Transcript PCSI1-PCSI2 DS n˚02 - SAMEDI 11 OCTOBRE

PCSI1-PCSI2
DS n˚02 - SAMEDI 11 OCTOBRE 2014 - 3 heures
2014-2015
La calculatrice n’est pas autorisée. Les résultats seront encadrés ou soulignés .
Exercice 1
COURS et APPLICATIONS DU COURS.
1. Recopier, et compléter :
(a) ∀𝑥 ∈ . . . . . ., Arctan′ (𝑥) = . . . . . ..
(b) ∀𝑥 ∈ . . . . . ., Arccos′ (𝑥) = . . . . . ..
(c) ∀𝑥 ∈ . . . . . ., Arcsin′ (𝑥) = . . . . . ..
2. (a) Développer, en fonction de tan(𝑎) et tan(𝑏) : tan(𝑎 − 𝑏) = . . . . . .
(b) Exprimer tan(2𝑥) en fonction de tan(𝑥).
1 − tan2 (𝑥)
3. Montrer, sous réserve d’existence, l’égalité suivante : cos(2𝑥) =
.
2
1 + tan
( )
( (𝑥)
)
5
2
Comparer alors les deux nombres 𝐴 = Arccos
et 𝐵 = 2Arctan
.
13
3
4. Résoudre l’équation suivante, d’inconnue 𝑥 :
1
𝜋
Arccos (𝑥) + Arccos (2𝑥) = .
2
2
Exercice 2
1. (a) Montrer que, pour tout 𝑥 > 0, on a :
ln(𝑥) ≤ 𝑥 − 1.
(b) En déduire que, pour tout 𝑥 > 0, on a :
1
𝑥
(c) Représenter les inégalités des questions (1a) et (1b) sur une même figure.
(
)𝑥
1
2. On pose 𝑓 (𝑥) = 1 +
.
𝑥
(a) Quel est l’ensemble de définition de 𝑓 ?
ln(𝑥) ≥ 1 −
(b) Calculer 𝑓 ′ (𝑥) et déterminer son signe grâce à la question (1b).
(c) Déterminer, si elles existent, les quatre limites suivantes :
lim ln(𝑓 (𝑥))
𝑥→0+
et
lim 𝑓 (𝑥)
𝑥→0+
et
lim ln(𝑓 (𝑥))
𝑥→+∞
et
lim 𝑓 (𝑥).
𝑥→+∞
3. Déduire des questions précédentes que, pour(tout entier
)𝑛 𝑛 ≥ 1, on a :
1
2≤ 1+
≤ 𝑒.
𝑛
𝑛𝑛
4. On pose 𝑢𝑛 =
.
𝑛!
𝑢𝑛+1
(a) Pour 𝑛 ≥ 1, simplifier
. En déduire, pour 𝑛 ≥ 2, un encadrement de 𝑢𝑛 faisant
𝑢𝑛
intervenir 𝑢𝑛−1 , puis un encadrement de 𝑢𝑛 faisant intervenir 𝑢1 et 𝑛.
(b) Montrer enfin que, pour tout entier 𝑛 ≥(1 :)
( 𝑛 )𝑛
𝑛 𝑛
𝑒
≤ 𝑛! ≤ 2
.
𝑒
2
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5. Quelques applications
(2𝑛)!
.
(𝑛!)2
(b) Indiquer comment trouver l’expression littérale de deux puissances de 10 encadrant 500!
(a) Déterminer la limite, lorsque 𝑛 → +∞, de 𝑣𝑛 =
(i.e) déterminer deux entiers 𝑝 et 𝑞, les plus précis possible, tels que 10𝑝 ≤ 500! ≤ 10𝑞 .
Exercice 3
1. On définit la fonction tangente hyperbolique par :
sh(𝑥)
.
ch(𝑥)
(a) Etudier sa parité et ses limites en ±∞ (avec justifications).
∀𝑥 ∈ ℝ, th(𝑥) =
(b) Déterminer une expression de la dérivée de la fonction th uniquement en fonction de la
fonction ch.
(c) En déduire le tableau de variations de th, et tracer l’allure de sa courbe représentative.
( 𝑥
)
𝑒 −1
2. (a) Donner une preuve du résultat suivant : lim
= 1.
𝑥→0
𝑥
)
(
th(𝑥)
.
(b) En déduire, détails à l’appui, la valeur de la limite suivante : lim
𝑥→0
𝑥
3. (a) Démontrer les deux formules suivantes : pour tout 𝑡 ∈ ℝ,
ch(2𝑡) = ch2 (𝑡) + sh2 (𝑡)
et
sh(2𝑡) = 2 sh(𝑡) ch(𝑡) .
