensemble des points M du plan d’affixe z tel que :
Montrer que est un cercle de centre I et vérifier que ce cercle passe par l
es points A , B et C . Construire .
Exercice : 3
BAC 1999 CONTROL E
On considère dans l’équation :
1. (E) : 2
a) Vérifier que 2 est une solution de (E) .
b) Déterminer les nombres complexes
tels que pour tout nombre
complexe z :
2
c) Résoudre dans l’équation (E)
2. Dans le plan complexe muni d’un repère orthonormé
, on considère
les points A, B et C d’affixes respectives
;
et
.
a) Montrer que A, B et C sont alignés .
b) A tout point M d’affixe z on associe le point M’ d’affixe z’ tel que :
z’ =
. Montrer que
.
En déduire que si M est un point de la droite (AB) alors M’ est aussi un point de la
droite (AB).
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Exercice : 4
BAC 1999 PRINCIPALE
1. a) Mettre sous forme algébrique le nombre complexe :
b) Résoudre dans l’équation :
.
On désigne par
les solutions de l’équation précédente,
partie réelle négative.
2. a) Pour z élément de , développer l’expression :
b) En déduire les solutions , dans , de l’équation (E) :
3. On pose
et
a) Vérifier que les solutions de l’équation (E) sont :
étant celle qui a une
.
.
.
b) Ecrire sous forme trigonométrique les nombres complexes
c) En déduire la forme trigonométrique de chacun des nombres complexes
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