Transcript Loi renseignement : tous surveillés !

MPSI3 2013–2014 DM No 16
Mardi 29/04/2014
PARTIE I
Une matrice A de M p (R) est dire nilpotente d’indice trois lorsque A2 , O p et A3 = O p . Dans toute cette partie,
on note A une matrice de M p (R) nilpotente d’indice trois. On note I = I p et pour tout réel t on note E(t) la matrice
t2
E(t) = I + t A + A2 .
2
Q1) Vérifier la relation : ∀(s,t) ∈ R2 , E(s)E(t) = E(s + t).
Q2) En déduire que (E(t)) n = E(nt) pour t ∈ R et n ∈ N.
Q3) Montrer que la matrice E(t) est inversible. Quel est son inverse ?
Q4) Montrer que la famille (I, A, A2 ) est libre dans M p (R).
Q5) En déduire que l’application E : t 7→ E(t) de R vers M p (R) est injective.
*.0 1 1+/
Q6) Dans cette question on prend p = 3 et A = ..0 0 1//. Expliciter E(t) (sous forme matricielle).
,0 0 0PARTIE II
−→
2
*4 −6+, on note f l’endomorphisme
Dans cette partie, on note B0 = (−
e→
1 ; e2 ) la base canonique de R . Soit A =
,1 −1de R2 canoniquement associé à A.
Q1) Montrer que F = ker( f − 2idR2 ) et G = ker( f − idR2 ) sont deux droites vectorielles supplémentaires dans R2 .
−
−
Préciser un vecteur directeur →
u de F et un vecteur directeur →
v de G.
−
−
Q2) Sans calculs, déterminer la matrice de f dans la base (→
u ,→
v ).
Q3) En déduire qu’il existe une matrice inversible P et une matrice diagonale D carrées d’ordre deux, telle que
A = PDP−1 . Expliciter P, D et P−1 .
Q4) Expliciter D n pour tout entier naturel n. Démontrer la relation An = PD n P−1 . En déduire l’expression de An
sous forme matricielle.
PARTIE III
On reprend les notations de la partie II.
Q1) En utilisant l’inégalité de Taylor-Lagrange, montrer que pour tout réel t on a
Q2) Pour tout réel t, pour tout entier naturel n, on note : En (t) =
n
P
k=0
Expliciter ces quatre coefficients.
tk
k!
et
= lim
n→+∞
!
n tk
P
.
k=0 k!
an (t) bn (t) +
Ak . On écrira En (t) = *
.
, cn (t) d n (t) -
Q3) On note a(t) = lim an (t), b(t) = lim bn (t), c(t) = lim cn (t) et d(t) = lim d n (t). Soit E(t) =
n→+∞
n→+∞
n→+∞
n→+∞
*a(t) b(t) +. Expliciter ces quatre coefficients.
, c(t) d(t) Q4) Montrer qu’il existe deux matrices Q, R ∈ M2 (R) telles que ∀t ∈ R, E(t) = e2t Q + e t R. Expliciter ces deux
matrices.
Q5) Calculer Q2 , R2 ,QR et RQ. Que peut-on dire des endomorphismes q et r canoniquement associés à Q et R (on
pourra répondre en utilisant les droites F et G).
Q6) En déduire que ∀(x,t) ∈ R2 , E(s)E(t) = E(s+t). Que dire de (E(t)) n pour n ∈ N ?, de (E(t)) −1 ? L’application
E : t 7→ E(t) de R vers M2 (R) est-elle injective ?