(b) En déduire une expression de th(2𝑡) en fonction uniquement de th(𝑡).
4. Pour tout entier 𝑛 ≥ 1 et tout réel 𝑥, on définit la quantité :
𝑛
(
( 𝑥 ))
∑
2
ln 1 + th
.
𝑆𝑛 (𝑥) =
2𝑘
𝑘=1
(a) Que vaut 𝑆𝑛 (0) ?
(b) Si 𝑥 > 0, prouver l’égalité :
(
( 𝑥 ))
𝑆𝑛 (𝑥) = ln 2𝑛 th 𝑛
− ln (th(𝑥)).
2
(c) Etudier la parité de la fonction [𝑥 → 𝑆𝑛 (𝑥)].
En déduire, sans calcul supplémentaire, une expression de 𝑆𝑛 (𝑥) pour 𝑥 < 0.
5. (a) Soit un réel 𝑥 > 0 fixé. Déterminer lim (𝑆𝑛 (𝑥)).
𝑛→+∞
(b) Soit un entier 𝑛 ≥ 1, fixé. Déterminer lim (𝑆𝑛 (𝑥)).
𝑥→+∞
(
)
(
)
(c) Calculer et comparer lim
lim (𝑆𝑛 (𝑥)) et lim
lim (𝑆𝑛 (𝑥)) .
𝑥→+∞
𝑛→+∞
𝑛→+∞
𝑥→+∞
(
)
2𝑥
Exercice 4
On pose 𝑓 (𝑥) = Arcsin
− 2Arctan(𝑥).
1 + 𝑥2
1. Déterminer l’ensemble 𝐷𝑓 de définition de la fonction 𝑓 .
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√
√
2. Préciser les valeurs de 𝑓 (0), 𝑓 (1), 𝑓 ( 3), 𝑓 (−1), 𝑓 (− 3).
3. Pour quelles valeurs de 𝑥 peut-on calculer 𝑓 ′ (𝑥) (justifier) ? Faire ce calcul dans ce cas.
4. Justifier que 𝑓 est constante sur l’intervalle [−1, +1].
5. Démontrer que, pour 𝑥 ∈ [+1, +∞[, 𝑓 (𝑥) = 𝜋 − 4Arctan(𝑥).
6. En déduire directement, mais en détaillant le raisonnement, une expression de 𝑓 (𝑥) lorsque
𝑥 ∈] − ∞, −1]. Tracer alors l’allure de la courbe représentative de 𝑓 (sur 𝐷𝑓 ).
Soit 𝑓 : ℝ → ℝ,(une)fonction
( dont
) le graphe admet deux centres de symétries 𝐼
𝑎
𝛼
et 𝐽 de coordonnées respectives
et
(avec 𝑎 ∕= 𝛼).
𝑏
𝛽
Exercice 5
1. Comment traduire littéralement cette propriété sur la fonction 𝑓 ?
2. Montrer qu’il existe deux constantes réelles 𝑇 et 𝑉 , avec 𝑇 ∕= 0, telles que :
∀𝑥 ∈ ℝ, 𝑓 (𝑥 + 𝑇 ) = 𝑓 (𝑥) + 𝑉 .
3. En déduire que 𝑓 peut s’écrire comme somme d’une fonction périodique et d’une fonction
linéaire.
Exercice 6
Exercice BONUS : ne l’aborder que si toutes les autres questions ont été traitées.
Recherche de points fixes de la fonction exponentielle
1. Combien existe-t-il de solutions réelles 𝑥 à l’équation « exp(𝑥) = 𝑥 » ?
2. On désire vérifier 1 si l’équation « exp(𝑧) = 𝑧 (𝐸) » possède au moins une solution complexe
𝑧 ∈ ℂ. On cherche 𝑧 sous la forme 𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦 (𝑥, 𝑦 réels), avec la condition 0 < 𝑦 < 𝜋.
{
cos(𝑦) =
𝑥𝑒−𝑥
(a) Montrer que le problème (𝐸) est alors équivalent à la résolution de
.
√
𝑦
=
𝑒2𝑥 − 𝑥2
√
(b) On définit la fonction 𝜓 par 𝜓(𝑥) = arccos(𝑥𝑒−𝑥 ) − 𝑒2𝑥 − 𝑥2 .
Déterminer, en le justifiant en détail, les signes de 𝜓(0) et de 𝜓(1). Conclure.
1. On rappelle la définition, si 𝑍 = 𝑋 +𝑖𝑌 avec 𝑋 et 𝑌 réels : exp(𝑍) = exp(𝑋 +𝑖𝑌 ) = 𝑒𝑋 𝑒𝑖𝑌 = 𝑒𝑋 (cos 𝑌 +𝑖 sin 𝑌 ).
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