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L.S.Marsa Elriadh
Liste 10
4 ème Maths
M : Zribi
Exercices
Exercice 1:
1/ résoudre dans
l’équation: (iz-2)4=(z-1)4.
2/ soit dans C l’équation (E): z5-(1-i)z4-5iz3-z²+(1-i)z+5i=0.
a/ résoudre dans C l’équation (E’): z3-1=0.
b/ montrer que les solutions de (E’) sont aussi les solution de (E).
c/ résoudre alors (E).
Exercice 2 : A/ soit l’application f de C\{-i} dans C qui a z associe z’= iz
z i
1) exprimer z’ en fonction de z.
2/ soit un nombre complexe u de module 1 et d’argument  tel que
  2k
2
montrer que f(u)= 1 (tg(  )i)
2
4 2
3/ déterminer les racines cubiques du nombre complexe a= 2 (1i)
2
4/ utiliser les résultats des questions précédentes pour résoudre dans C :
(iz)3= 2 (1i) (z+i)3
2
B/ le plan P est munie d’un repère orthonormé (O, i, j) on désigne par A,
B, I les points d’affixes respectives –i, i, 1 et l’application F de P\{A}
dans P\{B} qui a tout point M(z) associe le point M’(z’)
1/a/ calculer (z’-i)(z+i)
b/ donner une interprétation géométrique du résultat en a/
c/ déduire une construction de M’=F(M)
2/a/ déterminer puis construire ’ l’ensemble des points M’ lorsque M
décrit le cercle  de centre A et de rayon 2/2
b/ déterminer puis construire l’ensemble ’ des points M’ lorsque M
décrit [AI)\{A}
Exercice 3:
1/ résoudre dans C: z²-(2+i)z+2i=0.
2/ dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé, on désigne
par A(i) et B(2) ; à tout point M(z) (z2) on associe le point M’(z’)
/ z '
zi
.
iz  2i
a/ montrer que z’=
AM
BM
b/ en déduire que lorsque M décrit la médiatrice de [AB] le point M’
décrit un cercle que l’on déterminera..
c/ donner une signification géométrique de argz’.
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d/ en déduire que si M(AB), le point M’ appartient à une droite que
l’on déterminera.
Exercice 4:
on considère les nombres complexes: =
1 i 3
3 i 3
et 
2
2
1/ écrire  et  sous forme exponentielle.
2/ soit   ]0,[.
a/ résoudre dans C: z²-2z+1-e2i=0, z1 la solution ayant une partie
imaginaire pure négative et z2 l’autre.
b/ écrire sous forme trigonométrique z1 et z2 .
3/déterminer  pour que l’on ait: z1= et z2=.
Exercice 5:
1/ résoudre dans C: 2z²-2(1+i)z+1/2+i=0.
2/ soit [0,/2] et E : 2z²-(1+2cos+2i)z+cos+i=0.
a/ montrer que E admet une solution réel que l’on calculera.
b/ calculer l’autre racine .
3/ dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé on considère
les points A(1/2) et M(cos+i).
a/ déterminer l’ensemble des points M lorsque  varie dans [0,/2].
b/ calculer AM, en déduire la valeur de  pour que AM soit minimale.
Exercice 6:
1/ résoudre dans C: (1+i)z²-2z+1-i=0.
2/ soit m un complexe de module 2. Résoudre dans C l’équation
(E) : mz²-2z + m =0
3/ on pose m= 2ei ou R.
a/ mettre les solutions de (E) sous forme exponentielle
b/ soient z’ et z’’ les solutions de (E) et M’(z’), M’’(z’’)et M(z) avec
z=z’+z’’.
Montrer que z’/z’’=i . en déduire que les vecteurs OM' et OM'' sont
orthogonaux ou O est l’origine d’un repère orthonormé.
c/ quelle est la nature de OM’MM’’? Justifier.
Exercice 7:
Pour tout réel  ]- , ] on considère la fonction f définie par:
Pour tout z
\{ei  }; f ( z ) 
1) vérifier que si   {

2
,
2) On suppose que  =0.
a) montrer que z’= -f0(-z).
1  zei

ei  z
2
 z'
} alors f est une fonction constante.
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b) montrer que pour tout réel  IR\{2k  , kZ} on a:

i
)  i cot(
f0 ( e
2
)
c) déterminer les racines carrés de
2
(1 i )
2
d) utiliser les questions a-bet c pour résoudre dans
2
( 1  i )( 1  z )²
2
 
3) on suppose que   { ,  } , le plan complexe est rapporté à un
2 2
l'équation: ( 1  z )² 
repère orthonormé (O , i , j ) . on désigne par A, B, C,M et M' les points
d'affixes respectives ei  ; -ei  ; -e-i  ; z et z'=f (z).
a) montrer que z est imaginaire pur si et seulement si |z'|=1 et z'-ei  .
b) montrer que si MA et MC alors
( i,OM ' )      ( AM ,CM )[ 2 ]

c) pour   , déterminer et construire l'ensemble  décrit par le
4
 y  x
point M lorsque M' décrit la demi droite d'équation 
x  0
Exercice 8:
soit  ]0, [; on considère l'équation (E) : z²-2cos  z+2(1+sin  )=0
1) a) déterminer les solutions z1 et z2 de l'équation (E).
b) montrer que pour tout réel  et  on a:
i
i
e e
 2cos(
 
2
   
i

)e  2 
c) en déduire le module et un argument de z1 et z2.
2) le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé (O , i , j ) ; on
désigne par A, B et C les points d'affixes respectives a=-cos  , b=cos
 +i(1+sin  ) et c =cos  -i(1+sin  ).
a) déterminer et construire les ensembles décrits par les points A, B et
C lorsque  varie dans ]0,  [.
b) montrer que le triangle ABC est isocèle de sommet principal A.
Exercice 9:
on considère l’équation (E) : z3+(3-i)z²+(1-i3)z-i=0
1/ a/ montrer que l’équation (E) admet une racine imaginaire pure z 0 que
l’on déterminera
b/ résoudre alors l’équation (E) ; on note z1 et z2 les deux autres racines ;
Im(z1)>0
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c/ écrire z0, z1, z2 sous forme trigonométrique
2/ le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct (O, i, j) .
On désigne par A, B, C les points d’affixes respectives z0, z1, z2
a/ montrer que OB AC
b/ en déduire que le quadrilatère OABC est un losange
c/ placer les points A, B, C dans le plan complexe et déterminer une
mesure de ( OA,OB)
d/ vérifier que z0, z1, z2 sont les racines sixième de –1 et déterminer les
autres racines de l’équation z6=-1.
Exercice 10 :
On considère la fonction f définie sur par:
i
2
f(z)=2z3-(3+2isin2 )z²+(1+2isin2 )z- sin2 .
1) a) montrer qu'il existe un unique réel z0 telle que pour tout 
 
 ]  , [ , on a f(z0)=0.
2 2
b) achever la résolution dans de l'équation f(z)=0. on désignera par
z1 et z2 les solutions autre que z0.
c) déterminer le module et un argument de chacun des solutions z1 et
z2.
2) dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé (O , i , j ) ;
on considère les points A, M1 et M2 d'affixes respectives z0, z1 et z2 et
le point I milieu de [M1M2].

a) déterminer  )0, [ tel que AM1M2 soit un triangle équilatéral.
2
b) déterminer l'ensemble des points I lorsque  décrit ] 
 
, [.
2 2
c) montrer que l'ensemble des points M1 et M2 est un cercle  que l'on
 
précisera lorsque  décrit ]  , ] .
2 2
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