Transcript Série : études de fonctions( 3ème Sc-exp )

Série : études de fonctions( 3ème Sc-exp )
Exercice 1
Soit la fonction f définie sur ¡ par f (x ) = x 3 − 3x − 2 .
r r
On désigne par Cf sa courbe représentative dans un repère orthonormé ( O , i , j ) .
1- Dresser le tableau de variation de f et tracer Cf .
2- Montrer que le point A(0,-2) est un centre de symétrie à Cf .
3- Tracer les courbes des fonctions suivantes : g : x a f (x ) et h : x a f (x ) + 2 .
Exercice 2
Ι / Soit la fonction f : ¡ → ¡
x a x3 + ax 2 + bx + c
a, b, c ∈ ¡
rr
Soit C la courbe représentative de f dans un repère orthonormé (O,i, j ) du plan
1- Déterminer les réels a, b et c sachant que f vérifie les conditions suivantes:
• f admet en x 0 = 2 un extremum nul
• f admet en O une tangente parallèle à ∆ : y = 4x
2- Dans la suite on prend a =
−4, b =
4 et c =
0
a) Etudier la fonction f et tracer sa courbe C
b) Montrer que C admet un point d'inflexion Ι dont on précisera les coordonnées
c) Donner l'équation de la tangente à C au point Ι
d) Tracer C
e) Donner graphiquement selon le paramètre réel K le nombre de solutions de l'équation :
K − 16
x2 + 4 =
x−4
3- Soit g(x) =
− x 3 + 4x 2 − 4x − 1. En déduire la courbe de g à partir de celle de f en justifiant.
Exercice 3 :
-2x 2 + 3x
Soit f la fonction définie sur ¡ −{1} par f ( x ) =
. On note C la courbe représentative de f
x-1
r r
dans un repère orthonormé (O , i , j ) .
1- Etudier les limites de f aux bornes de son ensemble de définition.
En déduire que la courbe C représentative de la fonction f admet une asymptote verticale dont on
donnera une équation.
c
2- Trouver les réels a, b et c tels que, pour x différent de 1, f ( x ) = ax + b +
.
x-1
En déduire que C admet, au voisinage de +∞ et de −∞ , une asymptote D dont on donnera une équation.
Etudier suivant les valeurs de x la position de C par rapport à D.
3- Dresser le tableau de variation de f .
4- Tracer C en précisant ses asymptotes .
Exercice 4 :
x² - 3x + 3
Soit la fonction f définie par f(x) =
; x ≠ 2 et (C ) sa courbe représentative dans un repère
x-2
r r
orthonormé ( O , i , j ) .
1- On veut déterminer trois réels a, b et c tels que f(x) = ax + b +
ZHIOUA KHALED
Page 1
c
; x ≠ 2.
x-2
LYCEE IBN ABI DHIAF MANOUBA
f (x )
. En déduire la valeur de a.
x
b) Calculer lim(x − 2)f (x ) . En déduire la valeur de c.
a) Calculer lim
x →+∞
x →2
c) Calculer f (0). En déduire la valeur de b.
2- a) Montrer que la droite (D) d’équation y = x – 1 est une asymptote a (C ).
b) Donner les coordonnées du point Ω intersection des deux asymptotes.
c) Montrer que Ω est un centre de symétrie pour (C ).
3- Dresser le tableau de variations de f.
4-Représenter graphiquement la fonction f.
5- Discuter graphiquement le nombre des solutions de l’équation : x² - ( 3 + m ) x + 3 + 2m = 0 où m est
un paramètre réel .
x 2 −3 x +3
6-Soit la fonction g : x a
.
x −2
a) Montrer que g est paire.
b) Tracer la courbe Γ représentative de g.
Exercice 5 :
r ur
Le plan est muni d'un repère orthonormé ( O; i, j )
.
On a représenté ci –dessous la courbe représentative (C) d'une fonction f définie sur
IR - ] 1 , 3 [ . On sait que la courbe (C) admet :
− Deux asymptotes ∆ et ∆’ . ∆ passe par les points A(2 , 0 ) et B(4 , 2)
− Deux tangentes verticales aux points d’abscisses respectives 1 et 3 .
1- En utilisant le graphique , déterminer :
f(x)
f(x)
a) lim f ( x ) , lim f ( x ) , lim
et lim
− x - 1
+ x-3
x →+∞
x →−∞
x →1
x →3
b) Les réels a et b tel que lim ( f ( x ) - ( ax + b ) ) = 0 .
x →+∞
c) Le tableau de variation de f .
2- On admet que la fonction f est définie sur IR -  1 , 3  par f ( x ) =
ZHIOUA KHALED
Page 2
x² - 4x + 3.
LYCEE IBN ABI DHIAF MANOUBA
Montrer que la droite ( D ) d’équation x = 2 est un axe de symétrie pour ( C ) .
3- Soit h la fonction définie sur IR -  1 , 3  par h ( x ) = x² - 4x + 3 + 1.
Déduire que la courbe de h se déduit de celle de f par une translation que l’on caractérisera .
Exercice 6 :
x 4 - x² + 1 .
1
3
1- a) Vérifier que pour tout x ∈ IR ; x4 – x² + 1 = ( x² - )² + .
2
4
b) Démontrer que f est dérivable sur IR .
1
2- Vérifier que f’ ( x ) a même signe que x ( x² - ).
2
3- Dresser le tableau de variation de f sur IR .
4- On considère la parabole P d’équation y = 1 – x² .
r r
a) Tracer P dans un repère orthonormé ( O , i , j ) ( unité = 2 cm ) .
b) Soit M ( x , y ) ∈ P , montrer que OM = f ( x ) .
c) En déduire les coordonnées des points de P qui sont le plus près de l’origine .
On considère la fonction f définie par : f ( x ) =
Exercice 7 :
Soit la fonction f définie par f (x ) = x 2 − 4x + 5 . On désigne par Cf sa courbe représentative dans un
r r
repère orthonormé ( O , i , j ) .
1- Déterminer l’ensemble de définition de f.
2- Montrer que la droite Δ d’équation x = 2 est un axe de symétrie pour Cf .
3- Dresser le tableau de variations de f.
4- Montrer que les droites Δ et Δ' d’équations respectives y = x – 2 et y = – x + 2 sont des asymptotes
obliques à Cf respectivement aux voisinages de + ∞ et – ∞.
5- Tracer (Δ) , (Δ') et Cf .
Exercice 8 :
On considère la fonction f à variable réelle réel définie par : f ( x ) = x² - 3x + 2 et on désigne par C sa
r r
courbe représentative dans un repère orthonormé ( O, i , j ) .
1- Déterminer I l’ensemble de définition de f .
2- a ) Etudier la dérivabilité de f à gauche en 1 et à droite en 2 . Que peut-on conclure .
b) Justifier que f est dérivable sur ] - ∞ , 1 [ ∪ ] 2 , + ∞ [ .
c) Calculer f ’ ( x ) quand elle existe , où f ’ désigne la fonction dérivée de f .
d) Dresser le tableau de variation de f .
3
3
3- a) Calculer lim ( f(x) - x + ) et lim ( f(x) + x - ) .
x → +∞
x
→
∞
2
2
b) En déduire que la courbe C admet une asymptote oblique D au voisinage de + ∞ et une autre
D’ au voisinage de - ∞ .
3
c) Montre que la droite ∆ d’équation x =
est un axe de symétrie de C .
2
4- Tracer C , D et D’ .
ZHIOUA KHALED
Page 3
LYCEE IBN ABI DHIAF MANOUBA